Das Varignon-Parallelogramm ... auch im Raum
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Varignon Parallelogramm
Ziel ist es, den Schülern zu helfen, einen mathematischen Beweis für den Satz von Varignon zu entwickeln, indem sie die Aussage geometrisch darstellen und bereits während der Konstruktion intuitiv die daran gebundenen Gesetzmäßigkeiten erfahren.
Die Möglichkeit, mittels Softwareeinsatz laufende Übergänge zu sehen, ermöglicht es den Schülern, ein Verständnis für das geometrische Verhalten zu entwickeln und daraus Überlegungen anzustellen, die den Beweis schaffen.
Da der Beweis, einmal gesehen, völlig einsichtig und auch leicht wird, ist es sinnlos, ihn an dieser Stelle gleich darzustellen. Diese Seite ist nur für den Seminarvortrag gedacht und der Satz / Schuleinsatz wird auf der unten angegebenen Seite ausführlich mit verschiedenen Beweisen und Hintergrundinformationen beschrieben.
Satz zum Varignon Parallelogramm
"Jedes Viereck bildet mit seinen Seitenmitten ein Parallelogramm."
Dieses Phänomen tritt nicht nur bei ebenen Vierecken auf, sondern ganz allgemein im Raum.
Arbeitsphase:
- Konstruiere eine geometrische Darstellung des Satzes von Varignon (Geogebra, Archimedes, oder TI-Nspire).
- Finde eines Beweis für den Satz (z.B. geometrisch, vektoriell, physikalisch). Es ist hilfreich, wenn man mit dem geometrischen Beweis beginnt und bei der Konstruktion des Vierecks bedenkt/darstellt, dass sich das Viereck stets durch zwei Dreiecke bilden läßt. Durch Verändern des Vierecks erkennt man die Gestzmäßigkeit.
- Erstelle den Beweis auch im Dreidimensionalen.
- Bleibt Zeit übrig, dann erstelle einen vektoriellen, bzw. mechanischen (Schwerpunktsatz) Beweis.
- Besprechung der Tragweite der Beweise: Kraft eines Beweises, historische Entwicklung etc.
Zum Lehrplan der Sek II
Gemäß den Richtlinien für die gymnasiale Oberstufe in NRW soll der Mathematikunterricht ,,als Mittel zur Aufklärung komplexer Sachverhalte erfahren werden und dabei die ,,kulturelle und zivilisatorische Bedeutung der Mathematik aufzeigen. Die Abstraktion eines Physikalilschen Kräfteproblems auf ein mathematisches Modell, das seine Berechnung ermöglicht, erfüllt sowohl die Forderung nach der Elementarsierung komplexer Umstände, als auch nach der kulturellen Einindung, wenn man bedenkt, dass der Beweis historisch gewachsen von der Beschreibung über das mathematische Modell zur Schwerpunktsanalyse, oder die geometrische Beschreibung mittels Strahlensatz, bis hin zur Vektorgeometrie im euklidischen Raum geführt werden kann.
Das Ministerium für Schule (NRW) fasst die Forderungen zum gymnasialen Unterricht in einigen Stickhworten zusammen. Der Beweis zum Varignon-Parallelogramm im Unterricht vollzogen, entspricht dem in den Punkten:
- Aneignung grundlegender Modelle der Geometrie/Linearen Algebra,
- exemplarische Einblicke in historische Genese der Mathematik,
- Verbindungen mathematischer- und außermathematischer Kultur herstellen,
- Verstehen der Elementarisierung komplexer Sachverhalte,
- heuristisches Arbeiten durch die Dynamisierung per Software.
Literaturverzeichnis
- School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland, O'Connor und Robertson July 2007
- Scriba, Christoph J.; Schreiber, Peter (2010): 5000 Jahre Geometrie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Seite 432
- Wittmann, Erich Ch. Elementargeometrie und Wirklichkeit
- http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/elemgeom/varignon/varignon.html#2.1
- (Ausführliche Beweisführung und Erklärung zum Unterrichtseinsatz)
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