Differential
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Zur Wiederholung und zum Aufbau des Verständnisses soll der folgende Lernpfad dienen, bei dem sich alles um die Funktionsuntersuchung dreht.
Aufgabe 1
Vollziehe in nachfolgendem Applet den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung, also vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten, indem Du den Punkt B auf A zuwandern lässt. Du kannst den Punkt B mit gedrückter linker Maustaste bewegen.
Wie groß ist jetzt der Wert des Differenzenquotienten und warum?
 Merke:
Der Differenzenquotient ist nun unbestimmt, da die beiden Punkte A und B zusammenfallen. Somit ist die Differenz der x-Werte, also der Nenner im Differenzenquotient, gleich null. Dieser wird mit der Formel für die Steigung |
Wie groß ist die Steigung der angegebenen Funktion bei x=4 und wodurch wird sie angegeben?
| Merke:
Die Steigung hat den Wert 1,2 und wird durch den Differenzialquotient angegeben. |
Aufgabe 2
Benutze im folgenden Applet zunächst den Schieberegler und aktiviere dann zusätzlich das Kontrollkästchen darunter.
Welcher mathematische Zusammenhang wird hier dargestellt?
| Merke:
Es wird die Steigung der jeweiligen Tangente an die blaue Kurve im zugehörigen Punkt eingezeichnet. Alle diese "Steigungspunkte" zusammen ergeben den Graphen der Ableitung der blauen Funktion. Man kann dies auch am eingezeichneten Steigungsdreieck erkennen. |
Für Experten: Welche Funktion wird durch die blaue Kurve und welche wird durch die gestrichelte schwarze Kurve beschrieben? Welcher Zusammenhang besteht zwischen beiden?
| Merke:
Die blaue Kurve ist |
Aufgabe 3
Experimentiere mit den Schiebereglern im nachfolgenden Applet und untersuche dabei die Beziehung zwischen dem Graphen der Funktion, der ersten und zweiten Ableitung.
Beschreibe zunächst anhand des Punktes W, was ein Wendepunkt ist, bzw. warum solch ein Punkt "Wendepunkt" heißt.
| Merke:
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, der eine Links- und Rechtskurve des Graphen einer differenzierbaren Funktion voneinander trennt. Die Richtungen der Kurven ergeben sich dabei beim Durchlauf des Graphen von kleinen zu größeren x-Werten. |
Schreibe nun (im Heft!) einige Regeln auf, um die Extrem- und Wendestellen aufzufinden bzw. Hoch- und Tiefpunkte voneinander zu unterscheiden.
Formuliere eine (notwendige) Bedingung für (relative) Extremstellen bezüglich der Ableitung der Funktion.
| Merke:
Wenn bei |
Formuliere eine Regel für Hochpunkte bezüglich der Ableitung der Funktion.
| Merke:
1. Wenn |
Formuliere eine Regel für Tiefpunkte bezüglich der Ableitung der Funktion.
| Merke:
1. Wenn |
Formuliere eine notwendige Bedingung für Wendestellen.
| Merke:
Wenn |
Formuliere ein oder zwei hinreichende Bedingungen für Wendestellen.
| Merke:
1. Wenn |
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