Aufgaben zur Kombinatorik

  Aufgabe 1

Ein Zufallsgenerator (Codeknacker) erzeugt unabhängig voneinander 4 Ziffern von 0 bis 9.

Nach der Generierung werden diese als 4-stellige Zahl auf einem Display angezeigt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?

A: Alle Ziffern sind ungerade.

B: Es kommen nur die Ziffern 0 und 1 vor.

C: Die Zahl ist eine „Spiegelzahl“, d.h. die erste und die letzte sowie die zweite und die dritte Zahl sind gleich.

  Aufgabe 2

In einer Urne sind 6 rote und 4 weiße Kugeln.

Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?

A: Man zieht nur rote Kugeln.

B: Man zieht zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel.

C: Die erste Kugel ist weiß.

D: Man zieht abwechselnd weiße und rote Kugeln.

  Aufgabe 3

In einer Urne befinden sich 25 nummerierte Kugeln (Zahlen 1 bis 25).

Es werden gleichzeitig 4 Kugeln aus der Urne gezogen. (Ziehen mit einem Griff).

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?

A: Alle Zahlen sind durch 5 teilbar.

B: Alle Zahlen sind gerade.

C: Die Summe der 4 Zahlen ist kleiner als 12.

D: Das Produkt der 4 Zahlen ist 12.

  Aufgabe 4

Vier Freunde gehen ins Kino. Sie haben in einer Reihe 4 nummerierte Plätze nebeneinander und verteilen die Karten zufällig.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?

A: Sven sitzt zwischen zwei Freunden.

B: Sven und Kai sitzen außen.

C: Sven und Kai sitzen nebeneinander.

Lösung 1

Die Anzahl der Möglichkeiten:

Für jede der 4 Stellen gibt es 10 mögliche Ziffern (0 bis 9).

Damit lassen sich 10.000 Zahlen darstellen.

A: Alle Ziffern sind ungerade.

Die Anzahl der Möglichkeiten für A ist

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das alle Ziffern ungerade sind.

B: Nur die Zahlen 0 und 1 kommen vor.

Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das nur die Ziffern 0 und 1 vorkommen.

C: Es kommen nur Spiegelzahlen vor. (xy

Lösung 2

6 rote und 4 weiße Kugeln ergibt n = 10 Kugeln.

Es wird k = 5 mal gezogen ohne Zurücklegen.

Damit ist die Anzahl aller Möglichkeiten

A: Nur rote Kugeln werden gezogen.

Die Anzahl der Möglichkeiten für A ist:

damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das nur rote Kugeln gezogen werden.

B: Man zieht zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel.

Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist:

damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, zuerst alle weißen und dann eine rote Kugel zu ziehen.

C: Die erste Kugel ist weiß.

Das bedeutet, die 2., 3., 4. und 5. Kugel ist beliebig.

Die Anzahl der Möglichkeiten für C ist:

damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, im ersten Zug die weiße Kugel zu ziehen Kugel zu ziehen.

D: Man zieht abwechselnd weiß und rot.

Das bedeutet, (wrwr) oder (rwrw).

Die Anzahl der Möglichkeiten für D ist:

damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, abwechselnd weiße und rote Kugeln zu ziehen.

Stichprobenart: Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen (Anzahl der Möglichkeiten )

Lösung 3

Die Anzahl der Möglichkeiten aus 25 unterschiedlichen Kugeln 4 zu ziehen ist:

Das ist die Anzahl aller Möglichkeiten.

A: Die Zahlen sind durch 5 teilbar. (5, 10, 15, 20, 25)

Die Anzahl der Möglichkeiten daraus 4 auszuwählen ist:

Das ist die Anzahl der Möglichkeiten für das Eintreten von A.

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 Zahlen zu ziehen, die durch 5 teilbar sind.

B: Alle Zahlen sind gerade. (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24)

Die Anzahl der geraden Zahlen ist 12.

Die Anzahl der Möglichkeiten daraus 4 auszuwählen ist:

Das ist die Anzahl der Möglichkeiten für das Eintreten von B.

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 gerade Zahlen zu ziehen.

C: Die Summe der 4 Zahlen ist kleiner als 12. (1+2+3+4<12 oder 1+2+3+5<12)

Für das Ereignis C gibt es 2 Möglichkeiten.

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 Zahlen zu ziehen, deren Summe kleiner als 12 ist.

D: Das Produkt der 4 Zahlen ist 12.

Für das Ereignis C gibt es 0 Möglichkeiten (unmögliches Ereignis).

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 4 Zahlen zu ziehen, deren Produkt 12 ist.

Stichprobenart: Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen (oder Ziehen mit einem Griff) (Anzahl der Möglichkeiten )

Lösung 4

Die Anzahl der Möglichkeiten 4 Personen auf 4 Plätze zu verteilen ist 4! = 24

Das ist die Anzahl aller Möglichkeiten.

A: Sven sitzt zwischen zwei Freunden.

Er hat zwei Möglichkeiten: xSxx oder xxSx (Platz 2 oder Platz 3)

Die drei Freunde haben 3! Möglichkeiten.

Die Anzahl der Möglichkeiten für A ist:

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das Sven zwischen zwei Freunden sitzt.

B: Sven und Kai sitzen außen.

SxxK oder KxxS Sven und kai haben 2 Möglichkeiten, die beiden Freunde ebenfalls.

Die Anzahl der Möglichkeiten für B ist:

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das Sven und Kai außen sitzen.

C: Sven und Kai sitzen nebeneinander.

SKxx KSxx xSKx xKSx xxSK xxKS das sind 6 Möglichkeiten.

Für die beiden anderen gibt es 2 Möglichkeiten.

Die Anzahl der Möglichkeiten für C ist:

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das Sven und Kai nebeneinander sitzen.

Anordnung von k Elementen k!