Elektrizitätslehre

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Inhaltsverzeichnis 1 Die Glühlampe - ein Kaltleiter 1.1 Zusammenfassung 1.2 Thema/Anforderungen 1.3 Aufgabe 1 1.4 Aufgabe 2 1.5 Aufgabe 3 1.6 Aufgabe 4 1.7 Lösungsvorschlag 2 Entladekurve eines Kondensators 2.1 Zusammenfassung 2.2 Thema/Anforderungen 2.3 Aufgabe 1 2.4 Aufgabe 2 2.5 Aufgabe 3 2.6 Lösungen 2.7 Datentabelle 2.8 Grafiken 3 Übung zur Induktion 1 - Induktion in bewegten Leitern 3.1 Thema/Anforderungen 3.2 Aufgabe 3.3 Lösungen 4 Übung zur Induktion 2 - Induktion in einem fallenden Metallstab im räumlich begrenzten Magnetfeld 4.1 Thema/Anforderungen 4.2 Aufgabe 4.3 Lösungen 5 Übung zur Induktion 3 - Induktion in einem koaxialen Spulenpaar 5.1 Thema/Anforderungen 5.2 Aufgabe 5.3 Lösungen 6 Übungsaufgabe zur Induktion 4 6.1 Thema/Anforderungen 7 Simulation eines Reihenschwingkreises 7.1 Thema/Anforderungen 7.2 Aufgabe 7.3 Lösungsvorschlag 7.4 Ergebnisse 8 Elektronen in gekreuzten Feldern 8.1 Thema/Anforderungen 8.2 Aufgabe 8.3 Lösungsvorschlag 9 Ein Geschwindigkeitsfilter nach Wien 9.1 Thema/Anforderungen 9.2 Aufgabe 9.3 Lösungsvorschlag 10 Influenz 1 10.1 Thema/Anforderungen

Die Glühlampe - ein Kaltleiter

Zusammenfassung

In der folgenden Übung sollen die Schüler mit Hilfe des TI-Nspire CAS aus einer vorgegebenen Messwertetabelle die Funktion der Einschaltstromstärke einer Glühlampe bestimmen.

Thema/Anforderungen

Fachmethoden/AB I:

• Durchführung einer Berechnung

Fachmethoden/AB II:

• Graphischen Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten

Aufgabe 1

Die folgende Tabelle gibt die Werte für die Zeit und die Stromstärke beim Einschalten einer Glühlampe wieder. Stellen Sie mit Hilfe der Applikation „Data und Statistics“ den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Stromstärke grafisch dar und skizzieren Sie Ihr Ergebnis!

t in s	0	0.03	0.06	0.09	0.12	0.15	0.18	0.21	0.24	0.27	0.30	0.33	0.36	0.39	0.42
I in A	0.625	0.551	0.460	0.405	0.369	0.344	0.326	0.313	0.303	0.296	0.291	0.287	0.284	0.282	0.280

Aufgabe 2

Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen und erklären Sie, weshalb man die Glühlampe als Kaltleiter bezeichnet.

Aufgabe 3

Finden Sie eine Funktion, die geeignet ist, den Graphenverlauf mathematisch zu beschreiben! Tipp: Um eine passende Regressionsfunktion anwenden zu können, sollten Sie die gegebenen Daten manipulieren.

Fügen Sie anhand Ihrer mathematischen Untersuchung eine passende Funktion in das Diagramm mit den ursprünglichen Daten ein. Die Datenpunkte sollen durch diese Funktion bestmöglich angenähert werden.

Aufgabe 4

Begründen Sie den Verlauf des Graphen.

Lösungsvorschlag

Benutzte Technologie: TI-Nspire

Zu Aufgabe 1

Diagramm - Stromstärke in Abhängigkeit von der Zeit:

Zu Aufgabe 2

Es handelt sich um einen exponentiellen Abfall mit dem Grenzwert von ca. 0,28 A. Die Glühwendel ist zu Beginn des Experiments noch kalt. Der Widerstand ist daher klein, so dass ein großer Strom fließt. Mit wachsender Temperatur erhöht sich der Widerstand und die Stromstärke sinkt.

Zu Aufgabe 3

Beschreibung	Abbildung
Man subtrahiert den Grenzwert (in unserem Beispiel 0,276 A) von den Messwerten für die Stromstärke (hier in Spalte C).
Anschließend wird exponentielle Regression durchgeführt (zeit|ineu).
Eine alternative Auswertung des Graphen gelingt über das Logarithmieren der (auf den Grenzwert normierten!) Stromstärke-Messwerte und die Bestimmung von Anstieg und y-Abschnitt der Geraden.
Für die Darstellung der Funktion gemeinsam mit den Messwerten muss der Grenzwert zur ermittelten Regressionsfunktion addiert werden.

Zu Aufgabe 4

...

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Entladekurve eines Kondensators

Zusammenfassung

In der folgenden Übung sollen die Schüler mit Hilfe des TI-Nspire CAS aus einer vorgegebenen Messwertetabelle die Funktion der Entladekurve eines Kondensators bestimmen und die dabei bewegte Ladung berechnen. Diese Übung ist für bisher ungeübte Schüler gedacht und stellt so bewusst relativ niedrige Anforderungen in Bezug auf den Umgang mit einem CAS.

Thema/Anforderungen

Fachmethoden/AB I:

• Durchführung einer Berechnung

Fachmethoden/AB II:

• Graphischen Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten

Aufgabe 1

Die folgende Tabelle gibt die Werte für die Zeit und die Stromstärke beim Entladen eines Kondensators wieder. Stellen Sie mit Hilfe der Applikation „Data und Statistics“ den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Stromstärke grafisch dar und skizzieren Sie Ihr Ergebnis!

t in s	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
I in µA	50	40	31	25	20	16	13	10	8	6	5	4

Aufgabe 2

Führen Sie eine geeignete Regression der Messwerte durch und notieren Sie die Regressionsgleichung!

Aufgabe 3

Berechnen Sie die während dieses Vorganges bewegte elektrische Ladung!

Lösungen

Datentabelle

Grafiken

Der Verlauf der Messpunkte legt eine Exponential-Regression nahe.

Die Regressionsgleichung lautet: .

Die bei diesem Vorgang bewegte elektrische Ladung ergibt sich wie folgt:

Die Ladung ergibt sich aus der Fläche unter der Kurve, entspricht also dem bestimmten Integral , unter Beachtung der Einheiten (s und µA).

Die Ladung beträgt rund 400 µC.

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Ãœbung zur Induktion 1 - Induktion in bewegten Leitern

In der folgenden Übung sollen die Schüler mit Hilfe des TI-Nspire CAS eine geeignete Kalkulationstabelle für das vorgegebene Problem (bewegte Leiter im räumlich begrenzten Magnetfeld) erstellen, die dazu notwendigen Berechnungen durchführen, den geforderten Zusammenhang graphisch darstellen und Zwischenwerte ablesen. Diese Übung ähnelt herkömmlichen Übungen zur Induktion, wie sie auch ohne CAS bzw. GTR durchgeführt werden können, das würde dann aber einen höheren Zeitaufwand benötigen.

Thema/Anforderungen

Fachmethoden/AB I:

• Durchführung einer Berechnung

Fachmethoden/AB II:

• Graphischen Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten

Aufgabe

Die beiden unten skizzierten Leiterschleifen werden aus einem Magnetfeld der Flussdichte mit einer Geschwindigkeit herausgezogen. Skizzieren Sie jeweils den zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung  ! Legen Sie dazu eine Datei an und führen Sie die dazu notwendigen Berechnungen durch! Bestimmen Sie graphisch, zu welchen Zeiten die Induktionsspannungen der beiden Leiter den gleichen Betrag aufweisen!

Lösungen

Datentabellen

Graphiken

Die Induktionsspannungen weisen bei und bei den gleichen Betrag auf.

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Übung zur Induktion 2 - Induktion in einem fallenden Metallstab im räumlich begrenzten Magnetfeld

In der folgenden Übung sollen die Schüler mit Hilfe des TI-Nspire CAS eine geeignete Kalkulationstabelle für das vorgegebene Problem (fallender Metallstab im räumlich begrenzten Magnetfeld) erstellen, die dazu notwendigen Berechnungen durchführen und den geforderten Zusammenhang graphisch darstellen. Diese Übung ähnelt herkömmlichen Übungen zur Induktion, wie sie auch ohne CAS bzw. GTR durchgeführt werden können, das würde dann aber einen höheren Zeitaufwand benötigen. Zur Lösung der Aufgabe muss Wissen aus der Mechanik (Freier Fall, Fallgesetze) angewendet werden.

Thema/Anforderungen

Fachmethoden/AB I:

• Durchführung einer Berechnung

Fachmethoden/AB II:

• Graphischen Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten
• Auswählen und Verknüpfen von Daten, Fakten und Methoden in einem abgegrenzten Bereich

Aufgabe

Ein gerader Leiter der Länge fällt zum Zeitpunkt in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte (siehe Skizze). Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung  ! Legen Sie dazu eine Datei an und führen Sie die dazu notwendigen Berechnungen durch!

Lösungen

Datentabellen

Graphik

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Ãœbung zur Induktion 3 - Induktion in einem koaxialen Spulenpaar

In der folgenden Übung sollen die Schüler mit Hilfe des TI-Nspire CAS eine geeignete Kalkulationstabelle für das vorgegebene Problem (Induktion in einem koaxialen Spulenpaar) erstellen, die dazu notwendigen Berechnungen durchführen und den geforderten Zusammenhang graphisch darstellen. Diese Übung ähnelt herkömmlichen Übungen zur Induktion, wie sie auch ohne CAS bzw. GTR durchgeführt werden können, das würde dann aber einen höheren Zeitaufwand benötigen.

Thema/Anforderungen

Fachmethoden/AB I:

• Durchführung einer Berechnung

Fachmethoden/AB II:

• Graphischen Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten
• Auswählen und Verknüpfen von Daten, Fakten und Methoden in einem abgegrenzten Bereich

Aufgabe

Im Innern einer Feldspule mit Windungen und einer Länge von befindet sich koaxial angeordnet eine Induktionsspule derselben Länge, mit Windungen und einer Fläche von (siehe Skizze). Die Stromstärke durch die Feldspule wird zunächst innerhalb von fünf Sekunden gleichmäßig von Null auf erhöht, bleibt dann weitere fünf Sekunden auf diesem Wert und fällt danach innerhalb von zehn Sekunden gleichmäßig auf ab. Skizzieren Sie mit Hilfe des TI-NSpire™ den zeitlichen Verlauf:

a) der Stromstärke durch die Feldspule,

b) des magnetischen Flusses Φ durch die Induktionsspule und

c) der Induktionsspannung an der Induktionsspule!

Erstellen Sie dazu eine Datei, berechnen Sie die dazu notwendigen Werte und stellen Sie die geforderten Grafiken dar!

Lösungen

Datentabellen

Graphiken

Ãœbungsaufgabe zur Induktion 4

Thema/Anforderungen

Aufgabe: Induktion beim freien Fall einer Spule im Magnetfeld

Eine quadratische Induktionsspule mit der Seitenlänge 6,0 cm hat 500 Windungen. Ferner liegt ein homogenes Magnetfeld mit der Flussdichte B = 2,1 mT vor. Die Feldlinien verlaufen horizontal, die Unterkante der Spule liegt ebenfalls horizontal aber senkrecht zu den Feldlinien.

a) Die Spule befindet sich teilweise im Magnetfeld. Sie wird mit der Geschwindigkeit v = 1,0 mm/s senkrecht nach oben gezogen. Berechnen Sie die Spannung, die an den Enden der Spule entsteht, bevor sie das Magnetfeld verlässt.

Die Unterkante der Induktionsspule befindet sich jetzt am oberen Rand des Magnetfeldes und beginnt zum Zeitpunkt t = 0 frei in das Feld zu fallen.

b) Zu welchem Zeitpunkt t taucht die Spule ganz in das Magnetfeld ein?

c) Das Magnetfeld hat eine vertikale Ausdehnung von 10 cm. Ab welchem Zeitpunkt beginnt die Spule, das Magnetfeld zu verlassen? Wann hat sie das Feld komplett verlassen?

d) Zeichnen Sie das Zeit-Induktionsspannungs-Diagramm für den gesamten Vorgang des freien Falls.

Die Induktionsspule wird wieder in die Ausgangangsposition von a) gebracht und ihre Anschlüsse werden kurzgeschlossen. Der Widerstand der Spule beträgt 1Ω. Die Spule wird wieder mit der Geschwindigkeit v = 1,0 mm/s nach oben gezogen.

e) Zusätzlich zur Gewichtskraft der Spule tritt jetzt eine weiter Kraft auf. Begründen Sie die Existenz dieser Kraft und berechnen Sie deren Größe.

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Simulation eines Reihenschwingkreises

Thema/Anforderungen

Fachmethoden/AB II:

• Graphische Veranschaulichung physikalischer Abhängigkeiten

Aufgabe

1. Die Auswirkungen von ohmschen, induktiven und kapazitiven Widerstand auf die Stromstärke und Kreisfrequenz eines Reihenschwingkreises wird durch die folgende Formel wiedergegeben:

.

Erstellen Sie eine Simulation, mit der Sie die Auswirkungen der oben genannten Größen auf den Graph der Resonanzkurve erkennen können! Verwenden Sie dabei folgende Ausgangswerte: .

2. Die Phasenverschiebung wird durch folgende Formel wiedergegeben:

.

Unter Berücksichtigung des ohmschen Widerstands berechnet sich die Resonanzfrequenz:

Erweitern Sie die Simulation aus Aufgabe 1, indem Sie die Auswirkungen der oben genannten Größen auf den Phasenwinkel in die Simulation mit einbeziehen!

Lösungsvorschlag

zu 1. Wir wählen x als Variable für die Frequenz, um den Graphen für die -Abhängigkeit zeichnen zu können.

Damit erhält man die Resonanzkurve:

.

zu 2.

Die TI-Nspire-Datei zum Runterladen: Datei:Reihenschwingkreis2.tns.

Ergebnisse

1. Variation der Kapazität:

2. Variation der Induktivität:

3. Variation des ohmschen Widerstands:

4. Variation der elektrischen Spannung:

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Elektronen in gekreuzten Feldern

Thema/Anforderungen

Aufgabe

Ein Elektron trete unter einem Winkel zur Horizontalen senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes, magnetisches Feld der Stärke B ein. Dieses befinde sich innerhalb eines Plattenkondensators, welcher mit einer Gleichspannungsquelle (U) verbunden ist. Bei bestimmten Einstellungen von Flussdichte und Spannung ergeben sich in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit Bahnformen wie in der Abbildung.

Gegeben seien zunächst:

Anfangsgeschwindigkeit

Magnetische Flussdichte

Plattenabstand

Spannung am Plattenkondensator

Eintrittswinkel = 0°

a) Zeigen Sie, dass für die auf ein Elektron wirkende Kraft gilt:

b) Ermitteln Sie mithilfe einer Tabellenkalkulation die Bahn eines Elektrons näherungsweise und stellen Sie diese dar. Verwenden Sie die obigen Daten. Hinweis: Benutzen Sie als Schrittweite . Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der theoretisch zu erwartenden Kreisbahn.

c) Berechnen Sie die Spannung, bei der die Elektronen die gekreuzten Felder unabgelenkt durchfliegen. Verändern Sie entsprechend Ihre Simulation aus b).

d) Verringern Sie schrittweise die anliegende Spannung und beobachten Sie die Bahn des Elektrons. Verändern Sie anschließend auch die anderen Parameter (, , ).

Lösungsvorschlag

Benutzte Technologie: TI-Nspire

Ein numerisches Bearbeiten der Problematik der Bewegung von Ladungsträgern in gekreuzten Feldern ist sicher sinnvoll. Die letztlich entstehende Simulation kann vielfältig verwendet werden.

Aufgabe b)

Beschreibung	Abbildung
Definieren der benötigten Größen: alpha, e, me, d, b, v0, u, dt
Öffnen eines Tabellenkalkulationsfensters Spalten bezeichnen (Ort: xp und yp, Geschwindigkeit: vx und vy, Beschleunigung: ax und ay) Eintragen der Startwerte des Ortes in die Zellen A1 und B1: xp=yp=0 Eintragen der Startwerte der Geschwindigkeiten in die Zellen C1 und D1: und Eintragen der Startwerte der Beschleunigungen in die Zellen E1 und F1: und
In Zeile 2 werden nun die genäherten Angaben berechnet: A2: Berechnung der neuen x-Koordinate mit B2: Berechnung der neuen y-Koordinate mit C2: Berechnung der neuen x-Komponente der Geschwindigkeit mit D2: Berechnung der neuen y-Komponente der Geschwindigkeit mit E2: Berechnung der neuen x-Komponente der Beschleunigung mit F2: Berechnung der neuen y-Komponente der Beschleunigung mit
Markieren der Zellen A2 bis F2 Mit der Funktion "Nach unten ausfüllen" werden die Berechnungen in die folgenden Zeilen übertragen (z. B. bis Zeile 300)
Darstellen der Spalte yp in Abhängigkeit von der Spalte xp Ermitteln des Radius
Berechnen des theoretischen Radius, hier Vergleich

Aufgabe c)

Beschreibung	Abbildung
Die Berechnung der gesuchten Spannung mit liefert für die gegebenen Werte 60000V.
Nun muss nur noch die Spannung entsprechend geändert werden. Im Graph wird deutlich, dass keine Ablenkung erfolgt.

Aufgabe d)

Sollen mehrere Parameter verändert werden, ist es sinnvoll für diese Schieberegler einzuführen.

Beispiele:

Ein Geschwindigkeitsfilter nach Wien

Diese Aufgabe soll den Zusammenhang zwischen den magnetischen und elektrischen Feldgrößen bei einem Geschwindigkeitsfilter nach Wien verdeutlichen.

Thema/Anforderungen

Fachmethoden/AB I: Fachmethoden/AB II:

Aufgabe

Ein elektrisch geladenes Teilchen (Ladung:) tritt mit der Geschwindigkeit senkrecht zu den Feldlinien in einen Raumbereich ein, in dem ein elektrisches und ein magnetisches Feld überlagert sind.

1. Zeichnen Sie den Verlauf der Bahnkurve! Verwenden Sie Schieberegler für die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte!

2. Variieren sie und und ermitteln Sie, welchen Einfluss die Größen auf den Verlauf der Bahnkurve haben! Untersuchen Sie insbesondere auch die Auswirkungen der Gravitation!

3. Finden Sie Kombinationen für und , bei denen die Teilchen das Filter passieren können!

4. Berechnen Sie den Quotienten ! Was fällt auf?

Lösungsvorschlag

Es handelt sich um eine beschleunigte Bewegung in y-Richtung überlagert durch eine gleichförmige Bewegung in x-Richtung. Wir wählen den Koordinatenursprung an der Eintrittsstelle der Teilchen ins Feld. Damit ergibt sich die Gleichung:

Bewegung in x-Richtung:

Bewegung in y-Richtung:

Kombiniert man beide Gleichungen erhält man:

Die Beschleunigung setzt sich aus drei Komponenten zusammen:

Mit den Konstanten für Elektronen erhält man folgenden Graphen:

Jetzt stellt man die Schieberegler so ein, dass die Bahnkurve eine zur x-Achse parallele Gerade ergibt.

Die Erdbeschleunigung ist zu vernachlässigen, wie man bei Veränderung des entsprechenden Schiebereglers für sieht.

Es fällt auf, dass der Absolutbetrag des Quotienten konstant ist. Er entspricht der horizontalen Geschwindigkeit!

Das TI-NspireDokument zum Herunterladen: Datei:WienFilter.tns

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Influenz 1

Thema/Anforderungen

Aufgabe: Drehen eines Plattenkondensators im homogenen elektrischen Feld

In einem homogenen elektrischen Feld ist ein quadratischer Plattenkondensator mit der Plattenlänge a = 10 cm und dem Plattenabstand d = 10 mm drehbar gelagert. Seine Platten stehen senkrecht zum elektrischen Feld . Die Drehachse verläuft mittig durch den Kondensator ebenfalls senkrecht zum elektrischen Feld.

Der Kondensator steht am Anfang parallel zu den elektrischen Feldlinien und wird schrittweise um 10° gedreht. Dabei ergeben sich folgende Messwerte:

Winkel in Grad	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180
Ladung in nC	0.0	3.0	5.0	8.0	10.5	12.0	13.0	14.0	14.5	15.5	15.0	14.0	13.0	11.5	10.0	7.5	5.5	3.0	0.

a) Übertragen Sie die Daten in Lists & Spreadsheet und führen Sie mehrere Regressionen durch, die den Zusammenhang zwischen der influenzierten Ladung Q in Abhängigkeit vom Drehwinkel darstellt.

b) Entwickeln Sie anhand physikalischer Überlegungen einen formelmäßigen Zusammenhang zwischen Ladung und Drehwinkel.

c) Bestimmen Sie die elektrische Feldkonstante aus den obigen Messwerten. Dabei darf die Dielektrizitätszahl von Luft mit 1 angenommen werden.

Lösung

Ãœbertragung in Lists & Spreadsheet:

Datei:Rolfheinz Loesunga.jpeg

Quadatische Regression f(x)=ax²+bx+c: