Zuordnungen
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Einführung in das Thema
Bei Zuordnungen geht es darum, zwei oder mehrere gleich bedeutende (oder andersartig passende) Inhalte (Bilder, Begriffe, Zahlen usw.) einander zuzuordnen. Konkret möchte dieser Artikel die Themenkomplexe "proportionale Zuordnungen", "lineare Zuordnungen" sowie "antiproportionale Zuordnungen" behandeln.
Eine wichtige Rolle spielt in diesem Rahmen die so genannte Zuordnungstabelle, welche im einfachsten Fall über zwei Spalten verfügt: Jeder Größe der ersten Spalte ist die daneben stehende Größe in der zweiten Spalte zugeordnet. Dadurch ist beispielsweise eine Zuordnung definiert. Die Größen in der ersten Spalte bezeichnen wir als Ausgangsgröße der Zuordnung. Folgerichtig heißt die Menge aller Ausgangsgrößen die Definitionsmenge der Zuordnung. Die Größen in der zweiten Spalte bezeichnen wir als zugeordnete Größe; die Menge aller zugeordneten Größen heißt daher Wertemenge der Zuordnung. Dabei gilt prinzipiell zu beachten, dass die Zuordnungstabellen auch in Zeilen anlegt werden können.
Eine Zuordnung muss natürlich nicht zwangsläufig in Form einer Tabelle dargestellt werden, sondern kann auch durch ein Diagramm oder durch eine Vorschrift angegeben werden.
Geometrische Darstellung
Eine Zuordnung zwischen Größen kann man durch einen Graphen im Koordinatensystem darstellen. Auf der X-Achse (Abszisse) werden die Ausgangsgrößen betrachtet, auf der Y-Achse (Ordinate) die zugeordneten Größen. Jedem Paar einander zugeordneter Größen entspricht ein Punkt.
Der Graph einer Zuordnung kann somit eine Linie oder nur ein einzelner Punkt sein.
Zusatzinformation:
- Einzelne Punkte aus der Zuordnungstabelle sollten verbunden werden, sofern auch die Zwischenwerte von Relevanz sind. Es gilt daher zu prüfen, ob das Verbinden der Punkte mit Strecken/Kurven sinnvoll erscheint. Die Zwischenwerte sollten dabei brauchbare Schätzwerte für die tatsächlichen Werte darstellen!
- Gibt es keine Zwischenwerte, so können die einzelnen Punkte dennoch mit Strecken verbunden werden, um Veränderungen zu verdeutlichen. Es gilt aber zu beachten, dass die Zwischenwerte dann keinerlei Bedeutung für die Zuordnung implizieren.
Zielgruppe
Die Aufgabenstellungen richten sich an Schülerinnen und Schüler der 7. Jahrgangsstufe des Gymnasiums (G8). Weitergehende Aufgaben können selbstredend in höheren Klasse im Unterricht implementiert werden.
Vorkenntnisse
Bei der nachfolgenden Darstellung beziehen wir uns auf den Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen im Fach Mathematik. Insbesondere spielen in diesem Zusammenhang die Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 eine entscheidende Rolle.
Im Rahmen der prozessbezogenen Kompetenzen wird diesbezüglich im Bereich Argumentieren/Kommunizieren auf die Wiedergabefähigkeit der SuS von Informationen einfacher mathematischer Darstellungen abgezielt. Im Einzelnen sollen die Lernenden mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit eigenen Worten erläutern können. Im Bereich Modellieren sollen darüber hinaus Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle übersetzt werden, was eine notwendige Voraussetzungen für die Thematik der Zuordnungen darstellt.
Im Bereich der inhaltsbezogenen Kompetenzen müssen die SuS ganze Zahlen auf verschiedene Weise darstellen können. Elementar ist zudem die Kenntnis der Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, endlichen Dezimalzahlen und einfachen Brüchen zum Verständnis der Zuordnungen. Durch die notwendige Verwendung von Tabellen und verschiedenen Größen in Diagrammen und Tabellen können Beziehungen zwischen den Einträgen hergestellt werden. Im Bereich Geometrie ist es erforderlich, die Grundbegriffe Punkt, Gerade, parallel, achsen- und punktsymmetrisch zur Beschreibung der Verlaufs der Graphen zu verwenden.
Lehrplan
Bei der nachfolgenden Darstellung beziehen wir uns auf den Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen im Fach Mathematik. Die Thematik der proportionalen, linearen und antiproportionalen Zuordnungen findet sich hierbei in den Kompetenzerwartungen nach Ende der Klasse 8 wieder.
Prozessbezogene Kompetenzen
Im Rahmen der dort angesprochenen prozessbezogenen Kompetenzen weist dieser auf folgende Aspekte hin:
1. Argumentieren/Kommunizieren
Schülerinnen und Schüler
- ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graph), strukturieren und bewerten sie
- vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentation und Darstellungen
- geben Ober- und Unterbegriffe an und führen Beispiele und Gegenbeispiele als Beleg an (z.B. Proportionalität, (...))
2. Problemlösen
Schülerinnen und Schüler
- planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
- nutzen verschiedene Darstellungsformen (z.B. Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung
3. Modellieren
Schülerinnen und Schüler
- übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Zuordnungen, lineare Funktionen, (...))
- überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell
4. Werkzeuge
Schülerinnen und Schüler
- nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Im Rahmen der inhaltsbezogenen Kompetenzen werden folgende Aspekte thematisiert:
1. Funktionen
Schülerinnen und Schüler
- stellen Zuordnugen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Graphen und in Termen dar und wechseln zwischen diesen Darstellungen
- interpretieren Graphen von Zuordnungen und Terme linearer funktionaler Zusammenhänge
- identifizieren proportionale, antiproportionale und lineare Zuordnungen in Tabellen, Termen und Realsituationen
- wenden die Eigenschaften der proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen an
Die drei Typen von Zuordnungen in der Theorie
Proportionale Zuordnungen
Definition
Eine Zuordnung heißt proportional, wenn die folgenden Regeln gelten:
Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) man eine Ausgangsgröße, so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) sich auch die zugeordnete Größe.
Halbiert (drittelt, viertelt, ... ) man eine Ausgangsgröße, so halbiert (drittelt, viertelt, ... ) sich auch die zugeordnete Größe.
Damit folgt: Zwei Größen x und y heißen proportional, wenn die Quotienten aller Zahlenpaare konstant sind.
Der Graph einer proportionalen Funktion:
Lineare Zuordnungen
Definition
Eine Zuordnung mit der Funktionsgleichung heißt lineare Zuordnung bzw. lineare Funktion. Sie unterscheidet sich durch den konstanten Faktor
von dem Fall der proportionalen Zuordnung. Hierbei wird
als das absolute Glied oder der Achsenabschnitt bezeichnet. Der Graph einer linearen Zuordnung ist eine Gerade.
Allgemein gilt: Für steigt die Gerade. Für
fällt die Gerade. Im Fall
wird jedem
derselbe Wert zugeordnet. Wir erhalten eine konstante Funktion.
Der Graph einer linearen Funktion:
Antiproportionale Zuordnungen
Definition
Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn Folgendes gilt:
Wird die Ausgangsgröße verdoppelt (verdreifacht, ...), so halbiert (drittelt, ...) sich die zugeordnete Größe.
Wird die Ausgangsgröße halbiert (gedrittelt, ...), so verdoppelt (verdreifacht, ...) sich die zugeordnete Größe.
Daraus folgt, dass die Produkte einander zugeordneter Zahlen stets gleich sind (produktgleich).
Für alle Zahlenpaare (x,y) einer antiproportionalen Zuordnung ist also (wobei c eine Konstante darstellt).
Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung heißt Hyperbel:
Motivation
Beispiele aus der Lebenswelt der SuS:
- Rennrad: Die Rahmengröße muss zur Körpergröße bzw. insbesondere zur Schrittlänge des Fahrradfahrers passen; bei Rennrädern sollte die Rahmenhöhe zwei Drittel der Schrittlänge betragen.
- Kosten: Die Kosten für Telefone setzen sich aus variablen Kosten je Zeiteinheit und fixen Kosten (Grundkosten) zusammen, die unabhängig von der Gesprächsdauer gezahlt werden müssen.
- Geschwindigkeit: Schüler fahren mit dem Bus bzw. mit der Bahn mit einer konstanten Geschwindigkeit und möchten zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort ankommen.
- Baustelle: Bauarbeiter heben eine Grube aus. Die Anzahl der Arbeitsstunden hängt von der Anzahl der Arbeiter ab.
Aufgaben
Aufgabe 1
Bei der nachfolgenden Aufgabenstellung handelt sich um ein Beispiel zur Anwendung der Kenntnisse über proportionale Zuordnungen.
 Aufgabe
Familie Meier fährt am zweiten Weihnachtsfeiertag in ihren wohlverdienten Skiurlaub nach Ischgl. Sie schauen, nachdem sie in Bielefeld auf die Autobahn A2 (Anschlussstelle Bielefeld-Sennestadt) gefahren sind, auf den Kilometerzähler und stellen diesen auf Null. Der erste prüfende Blick auf Höhe von Kassel - das Autobahndreieck Kassel-Süd (121 km) wird nach 58 Minuten passiert. Bei einem weiteren Blick auf den Zählerstand befinden sie sich nach insgesamt 1:45 Stunden auf Höhe von Fulda (216 km). Die Familie Meier bemerkt auf Höhe von Würzburg, dass sie bereits 320 km in 2:35 Stunden zurückgelegt haben. Die Kinder werden unruhig und beginnen das Quengeln – Herr Meier fährt nichtsdestotrotz konsequent weiter, um den Urlaubsort noch vor Anbruch der Dunkelheit zu erreichen. In Ulm (498 km) stimmt nun auch Frau Meier in das Klagelied der Kinder mit ein. Sie sind schon 4:10 Stunden ununterbrochen unterwegs. Schließlich nach 612 km resigniert Herr Meier – die Familie kehrt nach nunmehr 4:55 Stunden Fahrt in einem Motel an der Autobahn ein. Aufgabenstellung: Bestimmen Sie näherungsweise die durchschnittliche Geschwindigkeit pro Zeiteinheit der Familie mit Hilfe des TI-Nspire.
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Lösungsvorschlag
 Lösung
Zunächst werden die notwendigen Daten mit Hilfe der Applikation Lists & Spreadsheats eingetragen. Im Menüpunkt Graphs & Geometry tragen wir nun die Punkte durch den Befehl Streu-Plot ein. Wir approximieren den proportionalen Zusammenhang, indem wir eine beliebige proportionale Funktion im Menüpunkt Funktionen zeichnen. Diesen verschieben wir geschickt, so dass wir die näherungsweise Approximation gefahrener Kilometer je Minute durch die Funktion Anschließend definieren wir die Funktion |
Aufgabe 2
Bei der nachfolgenden Aufgabe handelt es sich um ein Beispiel zum Thema der linearen Zuordnung. Alternativ können selbstredend andere Sachverhalte für den Unterricht ausgewählt und dort implementiert werden.
Aufgabenstellung:
| Aufgabe
Ein Taxi (A) startet bei einer Nachtfahrt mit einer Grundgebühr von 3 € (fixe Kosten). Pro gefahrenen Kilometer berechnet der Taxifahrer 1,30 Euro. Auf seinem Taxameter steht folgerichtig zu Beginn der Fahrt eine Startsumme. Wenn er abfährt, läuft das Taxameter und ermittelt den Endpreis. Die Zunahme des Preises geht dann proportional zur gefahrenen Wegstrecke.
Ulf fährt mit einem anderen Taxi (B), von dem er weiß, dass der Taxifahrer pro Kilometer 80 Cent berechnet. Er glaubt daher, dass dieser günstiger ist. Er bezahlt für 12 km genau 14,00 €.
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Lösungsvorschlag
| Lösung
Im Menüpunkt Lists & Spreadsheats tragen wir die Gesamtkosten und die Gesamtkosten je Kilometer ein, die sich aus fixen und variablen Kosten zusammensetzen. Wir erhalten die lineare Funktion Wir ermitteln nun den funktionalen Zusammenhang für das Taxi (B) mit höheren fixen Kosten. Wir erhalten hierbei die lineare Funktion |
Aufgabe 3
| Aufgabe
Ein neuer Sportwagen der Firma Porsche soll auf einer Rennstrecke getestet werden. Sechs unterschiedliche Testfahrer bekommen die Aufgabe jeweils eine Runde auf dem Testgelände zu absolvieren. Hierbei haben sie die Anweisung die Geschwindigkeit des Fahrzeugs möglichst konstant zu halten. Die Zeit, die sie vom Start bis zurück ins Ziel benötigen, wird gestoppt. Es ergeben sich folgende Messungen: 180 km/h - 40 min.; 140 km/h - 50 min.; 125 km/h - 60 min.; 230 km/h - 29 min.; 262 km/h - 28 min.; 202 km/h - 34 min. Aufgabenstellung:
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Lösungsvorschlag
| Lösung
Im Menüpunkt Lists & Spreadsheet werden die Messwerte in die Tabelle eingetragen. Dann werden in dem Menüpunkt Graphs & Geometry unter Menu,Grafiktyp, Streuplot die Datenpaare im Koordninatensystem dargestellt. Zum Prüfen auf Antiproportionalität wird eine dritte Spalte zur Zuordnungstabelle hinzugefügt, in der die Produkte der Datenpaare angezeigt werden. Das Produkt aus Geschwindigkeit v und Zeit t entspricht der zurückgelegten Strecke s. Hierbei gilt es allerdings auf die Einheiten zu achten. In dieser Aufgabe muss die Zeit von Minuten auf Stunden umgerechnet werden, es wird also durch 60 geteilt. Zum Finden der Funktionsgleichung wähle nun in der Zuordnungstabelle Menu, Statistik, Statistische Berechnungen, Potenzregression aus. Der Taschenrechner liefert so nun näherungsweise die gesuchte Zuordnungsvorschrift. Alternativer Lösungsweg Eine andere Möglichkeit, die gesuchte Funktionsgleichung näherungsweise zu bestimmen, wäre, dass man das arithmetische Mittel der Produkte bildet und dann aus der annähernden Produktgleichheit von |
Beispiel eines Unterrichtseinstiegs zum Thema "antiproportionale Zuordnungen" auf der Basis eines handlungsorientierten Unterrichts
Aufgabe 1
| Aufgabe
Nimm kariertes Papier. Schneide daraus verschiedene Rechtecke mit der Fläche von 48 Kästchen. Vergleicht die Rechtecke untereinander.
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| Lösung
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Aufgabe 2
| Aufgabe
Veranschauliche die Feststellungen aus der obigen Aufgabe mithilfe des TI-Nspire CAS.
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| Lösung
In dem Menüpunkt Graphs wird ein Rechteck eingezeichnet und die Seitenlängen sowie der Flächeninhalt gemessen. Der Flächeninhalt wird festgesetzt, indem man Ctrl und Menu drückt und unter Attribute das Objekt sperrt. Nun werden die Seitenlängen und der Flächeninhalt mit Variablen definiert (Var drücken und Variable speichern). Im nächsten Schritt wird eine neue Seite unter dem Menüpunkt Lists and spreadsheet geöffnet. Hier können die Werte der Seitenlägen eingefügt werden. Variiert man nun die Längen, werden diese in die Tabelle übertragen. |
Diskussion zum handlungsorientierten Unterricht
Im Seminar kam die Frage auf, ob es sinnvoller wäre, den Schülerinnen und Schülern eine Datei vorzugeben, mithilfe derer sie die Aufgabe direkt lösen können, oder ob es doch geeigneter wäre, dass die SuS sich selbstständig diese Datei erarbeiten.
Für die schwächeren SuS gilt es diesbezüglich zu konstatieren, dass eine eine vorgefertigte Datei sicher hilfreich wäre. So könnten sie sich unmittelbar auf die wesentlichen Aufgabenbestandteile konzentrieren und verlieren diese nicht aus den Augen, indem sie nur mit der Technik zu kämpfen haben. Andereseits könnte man jedoch auch so vorgehen, dass die SuS, die sicher im Umgang mit dem TI-Nspire CAS sind, denjenigen helfen, die Schwierigkeiten haben.
Für die leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler bietet es sich an, dass sie sich die Datei selbst erarbeiten, da sie so eigenhändig ausprobieren und Erfahrungen sammeln können. Außerdem wären sie sonst möglicherweise unterfordert, wenn ihnen alles kleinschrittig vorgegeben werden würde.
Didaktischer Kommentar
Die Zuordnungen nehmen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I vor allem als Grundlage für das Thema der Funktionen, welches in der Sekundarstufe II implementiert wird, eine wichtige Rolle ein. Es soll somit grundlegend um das Verständnis des diskreten Begriffs der Zuordnung gehen. Die SuS lernen proportionale und antiproportionale Zusammenhängen kennen, sowie den Umgang und die Unterschiede zwischen diesen. Es werden die drei elementaren Darstellungsformen von Zuordnungen, nämlich die Zuordnungstabelle, die Zuordnungsvorschrift sowie die graphische Darstellung im Koordninatensystem, eingeführt und auch der Umgang mit bzw. der Wechsel zwischen ihnen gelehrt.
In den Aufgaben wird dieses für die SuS eher theoretische Thema mit Alltagsbeispielen verbunden, um so ein besseres Verständnis hervorzurufen bzw. die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Größen nachvollziehbarer zu machen. Die SuS sollen die Art der Zuordnung erkennen, diese dann tabellarisch und graphisch darstellen und am Ende die Zuordnungsvorschrift finden sowie im Falle der Taxi-Aufgabe argumentativ zwei verschiedene lineare Zuordnungen vergleichen.
Mit Hilfe des TI-Nspire CAS erlangen die SuS erste Fähigkeiten im Umgang mit Tabellenkalkulationen. Er dient zur visuellen Darstellung der Zuordnungsgraphen und erleichtert das Finden der Zuordnungsvorschrift bzw. der Funktionsgleichung. Zudem ermöglicht der Taschenrechner ein einfaches Umsetzen von Parameterveränderungen. Somit können die SuS die Auswirkungen der verschiedenen Parameter (z.B.: Proportionalitätsfaktor und Grundbetrag) auf den Graphen entdecken.
Bei der handlungsorientierten Einführung der antiproportionalen Zuordnungen geht es darum, dass die Schülerinnen und Schüler eigenständig die Eigenschaften der antiproportionalen Zuordnungen erforschen und herausfinden. Dabei sollen sie sich gegenseitig helfen und untereinander kommunizieren. Indem sie zuerst praktisch arbeiten und eigene Rechtecke ausschneiden, soll ihre Motivation angeregt und ihr Interesse geweckt werden. Hierbei ist es jedoch von großer Bedeutung, dass die Lehrkraft die Aufgaben klar und deutlich formuliert, so dass die SuS wissen, was von ihnen verlangt wird. Indem die Lernenden sich eigenständig mit dem neuen Thema auseinandersetzen und die Lehrkraft ihnen nicht die wichtigsten Informationen vorgibt, haften ihre neuen Erkenntnisse besser im Gedächtnis. Die Lehrkraft beobachtet die Lernenden lediglich und greift ein, wenn sie sich auf einem vollkommen flaschen Weg befinden. (Dies sollte anhand der genauen Aufgabenstellung aber generell nicht passieren.) Nachdem die Schülerinnen und Schüler selbstständig Erkenntnisse geworden haben, greift die Lehrkraft wieder in das Geschehen ein und sichert die Ergebnisse an der Tafel. Durch die Ergebnissicherung wird gewährleistet, dass am Ende alle Lernenden die gleiche Auffassung über antiproportionale Zuordnungen haben und ggf. entstandene Missverständnisse können beiseitigt werden.
Literaturverzeichnis
- Buckel, Friedrich W. (2007): Algebra-Training mit TI Nspire CAS. Siehe: www.gibb.ch/file/Algebra-Training_TI-nspire.pdf, abgerufen am 10.12.2009.
- Erbrecht, Rüdiger (2009): Das große Tafelwerk interaktiv. Cornelsen.
- Griesel, Heinz et al. (2003): Elemente der Mathematik 7. Braunschweig: Schroedel Verlag.
- Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes NRW (2007): Kernlehrplan für das Gymnasium-Sekundarstufe I (G8) in NRW Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag.
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