Affine Abbildungen

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Lernpfad

Im folgenden Lernpfad werden die Eigenschaften von affinen Abbildungen erarbeitet. Durch die Verbindung von Experiment und Berechnung sollen folgende Fragen beantwortet werden:

Wie beeinflusst die Abbildungsmatrix die geometrischen Eigenschaften der Bilder?

Welche Eigenschaften der Urbilder bleiben unter welchen Bedingungen erhalten?

Was ist eine affine Abbildung?

Merke:

Eine affine Abbildung bzw. Affinität $LaTeX: %5Calpha$ ist eine geradentreue und umkehrbare geometrische Abbildung der Ebene auf sich.
Es gibt verschiedene Darstellungen für Affinitäten:

Matrixdarstellung:

$LaTeX: %7Bx%27_1%20%5Cchoose%20x%27_2%7D%3D%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%20a_1%20%26%20b_1%20%5C%5C%20a_2%20%26b_2%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%29%20%7Bx_1%20%5Cchoose%20x_2%7D%2B%7Bc_1%20%5Cchoose%20c_2%7D%20%20$

Koordinatendarstellung:

$LaTeX: %5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccccc%7D%20%0Ax%27_1%26%3D%26%20a_1%20x_1%26%20%2B%26%20b_1%20x_2%26%20%2B%26%20c_1%20%5C%5C%20%0Ax%27_2%26%3D%20%26%20a_2%20x_1%20%26%2B%26%20b_2%20x_2%20%26%2B%26%20c_2%20%0A%5Cend%7Barray%7D$

Wodurch unterscheidet man eine Affinität von anderen Abbildungen?

Affinitäten zeichnen sich durch Matrizen aus, deren Spaltenvektoren $LaTeX: %7Ba_1%20%5Cchoose%20a_2%7D$ und $LaTeX: %7Bb_1%20%5Cchoose%20b_2%7D$ linear unabhängig sind.

Aufgabe

Überprüfe, ob es affine Abbildungen mit folgenden Abbildungsmatrizen gibt:

$LaTeX: %5Cleft%28%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%201%20%26%202%20%5C%5C%203%20%26%208%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%29%20$
$LaTeX: %5Cleft%28%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%20-1%20%26%204%20%5C%5C%203%20%26%20-12%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%29%20$

Brauchst du einen Tipp? Die Definition für lineare Abhängigkeit im $LaTeX: %5Cmathbb%7BR%7D%5En$ findest du hier: [Hinweis][Hinweis ausblenden]

Die Vektoren $LaTeX: %5Cvec%7Ba_1%7D%2C%20%5Cvec%7Ba_2%7D%2C%20...%2C%20%5Cvec%7Ba_n%7D$ sind linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist, d.h. es gibt Parameter $LaTeX: r_1%2Cr_2%2C...%2Cr_n%5Cepsilon%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En$ ,so dass $LaTeX: r_1%5Cvec%7Ba_1%7D%2Br_2%5Cvec%7Ba_2%7D%2B...%2Br_n%5Cvec%7Ba_n%7D%3D%5Cvec%7B0%7D$ , wobei mindestens ein Parameter von Null verschieden sein muss.

Noch einen [Hinweis][Hinweis ausblenden]

Im $LaTeX: %5Cmathbb%7BR%7D%5E2$ reicht es somit zu zeigen, dass es einen Parameter r gibt, so dass $LaTeX: r%5Cvec%7Ba_1%7D%3D%20%5Cvec%7Ba_2%7D$ .

Weißt du die Lösung? Dann kannst du sie nun überprüfen: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe

Affine Abbildung, da es kein $LaTeX: k%5Cepsilon%20%5Cmathbb%7BR%7D%20$ gibt, so dass $LaTeX: k%7B1%20%5Cchoose%203%7D%20%3D%7B2%20%5Cchoose%208%7D$
Keine affine Abbildung, da $LaTeX: -4%7B-1%20%5Cchoose%203%7D%20%3D%7B4%20%5Cchoose%20-12%7D$