Auftrieb eines Flugzeugflügels
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Motivation
Warum fliegt ein Flugzeug? Diese Frage hat sich sicher jeder schon mal gestellt. Die Antwort ist auch keinesfalls trivial! Um die Frage wissenschaftlich und detailliert zu beantworten, bedarf es fundierter physikalischer Kenntnisse über Druck, Strömung und Aerodynamik. Um das Grundprinzip zu verstehen, reichen aber auch ein paar Basiskenntnisse, die in diesem Artikel erworben werden können. Mit Hilfe einfacher geometrischer Werkzeuge lassen sich dann sogar Aussagen über die Eigenschaften verschiedener Flügeltypen machen.
Physikalischer Hintergrund
Auftrieb
Damit Flugzeuge fliegen können, muss eine Kraft nach oben wirken, die mindestens so stark ist wie die Erdanziehungskraft, die auf das Flugzeug wirkt. Diese Kraft nennt sich "Auftrieb". Bewegt sich das Flugzeug vorwärts, so teilen die Tragflächen den Luftstrom in einen unteren und einen oberen Teil. Durch die Wölbung des Profils des Flügels muss die Luft auf der oberen Seite einen weiteren Weg zurücklegen als auf der unteren. Durch diesen "weiteren Weg" erhöht sich die Strömungsgeschwindigkeit auf der oberen Seite (siehe Abb. rechts). Nach dem Gesetz der Strömungslehre (Bernoulli-Gleichung) führt diese Gewindigkeitszunahme zu einer Reduktion des Drucks. Auf dem oberen Teil des Flügels entsteht ein Unterdruck und somit ein Sog, der den Auftrieb erzeugt.
Es gibt viele verschiedene Flügeltypen mit unterschiedlichen Wölbungen und somit unterschiedlichen Auftriebs- und Flugeigenschaften. Eines haben aber alle gemeinsam: Der wesentliche Grund für ihr Fliegen ist der Unterdruck auf der Oberseite des Flügels.
Zusammengefasst: Wölbung der Tragfläche längerer Weg auf Oberseite
höhere Strömungsgeschwindigkeit
Unterdruck bzw. Sog
Auftrieb des Flugzeugs.
Strömungsabriss
Durch den Anstellwinkel des Flügels kann man den Auftrieb oft noch erhöhen. Allerdings erhöht sich so auch der Luftwiderstand, welcher durch mehr Leistung kompensiert werden muss. Kann der Luftwiderstand nicht kompensiert werden, kommt es zum so genannten "Stall" (engl. für Strömungsabriss). Die Strömung strömt dabei nicht mehr gleichmäßig um den Flügel, es entstehen auf der Oberseite des Flügels Verwirbelungen (siehe Abb. rechts). Ist ein gewisser Grad von Verwirbelungen erreicht, geht der Unterdruck und somit der Auftrieb verloren. Es kommt zum Strömungsabriss und das Flugzeug fällt unkontrollierbar wie ein Stein vom Himmel.
Zusammengefasst: Flugzeug zu langsam bzw. Anstellwinkel zu hoch Verwirbelungen auf der Oberseite des Flügels
Strömungsabriss.
Notwendige Voraussetzungen
Schülerinnen und Schüler
- sind im Umgang mit Polynomen bzw. Funktionen geschult.
- verfügen über elementare geometrische Kenntnisse (vor allem über Winkel und Kreise).
- können mit Geometriesoftware bzw. dem Taschenrechner TI-Nspire CAS umgehen.
Aufgabe
 Aufgabe
Flügeltyp A:
Flügeltyp B:
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CAS-Simulation eines Flugzeugflügels
Download hier: Datei: CAS_fluegel.tns Diese Simulation zeigt den Querschnitt eines Flugzeugflügels. Man kann das rechte Ende der dicken Geraden - die den Querschnitt darstellt - fassen und auf und ab bewegen. Dabei verändert sich der Anstellwinkel des Flügels. Die Simulation unterscheidet dabei zwischen zwei Anstellwinkeln. Der erste Anstellwinkel ist der allgemein gebräuchliche und wird zum Flugzeug (also zur Horizontalen) gemessen. Der zweite Anstellwinkel wird zum Lot (also zur Vertikalen) gemessen, er wird in dieser Simulation aus praktischen Gründen für die Rechnungen genutzt. Der Vektor am linken Ende der Geraden zeigt den Auftrieb des Flugzeugs. Ist der Auftrieb negativ, so gab es einen Strömungsabriss und das Flugzeug befindet sich im freien Fall.
Die Daten entsprechen natürlich keinem bestimmten Flügeltyps, sondern sind fiktiv und stimmen nur sehr ungefähr mit den realen Daten überein. Das Polynom, dass der Simulation zu Grunde liegt, wurde extra auf die geometrischen Gegebenheiten des Taschenrechners angepasst. Es nutzt ebenfalls den Anstellwinkel zum Lot. Echte Daten gibt es z.B. hier: Auftriebsbeiwert.svg (nutzt Anstellwinkel zum Flugzeug).
Hinweis: Subtrahiert man 90° vom Anstellwinkel zum Lot, erhält man den Anstellwinkel zum Flugzeug.
Verwendetes Polynom:
Bezug zum Lehrplan
- Der Zusammenhang mit dem Fach Physik wird gefördert. Arbeit mit mathematischen Modellen in fachübergreifenden Kontexten.
- Koordinatengeometrie wird vertieft. Etwa durch die Idee des Messens in Aufgabenstellung 1 oder dem analytische Zusammenhang in Aufgabenstellung 2.
- Analyse, Strukturierung und Interpretation von Daten im Kontext einer Simulation.
- Ausbildung von Argumentations- und Urteilsfähigkeiten.
Didaktischer Kommentar
Physik und Mathematik sind eben so eng verbunden wie Geometrie und Analysis. Mit diesem Unterrichtsbeispiel kann man den Schülerinnen und Schülern beide Zusammenhänge näher bringen.
Dabei werden technologische Hilfsmittel so eingesetzt, dass sie die Schülerinnen und Schülern zwar bei ihren Forschungen unterstützen, ihnen aber nicht die eigentliche Arbeit aus der Hand nehmen. So können sie zum Beispiel feststellen, dass man beim Messen des Flügeltyps ein besseres Ergebnis erhält, je genauer man die Rundungen der Tragfläche mit Geraden approximiert.
Die Untersuchung der Simulation dient wiederum der Motivation der Schülerinnen und Schüler. Sie sollen dabei lernen, dass man sogar mit einem Taschenrechner sinnvolle mathematische Modelle erstellen kann. Weiterhin wird gezeigt, wie Analysis und Geometrie zusammen funktionieren und wie naturwissenschaftliche Fragen mathematisiert werden können.
Gerade für den Einstieg in die Oberstufe ist eine solche Aufgabenstellung sicher sinnvoll. So werden nicht nur Verknüpfungen zur Sek. I hergestellt, Schülerinnen und Schüler erfahren auch den Sinn von Mathematik in einem erweiterten Kontext.
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