Der Logarithmus
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Definition
Wir wissen bereits, dass jede Exponentialfunktion f mit f (x) = a*x (a > 0,a 1 ) streng monoton fallend (für a < 1) oder streng monoton steigend (für a > 1) ist.
Also besitzt jede solche Funktion eine Umkehrfunktion . Diese nennt man „Logarithmusfunktion“.
Wir bezeichnen die Logarithmusfunktion zu einer Basis a mit "
" (gelesen „Logarithmus zur Basis a) und den zugehörigen Funktionsterm „
“ (gelesen „Logarithmus von x zur Basis a“).
Somit ist die Logarithmusfunktion zur Basis a mit a > 0,diejenige Funktion , für die gilt:
y = ↔ x =
Damit ist der Logarithmus einer positiven Zahl zur Basis a, also diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten.
Beispiele:
= 3; denn
= 8
= 2; denn
= 9
= 3; denn
= 125
= -2; denn
= ¼
Häufig wird der Logarithmus zu der Basis e ( = 2,71828...) gesucht, den man als "ln" schreibt (= natürlicher Logarithmus).
Als Zehnerlogarithmus (= dekadischer Logarithmus) bezeichnet man den Logarithmus zur Basis 10 und schreibt ihn "lg".
Beispiele:
ln e =
= 1
ln =
= 3
lg 100 = (100) = 2
lg 10000 = (10000) = 4
Da es sich bei der Logarithmusfunktion um die Umkehrfunktion zu der Exponentialfunktion handelt, besteht folgender Zusammenhang:
.
Logarithmieren macht also Potenzieren rückgängig und andersherum.
Hier kannst du die Graphen der Exponentialfunktion und des Logarithmus (mit veränderlicher Basis a) betrachten:
Rechenregeln für Logarithmen
Logarithmus eines Produktes
Logarithmus eines Quotienten
Logarithmus einer Potenz
Logarithmus einer Wurzel
Basiswechselsatz
Um Logarithmen zur Basis b mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis a zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang:
Die meisten Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen Logarithmen nur zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.
Kehrwert eines Logarithmus
Ableitung und Stammfunktion
Die Ableitung des allgemeinen Logarithmus lautet wie folgt:
Daraus ergibt sich für den natürlichen Logarithmus (ln e = 1):
Durch partielle Integration erhält man für das unbestimmte Integral:
Kurvendiskussion
Um eine Kurvendiskussion durchzuführen ist es hilfreich und notwendig, sich folgende Eigenschaften der Logarithmusfunktion bewusst zu machen:
- Definitionsmenge:
- Wertemenge: alle reelle Zahlen
- Schnittpunke
- mit der x-Achse: Nullstelle (1/0)
- mit der y-Achse: es gibt keinen Schnittpunkt mit der y-Achse ( da immer gilt: x > 0)
- Grenzwerte
- Extrempunkte: keine, da
- Wendepunkte: keine, da
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit
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Anwendungsbezogene Aufgaben zum Logartithmus
Aufgabe 1
Faltet man ein Stück Papier im DIN-Format mehrfach längs einer Mittellinie, so liegen erst zwei, dann vier Schichten übereinander. Es wird dabei immer kleiner und dicker. Wie oft müsste man es falten können, um einen Turm zu erhalten, der bis zum Mond reicht? (Entfernung des Mondes:384000 km, Papierdicke 0,2 mm). |
Aufgabe 2
Am 1.1.1960 lebten |
Aufgabe 3
Die Stärke von Erdbeben wird nach der Richter-Skala angegeben. Die Einteilung ist logarithmisch zur Basis 10. Ein Beben der Stärke 3 ist danach 10-mal so stark wie eines der Stärke 2 und 100-mal so stark wie eines der Stärke 1. Aufgabe: Vergleiche zwei Beben der Stärken 2,4 und 3,6. |
Viel Erfolg
Der Logarithmus in Anwendung und Natur
Anwendungen des Logarithmus
- Richterskala
Die Richterskala (benannt nach Charles Francis Richter), die zur Beschreibung von Erdbebenstärken genutzt wird, basiert auf einer deka-logarithmischen Einteilung. Die Erdbebenstärke steigt daher von Stufe zu Stufe exponentiell.
- Dezibel (dB)
Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung, etc.
- Sternhelligkeiten
werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
Die logarithmische Spirale
Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt, dem Pol, um den gleichen Faktor vergrößert. In umgekehrter Drehrichtung schlingt sich die Kurve mit abnehmendem Radius immer enger um den Pol. Jede Gerade um den Pol schneidet die logarithmische Spirale stets unter dem gleichem Winkel. Wegen dieser Eigenschaft spricht man auch von einer gleichwinkligen Spirale.
In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, wie beispielsweise durch Wachstum entstandene Schneckenhäuser, die Anordnung von Kernen in der Blüte einer Sonnenblume, die Form einer Spralgalxie bzw. eines Tiefdruckwirbels:
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