Verschiedene Wachstumsarten

  Merke

Unter "linearem Wachstum" wird die gleiche absolute Zunahme pro Zeiteinheit verstanden.

Es wird durch eine lineare Funktion beschrieben, wobei der Anfangswert und die Wachstumsrate ist.

Vielfältige Beispiele derartiger Funktionen erhält man mit dem TI-Nspire durch den Einsatz zweier Schieberegler:

  Merke

Beim exponentiellem Wachstum ist die Zunahme pro Zeiteinheit proportional zum (vorherigen) Bestand. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die die Ableitung bestimmt.

Exponentielles Wachstum wird durch folgende exponentielle Funktion dargestellt: ; ).

Dabei ist der Anfangswert und eine Konstante. Ein Beispiel:

  Merke

Beschränktes Wachstum hat folgenden explizite Darstellung: ; .

Dabei ist die Kapazität, die das Wachstum beschränkt, der Anfangswert und eine Konstante.

Vielfältige Beispiele derartiger Funktionen erhält man mit dem TI-Nspire durch den Einsatz dreier Schieberegler:

  Merke

Logistisches Wachstum hat folgende explizite Darstellung:

;

Dabei ist die Kapazität, die den Wachstum beschränkt, der Anfangswert und eine Konstante.

Vielfältige Beispiele derartiger Funktionen erhält man mit dem TI-Nspire durch den Einsatz dreier Schieberegler:

  Aufgabe

Wie Ihr sicher alle mitbekommen habt, steigt die Zahl der Schweinegrippe Erkrankten immer mehr an. Grade in den Sommerferien haben durch den Tourismus die H1N1 Neuinfektionen rasant zugenommen. Das Robert Koch Institut hat uns für diesen Zeitraum die aktuellen Zahlen über Neuerkrankungen in Deutschland zur Verfügung gestellt. In der Tabelle sind die Anzahl der Neuerkrankungen pro Bundesland angegeben, wobei der Zeitraum in Kalenderwochen gegeben ist. Die Tabelle gibt nicht an, wieviele Erkrankte es zu einem Zeitpunkt insgesamt gibt, sondern nur die Neuerkrankten in einer Woche!

Schaut euch nun gemeinsam die vorliegenden Daten an und besprecht in der Gruppe, um was für ein Wachstum es sich euer Meinung nach handeln könnte.

Folgende Fragen können euch hierbei als Leitfaden helfen:

1. Welche Wachstumsarten kennen wir und wie werden diese charakterisiert?
2. Ist der oben angesprochene Faktor Sommerferien in den Zahlen wiederzuerkennen?
3. Wie kann man den Wachstum graphisch darstellen?
4. Inwiefern sind Vergleiche und Prognosen unter den Bundesländern möglich?

  Aufgabe

Die nachfolgenden Messwerte geben den Abkühlungsverlauf des Inhaltes einer frisch gebrühten Tasse Kaffee an. Der Kaffee besitzt hierbei eine Anfangstemperatur von ca. 82°C.

1. Trage die Werte in den CAS ein.
2. Durch welche Wachstumsart wird der Abkühlungsprozess modelliert?
3. Bestimme eine möglichst genaue Funktion unter Bezugnahme des Schiebereglers zur Abkühlung des Kaffees.
4. Entscheide dich, inwiefern es sich um eine passende Approximation für die Abkühlung des Kaffees handelt.

  Aufgabe

Die nachfolgende Tabelle enthält die Bevölkerungszahl der Erde von 1950 – 2005 sowie eine Vorausberechung von 2005 – 2050.

1. Trage die Werte in das CAS ein.
2. Bestimme eine Funktion unter Bezugnahme einer adäquaten Regressionsfunktion zur Entwicklung der Weltbevölkerung.
3. Zu welchem Zeitpunkt werden voraussichtlich 7,5 Millionen Menschen auf der Welt leben?
4. Beurteile, inwiefern es sich um eine adäquate funktionale Darstellung für die Entwicklung der Weltbevölkerung handelt.

  Meinung

Die Nutzung des Schiebereglers zur Bestimmung der Funktion bietet gleich mehrere Vorzüge: Erstens müssen die SuS ihr Wissen um die verschiedenen Funktionstypen aktiv in einen Darstellungsprozess einbringen, um somit den thematisierten Wachstumsprozess abzubilden. Zweitens ist die Kenntnis über Verschiebung und Streckung von Funktionen bei der Anpassung an Daten erforderlich, was der Idee des funktionalen Zusammenhangs Rechnung trägt. Und drittens ist das Regeln über Verschieben eine spannende eigenständige Tätigkeit, die den SuS Spaß bereitet und experimentelles Geschick erfordert.

Die Nutzung der Regressionsfunktion impliziert speziell im Kontext des logistischen Wachstums ein schnelles und problemloses auffinden der (Wachstums-)Funktion. Dies stellt einen qualitativen Zugewinn dar, da dieser sonst komplexe Funktionstypus nun mühelos bestimmt werden kann und somit den SuS im Rahmen des Unterrichts zugängig wird. Kritisch zu konstatieren bleibt dabei aber, dass die SuS nicht erkennen können, wie die Modellfunktion zustande kommt. Unserer Ansicht nach impliziert daher die Variante des Schiebereglers prinzipiell einen größeren didaktischen Mehrwert.

Bitte ändere den Inhalt dieses Beitrags nicht. Denn er gibt eine persönliche Meinung wieder.