Median und Boxplots
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Einführung in das Thema
Median (Zentralwert) und Boxplot sind statistische Mittel um Daten übersichtlicher zu gestalten. Der Median gibt einen mittleren Wert der Daten an. Der Boxplot ist eine grafische Veranschaulichung der Daten und zeigt neben dem Median noch die Streuung der Daten. Beides ist Inhalt der 8. Klasse am Gymnasium.
Theoretischer Hintergrund
Median
Der Median (Zentralwert oder Mdn) ist jener Messwert, der eine geordnete Reihe von Messwerten halbiert.
Der Median wird in der Statistik als Maß der zentralen Tendenz neben dem arithmetischem Mittel (Mittelwert) und dem Modus (Modalwert) verwendet. Der Median halbiert eine Verteilung, wobei die Verteilung zunächst der Größe nach sortiert (geordnet) werden muss.
Enthält die Verteilung eine ungerade Anzahl von Messwerten , so ist der Median (m) gerade der mittlere Messwert, sodass:
mit
Bei mindestens intervallskalierten Messwerten: Enthält die Verteilung eine gerade Anzahl von Messwerten, so ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
Handelt es sich jedoch nur um Messwerte ordinalen Niveaus, so ist der Median bei gerader Anzahl nur bedingt eindeutig definiert.
Der Boxplot
Bedeutung
Ein Boxplot ist ein Diagramm, das zur graphischen Darstellung der Verteilung statistischer Daten verwendet wird und gehört zu den wichtigsten Darstellungsformen der statistischen Datenanalyse. Er bietet einen direkten Verteilungsüberblick und eignet sich insbesondere zum Verteilungsvergleich. Dabei wird sowohl die Lage als auch die Streuung (Interquartilsabstand und Spannweite sind unmittelbar zu erkennen) der Werte veranschaulicht. Der Interquartilsabstand, d.h. der Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, ist im Gegensatz zu der Spannweite, dem Abstand zwischen Maximum und Minimum, ein sehr robustes Streuungsmaß, da beide Quartile nicht von Ausreißen beeinflusst werden können.
Aufbau
Die Box des Boxplots wird durch das obere und untere Quartil begrenzt; in ihrer Mitte befindet sich der Median. Dieser wird in Form eines durchgehenden Striches in der Mitte der Box veranschaulicht. An das so entstandene Rechteck der Box schließen sich auf beiden Seiten die so genannten Whisker an. Sie werden in Form eines Strichs vom Rand der Box bis hin zu dem kleinsten bzw. größten Wert des Datensatzes in das Diagramm eingezeichnet.
Um ein Boxplot-Diagramm zu erstellen, benötigt man die folgenden statistischen Werte:
Den Median, durch Abzählen der Daten in sortierter Reihenfolge erhaltener Wert in der Mitte des Maximums und des Minimums.
Das Maximum und das Minimum, größter und kleinster Wert der vorliegenden Datenverteilung.
Das obere und das untere Quartil, Werte in der Mitte von Maximum bzw. Minimum und Median.
Die Bestimmung der Quartile ist bei einer geraden Datenanzahl unproblematisch: Die Daten werden in zwei Hälften geteilt, man bestimmt jeweils deren Median und erhält auf diese Weise das untere und obere Quartil. Liegt jedoch eine ungerade Anzahl an Daten vor, muss nochmals eine Fallunterscheidung vorgenommen werden. Bleibt bei der Vierteilung der Daten ein Rest von 1 zurück, so wird der Median zu beiden Hälften dazu genommen, um dann die Quartile zu bestimmen. Bleibt ein Rest in Höhe von 3, wird der Median bei beiden Datenhälften zur Bestimmung der Quartile außer Acht gelassen.
Aufgaben zum Boxplot
Aufgabe 1
Paul bestellt abends oft beim Pizza-Blitz eine Salami-Pizza und notiert sich jedes Mal die Zeit zwischen Bestellung und Lieferung der Pizza:
25, 24, 36, 34, 38, 37, 30, 25, 29, 33, 36, 35, 38, 27, 29, 31.
Aufgabenstellung
 Aufgabe
Zeichne den dazugehörigen Boxplot mir Hilfe des TI-Nspire CAS. |
Lösung
 Lösung
Trage die Daten in eine Tabelle (lists&spreadsheet) ein und benenne diese "zeit" Öffne nun eine neue data&statistics-Applikation. Klicke anschließend mit der Maus auf "Zum Hinzufügen der Variablen" und wähle die Liste "zeit" aus Ändere zuletzt den Graphtypen auf "Box Plot". |
Aufgabe 2
Die Schülerinnen und Schüler führen eine Befragung zur Höhe des Taschengeldes in drei benachbarten Orten durch. Dabei kommen folgende Datensätze heraus:
Ort A: 5 10 15 20 35 20 45 30 25 20 10 10 20 10 5 15 20 10
Ort B: 15 0 10 5 5 25 30 40 30 15 25 50
Ort C: 5 10 20 25 20 10 25 20 25 30 20 25
Aufgabenstellung
| Aufgabe
Zeichne die dazugehörigen Boxplots und vergleiche sie. |
Handlungsorientierte Schülerexperimente
Median
Es stelle sich die gesamte Klasse in einer Reihe auf nach dem Indikator Körpergröße, Schuhgröße, Geburtstag etc. Die Indikatoren können von den SuS selbst erarbeitet oder vom Lehrer vorgegeben werden. Der Lehrer muss sich im Klaren sein, welches Skalenniveau vorliegt, um die entsprechende Definition anzuwenden und den SuS die Schwierigkeit dabei zu erklären. Für die Aufnahme der Daten können bspw. Maßbänder benutzt werden, wenn es um Längen geht. Es wäre vorteilhaft, dass man sich auf sinnvolles Runden einigt und die Reliabilität gewahrt wird.
Für das arithmetische Mittel ist die Reihenfolge unerheblich. Dafür ist es jedoch sinnvoll eine Intervallskalierung auf dem Boden zu markieren, um den Mittelwert zu kennzeichnen.
Die SuS sollen nun den Median bestimmen. Derjenige Schüler, der meint, der Median zu sein, erhält das Medianschild:
Wenn die Schüleranzahl gerade ist, müssen beide mittleren Schüler das Schild halten.
Um den Unterschied zwischen Mittelwert und Median darzustellen, wählt man sich ein paar Schüler aus, die in etwa alle dieselbe Größe haben - Anzahl ungerade.
Der Median ist die Person in der Mitte.
Nun ersetzt ein sehr großer oder sehr kleiner Schüler einen der Reihe, so dass der Median derselbe bleibt - der Mittelwert verändert sich.
Sie können die verschiedenen Aufstellungen fotografieren und den Schülerinnen und Schülern (SuS) schicken oder in das Klassenzimmer hängen, so dass ein Handlungsprodukt entsteht, sodass die SuS das Gelernte anschaulich protokolliert bekommen.
Es ergeben sich die folgenden Werte:
Aufgabenstellung
| Aufgabe
Ermittle das arithmetische Mittel und den Median. |
Lösung
| Lösung
Tragen Sie zuerst die Werte der Körpergrößen der Kinder in eine Tabelle ein. Sie können die Liste beispielsweise "groesse" nennen. Berechnen Sie den Median per Hand aus dieser Tabelle.
Fügen Sie eine Seite (Calculator) hinzu. Der Befehl mean("groesse") bzw. median("groesse") gibt Ihnen dann den Mittelwert bzw. den Median der entsprechenden Liste. |
Boxplot
Man stellt an der Tafel eine Liste der Schuhgrößen aller Schülerinnen und Schüler der Klasse zusammen und markiert auf dem Klassenfußboden eine Skala entsprechend der Größen der Datenerhebung.
Dann stellen sich die Schülerinnnen und Schüler zu der ihrer Schuhgröße entsprechenden Skalenmarkierung.
Als Nächstes sollen der Median und die Quartile von der Klasse durch Abzählen ermittelt werde. Sind die Werte ermittelt, werden den Schülerinnen oder Schülern mit der entsprechenden Schuhgröße ein Schild in die Hand gegeben mit der Aufschrift "Median", "unteres Quartil" und "oberes Quartil", so dass man die Grenzen des menschlichen Box Plots abgesteckt hat.
Um den Box Plot noch zu verdeutlichen, wickelt man ein rot-weißes Absperrband vom unteren Quartil zum oberen Quartil und zurück und veranschaulicht die Whisker ebenfalls durch dieses Band, indem man die so enstandene Box noch mit dem kleinsten und dem größten auftretenden Wert verknüpft.
Literatur
- Mathematik heute. 8. Realschule. Hrsg: H. Griesel, H. Postel, R. vom Hofe, Schroedel Verlag
- Lernstandserhebung 8 2008, Mathematik, Aufabensatz B
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