Rotationskörper

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Kurzinfo
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Im Folgenden soll es um Rotationskörper und deren Behandlung in der Sekundarstufe 2 gehen. Rotationskörper fallen in den Themenbereich der Analysis. Sie stellen eine anschauliche Möglichkeit dar, sich intensiver mit der Integralrechnung zu beschäftigen.

Motivation

Das CAS dient der Veranschaulichung der Aufgabenstellung und ermöglicht ein zeiteffizientes Testen von „Berandungsfunktionen“. Darüberhinaus dient es dem schnellen Berechnen von Integralen, die zum Teil partiell aufgeleitet werden müssen. Dies sind Kenntnisse, die in einem Grundkurs nicht vorausgesetzt werden können, allerdings durch den Einsatz des CAS elegant umgangen werden können, um die Betrachtungsmöglichkeiten zu erweitern.

Mathematischer Hintergrund

Die Berechnung eines Rotationsvolumens um die x-Achse einer Funktion f(x) berechnet man mit folgender Formel:

Sei [a,b] ein endliches Intervall und f(x) die "Berandungsfunktion" dann gilt für das Volumen folgende Formel:

Eine ausführliche Herleitung liefert Ronny Harbicht:

http://www-e.uni-magdeburg.de/harbich/rotationskoerper/rotationskoerper.pdf

Das Rotationsvolumen für einen Rotationskörper um die y-Achse siehe:

Rotation um die y-Achse

Voraussetzungen der Schüler

Die Schüler sollten mit den Grundfertigkeiten der Integralrechnung vertraut sein. Weiterhin benötigen sie für die gesamte Unterrichtseinheit Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1. So sollten sie die Formeln zur Volumenberechnung von Körpern wie Zylindern, Kegeln usw. beherrschen. Alternativ können sie sich einer Formelsammlung bedienen. Darüber hinaus sind Kenntnisse mit einem CAS (Computer Algebra System) notwendig, um die Problemstellungen zu veranschaulichen.

Aufgabenstellung

Aufgabe In einer von der Wirtschaftskrise gebeutelten Glasfabrik denkt man über die Anschaffung einer automatisierten Fertigung nach. Zu diesem Zweck soll der Lehrling Fuchs das Volumen des gängigsten Vasenmodells bestimmen. Dieses wird benötigt, für die neu anzuschaffende Maschine, um eine reibungslose Produktion gewährleisten zu können. Man bestimme das Volumen der Vase.

Unter anderem fertigt Lehrling Fuchs dazu folgende Skizze an:

Mögliche Lösungen

Lösung 1:

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Man füllt die Vase möglichst bündig mit Wasser und füllt dieses dann in ein geeignetes Messgefäß um.

Ergebnis:

Dies ergibt ein Volumen von 1193 cm³ oder eben 1193 ml.

Lösung 2

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Berechnung über zwei Zylinder, die in die Vase gelegt werden. Wie aus der Sekundarstufe 1 bekannt, gilt für Zylinder folgende Volumenformel:

Ergebnis:

Die Volumen der beiden Zylinder zusammen ergeben 1022,98 cm³ oder 1022,98 ml. Optional könnte man das Volumen mit nur einem oder beliebig vielen Zylindern bestimmen. Letzterer Gedanken führt zu Lösung Nr.3.

Lösung 3

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In dieser Lösung wird das Volumen über die Rotation der "Berandungsfunktion" bestimmt:

Zur Veranschaulichung diene die folgende Animation (Erstellt von Macks)

Nutzt man die Formel des Rotationskörpers, ergibt sich:

Ergebnis:

Also beträgt das Volumen in diesem Fall 1319,85 cm³ oder 1319,85 ml.

Einordnung in den Lehrplan

Mit dem Themenbereich rund um den Rotationskörper wird dem Schüler eine realitätsnahe Möglichkeit gegeben, sich mit der Mathematik und deren Anwendung im praktischen Leben auseinanderzusetzen. Gleichzeitig wird ein Beitrag zur Interdisziplinarität des Faches geleistet, die Kenntnisse über die Rotationsfunktion können in der Physik und Biologie eingesetzt werden, und mit diesen Fachbereichen zusammen erforscht werden. Die Schüler können durch die freie Aufgabenstellung einer ungehemmten eigenständigen Suche nach Informationen nachgehen, um diese dann problemorientiert mit in den Erarbeitungsprozess einfließen zu lassen. Durch die Aufteilung in Gruppen werden Softskills wie Teamwork gefördert. Des Weiteren lässt sich anhand der Aufgabe ein Bezug zwischen fachlichem und sozialem Leben aufbauen.