Winkel: Kongruenz, geometrische Probleme
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Inhaltsverzeichnis |
Theoretischer Hintergrund
Theorie der Winkel
Dreht man ein Gerade um einen von 180° verschiedenen Winkel, dann bilden Figur und Bildfigur zusammen eine Geradenkreuzung.
Definition
- Die an einer Geradenkreuzung gegenüberliegenden Winkel bezeichnet man als Scheitelwinkel.
- Die nebeneinander liegenden Winkel bilden ein Nebenwinkelpaar.
- Die vier Winkel an einer Geradenkreuzung stellen einen Vollwinkel dar.
- Schneidet eine Gerade h zwei Geraden f und g, so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten der schneidenden Gerade h und auf entgegengestzten Seiten der geschnittenen Geraden f und g liegen, Wechselwinkel.
- Die Winkel, die auf derselben Seite der schneidenden Gerade h und auf entsprechenden Seiten der geschnittenen Geraden f und g liegen, sind Stufenwinkel.
Winkelsätze
Dabei unterscheidet man folgende Sätze:
Wechselwinkelsatz: Wenn zwei Geraden, die von einer dritten geschnitten werden, parallel sind, dann sind Weschselwinkel gleich groß.
Stufenwinkelsatz: Wenn zwei Geraden, die von einer dritten geschnitten werden, parallel sind, dann sind Stufenwinkel gleich groß.
Theorie der Kongruenz
Definition
- Passen zwei Figuren genau aufeinander, so sagt man auch, sie sind kongruent bzw. deckungsgleich.
Kongruenzsätze
 Merke
Kongruenzsatz sws: Stimmen zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten und der Größe des eingeschlossenen Winkels überein, so sind sie zueinander kongruent.  Kongruenzsatz wsw: Stimmen zwei Dreiecke in der Länge einer Seite und der Größe der beiden anliegenden Winkel überein, so sind sie zueinander kongruent.  |
Hier steht s für eine Seite, w für einen Winkel.
Die Reihenfolge dieser Bezeichnungen zeigt uns auch deren Lage zueinander; z.B. bedeutet sws: einen Winkel, der umgeben von zwei Seiten ist.
In unserer Zeichnung wäre dies der Fall, wenn die Seiten c und a sowie der Winkel gegeben wären.
Alternativ könnten auch Seiten b und c sowie der Winkel , oder die Seiten b und a sowie der Winkel
gegeben sein.
Konstruktion eines Dreiecks aus drei Seiten
 Aufgabe
Gegeben sind die drei Seitenlängen eines Dreiecks, z.B. a = 6cm, b = 10cm und c = 9cm.
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Mittelsenkrechte
Ist eine Strecke gegeben, zum Beispiel eine Seite eines Dreiecks, so ist es interessant, welche Senkrechte zu dieser Strecke gerade durch den Mittelpunkt der Strecke geht. Diese Senkrechte nennt man Mittelsenkrechte.
Definition
Eine Mittelsenkrechte (oder auch Streckensymmetrale) ist die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben.
oder:
Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die eine Strecke halbiert und dabei senkrecht zu ihr verläuft.
Lehrplan
Als Vorlage für diesen Abschnitt wird auf ein schulinternes Curriculum Bezug genommen, welches an den "Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G 8) in NRW - Mathematik" angepasst ist.
Die SuS...
- nutzen mathematische Werkzeuge zum Erkunden und lösen mathematischer Probleme (Prozessbezogene Kompetenz)
- planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems und überprüfen die Möglichkeit mehrerer Lösungen oder Lösungswege (Prozessbezogene Kompetenz)
- wenden die Problemlösestrategien „Zurückführen auf Bekanntes“, „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an (Prozessbezogene Kompetenz)
- erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren mit eigenen Worten und Fachbegriffen (Prozessbezogene Kompetenz)
- können eine DGS zur Erkundung (Mittelsenkrechte, Seiten- und Winkelhalbierende, Höhe) und Überprüfung einer Lösungsstrategie sinnvoll einsetzen (Kompetenzerwartungen bzgl. der Kenntnisse, Fähigkeiten u. Fertigkeiten und Reflexionsfähigkeit)
Handlungsorientierter Einstieg
Zielsetzung
Die Schülerinnen und Schüler sollen selbständig erarbeiten, wie man eine Mittelsenkrechte konstruiert und welche Eigenschaften sie hat.
Arbeitsauftrag
 Unterrichtsidee
Hermine ist von Draco und seinen Freunden entführt worden und hat den folgenden Brief an Harry und Ron schreiben können: Lieber Harry, lieber Ron. Draco und seine Freunde haben mich entführt. Ihr müsst mich finden. Ich weiß nicht, wo sie mich gefangen haben, aber ich weiß, dass das Versteck gleich weit von Hogwarts und der heulenden Hütte entfernt ist. Bitte helft mir! Hermine |
| Aufgabe
2 Schülerinnen und Schüler stellen sich in einem ca. 2 m Abstand voneinander entfernt mit einer Wäscheleine auf. Sie stellen Hogwarts und die heulende Hütte dar. Ca. 10 der anderen Schülerinnen und Schüler haben nun die Aufgabe, sich an mögliche (unterschiedliche) Stellen des Verstecks zu stellen. |
| Aufgabe
Ladet euch diese Datei auf euren Taschenrechner und löst die Aufgaben.Datei:Hermine-gesucht.tns |
Didaktischer Kommentar
Mit der ersten Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler herausfinden, dass die gesuchten Punkte alle auf einer Geraden liegen. Das eigene, aktive Teilnehmen an dem Versuch, geeignete Punkte zu finden, soll ihnen helfen, das Gelernte besser zu verstehen und behalten. Mithilfe der 2. Aufgabe haben die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, eigenständig die Konstruktion einer Mittelsenkrechte zu erarbeiten. Dadurch fällt es ihnen nachher einfacher, zu verstehen und zu behalten, wie man sie konstruiert und was sie bedeutet.
Aufgaben zu geometrischen Problemen
Aufgabe 1 - Winkelsätze und Kongruenzen
Aufgabenstellung
| Aufgabe
Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar; Geschwindigkeiten mit verschiedenen
Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, wie die Eigengeschwindigkeit des Bootes Ein Boot hat die Eigengeschwindigkeit 14km/h , die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers beträgt 12km/h.  Bestimme, welchen Kompasskurs der Kapitän steuern muss, damit das Boot das gegenüberliegende Ufer im Punkt B erreicht. |
Lösung
 Lösung
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Aufgabe 2 - Winkelsätze und Kongruenzen
Aufgabenstellung
| Aufgabe
Das Passagierschiff Astor und der Schlepper Bugsier sind auf gleicher Höhe 6 Seemeilen (sm) voneinander entfernt. Die Astor steuert den Kurs 10° und hat eine Geschwindigkeit von 20 Knoten, die Bugsier den Kurs 340° und die Geschwindigkeit 22 Knoten.  a) Bestimme, wie weit die beiden Schiffe noch von der möglichen Kollisionsstelle entfernt sind.
b) Untersuche, ob die beiden Schiffe zusammenstoßen.
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Lösung
| Lösung
Die Astor benötigt 33,8 Min bis zum Schnittpunkt, der Schlepper Bugsier 32,2 Min. Deshalb treffen sich die Schiffe nicht. |
Aufgabe 3 - Mittelsenkrechte
Aufgabenstellung
| Aufgabe
 Die obenstehende Abbildung zeigt eine Spielsituation beim Boccia oder Boule. Die Zielkugel lag innerhalb des Dreiecks ABC, ist aber schon weggenommen worden. a) Wo lag die Zielkugel, wenn kein Sieger ermittelt werden konnte? Lege dazu den Ursprung des Koordinatensystems an die Stelle, an der Kugel A liegt; wähle für eine Einheit 1 dm. Wie weit waren die Kugeln dann von der Zielkugel entfernt? b) Begründe dein Vorgehen. c) Verschiebe hiernach die verschiedenen Kugeln beliebig und arbeite so wichtige Eigenschaften der Umkreismittelpunktes heraus. |
Lösung
| Lösung
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