Die Parabel: geometrisch konstruiert
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Wie eine Parabel aussieht und wie die Funktionsvorschrift einer Parabel aussieht, ist den Schülerinnen und Schülern einer elften Klasse ziemlich gut bekannt. Es gibt aber noch eine andere Möglichkeit eine Parabel zu erstellen und zwar kann eine Parabel geometrisch konstruiert werden.
Inhaltsverzeichnis |
Fachlicher Hintergrund
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem festen Punkt F, oft Brennpunkt genannt, und einer Geraden, Leitlinie genannt, gleich lang ist.
Voraussetzungen der Schülerinnen und Schüler
Schülerinnen und Schüler (SuS)
- verfügen über gute geometrische Kenntnisse (Parabel, Tangente, Lot (Senkrechte), Punkte und Geraden
- kennen quadratische Funktionen
- nutzen den TI-Nspire CAS und dynamische Geometriesoftware um inner- und außermathematische Probleme zu lösen.
Aufgabenstellung
 Aufgabe
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 Lösung 1
Geometrische Definition einer Parabel: Eine Parabel besteht defintionsgemäß aus genau allen Punkten P, deren Abstand von einem festen Punkt B (Brennpunkt) und einer festen Geraden L (Leitlinie) gleich ist. Der Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitelpunkt der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel ist die einzige Symmetrieachse der Parabel. |
| Lösung 2
Um die Aufgabe etwas zu vereinfachen, wird die Aufgabe an der Parabel gelöst, die ihren Scheitelpunkt auf dem Punkt (0/0) hat und die achsensymmetrisch zur y-Achse ist. In der vorliegenden Lösung wird zunächst angenommen, dass der „physikalische“ Brennpunkt auch der geometrische ist und dann überprüft, ob der Einfallswinkel und der Reflexionswinkel gleich groß sind. Dazu wird zuerst ein Sonnenstrahl durch einen beliebigen Punkt auf der Parabel durch eine Gerade parallel zur y-Achse dargestellt. Anschließend wird die angenommene Reflexionsgerade durch den eben erzeugten Punkt P und den Brennpunkt B erzeugt. Anschließend werden die Tangente der Parabel in dem Punkt P und das Lot der Tangente im Punkt P konstruiert. Falls die Tangente nicht „richtig“ angezeigt wird, muss wie oben beschrieben die Fenstereinstellung auf Standard gesetzt werden. Jetzt können wir den Einfalls- und Reflexionswinkel messen. Da der Einfallswinkel und der Reflexionswinkel gleich groß sind, stimmen der „geometrische“ und „physikalische“ Brennpunkt überein.Über die Konstruktion Geometrischer Ort können beliebig viele „Sonnenstrahlen“ und „Reflexionsstrahlen“ angezeigt werden. |
Einordnung in die Kernlehrpläne
Die Parabel geometrisch zu konstruieren oder zu verstehen, wie eine Parabel geometrisch konstruiert werden kann, kann im Rahmen der Behandlung der Koordinatengeometrie (Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe) behandelt werden. Besonders betont werden können dabei die folgenden zentralen Ideen:
- „Idee des funktionalen Zusammenhangs“
- „Idee des Messens“
- „Idee des mathematischen Modellierens“
Dabei können insbesondere die folgenden Kompetenzen gefördert werden: Schülerinnen und Schüler
- Argumentieren
- Kommunizieren
- Präsentieren
Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts ist die Begriffsbildung. Durch das Konstruieren der Parabel wird der (funktionale) Parabelbegriff um eine (geometrische) Vorstellung erweitert.
Didaktischer Kommentar
Dieses Unterrichtsbeispiel bietet den SuS die Möglichkeit, die Parabel auf eine neue, geometrische Weise zu verstehen. Der bisher bekannte Begriff „Parabel“ wird weiter ergänzt, so dass die SuS sich unter einer Parabel anschließend „mehr“ vorstellen können.
Hierbei werden ein geeignetes Einsetzen der technologischen Hilfsmittel und die kritische Auseinandersetzung mit den so gefundenen Lösungen gefördert. Wie die SuS die Aufgaben lösen, ist ihnen selbst überlassen, somit können sie den Zugang wählen, der ihnen am besten liegt.
Zunächst sollen die SuS nachvollziehen, wie eine Parabel geometrisch konstruiert werden kann und in diesem Prozess eine geometrische Definition der Parabel aufstellen. Es wäre genauso gut möglich, die Aufgabe umgekehrt zu stellen, indem die Definition angegeben wird und die SuS eine Parabel konstruieren sollen. Allerdings würde diese Aufgabe eine sehr gute Bedienung des TI-Nspire CAS und recht viel Zeit voraussetzen.
In Aufgabe 2) sollen die SuS irgendwie überprüfen, ob der geometrische Brennpunkt auch der physikalische Brennpunkt ist, in dem sich parallel einfallende Strahlen bündeln. Eine Schwierigkeit könnte bei dieser Aufgabe das Reflexionsgesetz bilden. Wenn dieses Gesetz noch nicht bekannt ist, könnten manche SuS schon beim Lesen des Gesetzes aufgeben. Andererseits bietet das Reflexionsgesetz Möglichkeiten zum fächerübergreifenden Unterricht (Physik). Vielleicht müsste man bei dieser Aufgabe noch den Tipp geben, dass die SuS mit der Tangente arbeiten sollen. An dieser Stelle liegt meiner Meinung nach die Schwierigkeit der Aufgabe.
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