Exponentialfunktionen

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Funktion $LaTeX: f%28x%29%20%3D%202%5Ex%5C%2C$

Inhaltsverzeichnis

1 Lernpfade
2 Definition
3 Eigenschaften von Exponentialfunktionen
4 Funktionsplotter-Einsatz
5 Siehe auch

Lernpfade

Definition

Exponentialfunktionen sind Wachstums- bzw. Zerfallsfunktionen mit der allgemeinen Form $LaTeX: f%28x%29%3Da%5Ex%5C%2C$ oder (allgemeiner) $LaTeX: g%28x%29%3Dc%20%5Ccdot%20a%5Ex%5C%2C$ mit $LaTeX: c%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$ , $LaTeX: a%3E0%5C%2C$ , $LaTeX: x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$ .

Sie beschreiben für $LaTeX: a%3E1$ ein exponentielles Wachstum, für $LaTeX: 0%3Ca%3C1$ eine exponentielle Abnahme zur Basis a.

Dabei ist a der Wachstumsfaktor, der bei einer Wachstumsfunktion mit $LaTeX: a%3D1%20%2B%20%5Cfrac%7Bp%7D%7B100%7D%2C%20p%20%3D%20%5Cmbox%7BProzentsatz%7D%5C%2C$ und bei einer Zerfallsfunktion mit $LaTeX: a%3D1%20-%20%5Cfrac%7Bp%7D%7B100%7D%2C%20p%20%3D%20%5Cmbox%7BProzentsatz%7D%5C%2C$ berechnet wird. C ist der Startwert.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Der Graph einer Exponentialfunktion

Funktion $LaTeX: f%28x%29%20%3D%202%5Ex%5C%2C$

Der Graph der Exponentialfunktion $LaTeX: f%28x%29%3Dc%2Aa%5Ex%5C%2C$

... verläuft im positiven Wertebereich, wenn $LaTeX: c%3E0%5C%2C$

... hat keine Nullstellen, wenn $LaTeX: c%3E0%5C%2C$

... verläuft durch den Punkt P(0/c)

... verläuft bei $LaTeX: %5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df%28x%29%3D%5Cinfty%20$

... verläuft bei $LaTeX: %5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-%5Cinfty%7Df%28x%29%3D0%20$

... ist streng monoton wachsend, wenn $LaTeX: a%3E1%5C%2C$

... ist streng monoton fallend, wenn $LaTeX: 0%3Ca%3C1%5C%2C$

Verschiebung

Funktion $LaTeX: f%28x%29%20%3D2%5E%7Bx%2B2%7D%5C%2C$ - nach links verschoben

Funktion $LaTeX: f%28x%29%20%3D%202%5Ex%2B2%5C%2C$ - nach oben verschoben

Wenn im Exponenten eine Zahl addiert wird ( $LaTeX: a%5E%7Bx%2B2%7D%5C%2C$ ), verschiebt sich der Graph nach links.

Wenn im Exponenten eine Zahl subtrahiert wird ( $LaTeX: a%5E%7Bx-2%7D%5C%2C$ ), verschiebt sich der Graph nach rechts.

Wenn eine Konstante k addiert wird, verschiebt sich der Graph nach oben.

Wenn eine Konstante k subtrahiert wird, verschiebt sich der Graph nach unten.

Streckung und Stauchung

Funktion $LaTeX: f%28x%29%20%3D%200%2C25%2A2%5Ex%5C%2C$ - gestaucht

Wenn $LaTeX: c%3E1%5C%2C$ , dann ist der Graph gestreckt.

Wenn $LaTeX: 0%3Cc%3C1%5C%2C$ , dann ist der Graph gestaucht.

Ableitung und Stammfunktion

Die Bildung der Ableitung bzw. der Stammfunktion ist einfacher, wenn man zunächst die Exponentialfunktion in eine e-Funktion umwandelt.

gegeben:

$LaTeX: f%28x%29%20%3D%20c%20%5Ccdot%20a%5Ex%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cquad%20%20%20%5Cquad%20%20%20%5Cquad%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20c%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$

$LaTeX: f%28x%29%20%3D%20c%20%5Ccdot%20e%5E%7B%5Cln%28a%5Ex%29%7D%20%3D%20c%20%5Ccdot%09e%5E%7Bx%20%5Ccdot%20%5Cln%20%28a%29%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cquad%20%20%20%5Cquad%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%3E0%5C%2C$

Nun bestimmt man die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel.

$LaTeX: f%27%28x%29%3Dc%20%5Ccdot%20%5Cln%20%28a%29%20%5Ccdot%20e%5E%7Bx%20%5Ccdot%20%5Cln%20%28a%29%20%7D%5Cquad$

$LaTeX: f%27%28x%29%3Dc%20%5Ccdot%20%5Cln%20%28a%29%20%5Ccdot%20a%5Ex%5Cquad$

Mit der e-Funktion kann man nun die Stammfunktion bilden, die wichtig für die Integralrechnung ist.

$LaTeX: F%28x%29%3D%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Cln%20%28a%29%7D%20%5Cright%29%20%5Ccdot%20e%5E%7Bx%20%5Ccdot%20%5Cln%20%28a%29%20%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cquad$

$LaTeX: F%28x%29%3D%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Cln%20%28a%29%7D%20%5Cright%29%20%5Ccdot%20a%5Ex%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cquad$

Bildung der Ableitung mit Hilfe des Differenzenquotienten

Differenzenquotient:

$LaTeX: m%28h%29%3D%20%7B%5CDelta%20y%20%5Cover%20%5CDelta%20x%7D%20%3D%7Bf%28x_0%20%2Bh%29-f%28x_0%29%20%5Cover%20h%7D$

Beispiel: $LaTeX: f%28x%29%3D2%5Ex%5C%2C$

$LaTeX: m%28h%29%3D%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Bf%28x_0%2Bh%29-f%28x_0%29%7D%7Bh%7D%20%5Cright%29%20%5C%2C$

Funktion einsetzen: $LaTeX: m%28h%29%3D%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2%5E%7Bx_o%2Bh%7D-2%5E%7Bx_0%7D%7D%7Bh%7D%20%5Cright%29%20%5C%2C$

$LaTeX: m%28h%29%3D%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2%5E%7Bx_o%7D%2A2%5E%7Bh%7D-2%5E%7Bx_0%7D%7D%7Bh%7D%20%5Cright%29%20%5C%2C$

$LaTeX: m%28h%29%3D%5Cleft%28%202%5E%7Bx_0%7D%5Cfrac%7B2%5E%7Bh%7D-1%7D%7Bh%7D%20%5Cright%29%20%5C%2C$

da $LaTeX: f%28x%29%3D2%5Ex%5C%2C$ ist $LaTeX: m%28h%29%3D%5Cleft%28%20f%28x%29%5Cfrac%7B2%5E%7Bh%7D-1%7D%7Bh%7D%20%5Cright%29%20%5C%2C$

den Grenzwert bilden, denn $LaTeX: f%27%28x%29%5C%2C$ = $LaTeX: %5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%7Dm%28h%29%20$

also $LaTeX: f%27%28x%29%5C%2C$ = $LaTeX: %5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Cleft%28%20f%28x%29%5Cfrac%7B2%5E%7Bh%7D-1%7D%7Bh%7D%20%5Cright%29%20$

$LaTeX: f%27%28x%29%5C%2C$ = $LaTeX: f%28x%29%5C%2C$ * $LaTeX: %5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2%5E%7Bh%7D-1%7D%7Bh%7D%20%5Cright%29%20$

da $LaTeX: %5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2%5E%7Bh%7D-1%7D%7Bh%7D%20%5Cright%29%20$ $LaTeX: %5Capprox$ $LaTeX: 0%7B%2C%7D693$ ist $LaTeX: f%27%28x%29%5C%2C$ = $LaTeX: f%28x%29%5C%2C$ * $LaTeX: 0%7B%2C%7D693$

und damit ist $LaTeX: f%27%28x%29%5C%2C$ = $LaTeX: 2%5Ex%5C%2C$ * $LaTeX: 0%7B%2C%7D693$

Funktionsplotter-Einsatz

Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Exponentialfunktionen f(x) = ba^x+c :
http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/expfunk/expfunk.xls
die Funktionen a ^x und (1/a)^x
Zinsen und Zinseszinsen: Kommentar (pdf), Download (zip)
Bevölkerungsmodell von Malthus Kommentar (pdf), Download (zip)

Siehe auch

Exponentialfunktionen

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Definition

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

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Streckung und Stauchung

Ableitung und Stammfunktion

Bildung der Ableitung mit Hilfe des Differenzenquotienten

Funktionsplotter-Einsatz

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