Logarithmusfunktionen

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Funktion LaTeX: f%28x%29%20%3D%20lg%28x%29%5C%2C

Inhaltsverzeichnis

Lernpfade

Definition

Logarithmusfunktionen sind Funktionen des Typs LaTeX: f%28x%29%20%3D%20%5Clog%20_a%20%28x%29%5C%2C

mit LaTeX: a%20%3E%200%5C%2C, LaTeX: a%20%5Cneq%201 und LaTeX: x%20%3E%200%5C%2C.

Eigenschaften

Zusammenhang mit der Exponentialfunktion

Die Logarithmusfunktion LaTeX: f%28x%29%3D%5Clog%20_a%20%28x%29%5C%2C ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion LaTeX: f%28x%29%3Da%5Ex%5C%2C .

Der Graph einer Logarithmusfunktion

Funktion LaTeX: f%28x%29%20%3D%20lg%28x%29%5C%2C

Der Graph der Logarithmusfunktion LaTeX: f%28x%29%3D%5Clog%20_a%20%28x%29%5C%2C ...

... verläuft im Wertebereich LaTeX: %5Cmathbb%7BR%7D der reellen Zahlen
... hat eine Nullstelle bei P(1\0)
... hat die y-Achse als Asymptote
... ist streng monoton wachsend, wenn LaTeX: a%3E1%5C%2C
... ist streng monoton fallend, wenn LaTeX: 0%3Ca%3C1%5C%2C


Verschiebung

Funktion LaTeX: f%28x%29%20%3D%20lg%28x%2B2%29%5C%2C - nach links verschoben
Funktion LaTeX: f%28x%29%20%3D%20lg%28x%29%2B2%5C%2C - nach oben verschoben

Wenn zu x eine Zahl addiert wird (LaTeX: %5Clog%20_a%20%28x%2B2%29%5C%2C), verschiebt sich der Graph nach links.

Wenn von x eine Zahl subtrahiert wird (LaTeX: %5Clog%20_a%20%28x-2%29%5C%2C), verschiebt sich der Graph nach rechts.


Wenn zu dem gesamten Term eine Zahl addiert wird (LaTeX: %5Clog%20_a%20%28x%29%2B2%5C%2C), verschiebt sich der Graph nach oben.

Wenn von dem gesamten Term eine Zahl subtrahiert wird (LaTeX: %5Clog%20_a%20%28x%29-2%5C%2C), verschiebt sich der Graph nach unten.


Stauchung und Streckung

Funktion LaTeX: f%28x%29%20%3D%200%2C25%2Alg%28x%29%5C%2C - gestaucht

gegeben: LaTeX: g%28x%29%3Dc%2A%5Clog%20_a%20%28x%29%5C%2C

Wenn LaTeX: c%3E1%5C%2C, dann ist der Graph gestaucht.

Wenn LaTeX: 0%3Cc%3C1%5C%2C, dann ist der Graph gestreckt.

Ableitung

allgemein

LaTeX: f%28x%29%3D%5Clog%20_a%20%28x%29%5C%2C
LaTeX: f%27%28x%29%3D%7B1%5Cover%20x%20%5Ccdot%20%5Cln%20%28a%29%7D

für den natürlichen Logarithmus

LaTeX: f%28x%29%3D%5Cln%20%28x%29%20%3D%20%5Clog_e%28x%29%5C%2C
LaTeX: f%27%28x%29%3D%7B1%5Cover%20x%7D

Stammfunktion für die natürliche Logarithmusfunktion

LaTeX: f%28x%29%3D%5Cln%20%28x%29%5C%2C

Durch partielle Integration erhält man:

LaTeX: %5Cint%20%5C%20%5Cln%20%28x%29%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%3D%20%5Cint%20%5C%201%20%5Ccdot%20%5Cln%20%28x%29%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx
LaTeX: %3D%20%5Cln%20%28x%29%20%5Ccdot%20x%20-%20%5Cint%20%5C%20%7B1%20%5Cover%20x%7D%20%5Ccdot%20x%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx
LaTeX: %3D%20%5Cln%20%28x%29%20%5Ccdot%20x%20-%20%5Cint%20%5C%201%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx
LaTeX: %3D%20%5Cln%20%28x%29%20%5Ccdot%20x%20-%20x%20%2B%20C%20%5C%2C

Funktionsplotter-Einsatz

Siehe auch

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