Exponential- und Logarithmusfunktionen
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Herzlich willkommen zum Lernpfad zu Exponential- und Logarithmusfunktionen!
In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den Exponential- und Logarithmusfunktionen auseinandersetzen. Kompetenzen
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| Kurzinfo | ||
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Inhaltsverzeichnis |
Infos vor Beginn
1) Lerntagebuch:
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.
Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
1) Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
2) Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:
- Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
- An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
- Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
- Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?
3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
4) Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
5) Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung
2) Allgemeine Hinweise:
- Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
- Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
- Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
- Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
Exponentialfunktionen
Definition der Exponentialfunktionen
Bevor es richtig losgeht, zuerst einmal eine allgemeine Definition der Exponentialfunktion, damit du überhaupt weißt, worum es im Folgenden gehen soll:
Definition
Eine Funktion der Form mit
für b > 0 und
heißt Exponentialfunktion.
Falls du in der Klasse 9 noch keine Exponentialfunktionen untersucht hast, eine kurze Info: Im Unterschied zu allen anderen Funktionen, die du bisher kennen gelernt hast, steht das x bei Exponentialfunktionen im Exponenten. Solche Funktionen dienen der Beschreibung von Prozessen in der Natur und der Gesellschaft, wie z. B. dem Wachstum von Bakterienkulturen, zur Beschreibung des Bevölkerungswachstums oder auch zur Beschreibung von radioaktivem Zerfall. Eine bestimmte Ausgangsgröße wächst oder fällt dabei pro Zeitabschnitt jeweils um den gleichen Faktor a - ein Beispiel: Eine Bakterienkultur mit anfangs 50 Bakterien wächst stündlich um den Faktor 2 (= verdoppelt sich stündlich), d. h. nach einer Stunde hat sich die Bakterienmenge auf 100 Bakterien, nach 2 Stunden auf 200, nach 3 Stunden auf 400 und nach 4 Stunden auf 800 Bakterien vergrößert.
Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktionen
Zuerst einmal kannst du dich im Folgenden mit verschiedenen Exponentialfunktionen vertraut machen:
Aufgabe 1
Untersuche den Einfluss der Basis b auf den Verlauf des Graphen:
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Alle Fragen beantwortet? Dann noch eine kleine Begriffsdefinition:
Wie du bei der Bestimmung der Definitions- und Wertemenge (hoffentlich) herausgefunden hast, sind die Exponentialfunktionen definiert auf R, die Wertemenge beschränkt sich allerdings auf positive Zahlen. Für kleiner werdende x nähert sich der Graph sozusagen von oben immer mehr der x-Achse an, aber er erreicht sie nie.
 Merke
Die Geraden, der sich Exponentialfunktionen immer weiter annähern (hier also die x-Achse) haben einen speziellen Namen: Sie heißen Asymptoten. Bei der Asymptote einer Funktion handelt es sich aber nicht unbedingt um eine der beiden Achsen. Verschiebst du den Graphen im Koordinatensystem, verschiebt sich dementsprechend auch die Asymptote. |
Nun sollst du einmal selbst Exponentialfunktionen zeichnen:
Aufgabe 2
Betrachte die Funktionen
Hier findest du ein Bild mit den drei Funktionen - bevor du weiterarbeitest, überprüfe, ob du richtig gezeichnet hast. 
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Hier nun eine kleine Ãœbung zum Erkennen von Exponentialfunktionen
Aufgabe 3
Untersuche die folgenden 4 Bilder: Vergleiche jeweils die Graphen der Funktionen. Was stellst du fest? Überprüfe deine Erkenntnisse an selbstgewählten Beispielen mit GeoGebra. Unter den Bildern findest du auch noch einen Hinweis, falls du allein nicht weiter kommst. |
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Ein kleines Quiz zur Überprüfung: Kreuze an, welche Aussagen jeweils auf die Funktion zutreffen.
Zusammenfassung
Aufgabe 4
Stelle zusammenfassend eine tabellarische Übersicht auf, die die Eigenschaften aller möglichen Exponentialfunktionen der Form |
Transformationen
Bislang hast du dich lediglich mit der sogenannten Grundfunktion der Exponentialfunktionen beschäftigt. Nun sollst du dich näher mit möglichen Transformationen, d. h. Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen sowie Spiegelungen von Exponentialfunktionen beschäftigen.
Erinnere dich zurück an die quadratischen Funktionen: Dort hast du mit der Normalparabel als "Grundfunktion" gearbeitet und inzwischen weißt du, wie diese Grundfunktion transformiert werden kann.
Aufgabe 5
Beantworte folgende Fragen in deinem Lerntagebuch. Versuche erst, die Fragen aus dem Kopf zu beantworten - wenn du Hilfe brauchst, nutze die versteckte Datei unten. Ansonsten kannst du mit ihrer Hilfe deine Ergebnisse überprüfen.
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Nun sollst du versuchen, diese Informationen auf Exponentialfunktionen zu übertragen:
Aufgabe 6
Finde heraus, ob die mathematischen Operationen, die für die Transformationen bei quadratischen Funktionen gelten, auch für Exponentialfunktionen gelten. Stelle zuerst Vermutungen an, durch welche Veränderungen in der Funktionsgleichung du (ausgehend von der Grundfunktion
hervorrufen kannst. Erläutere deine Vermutungen im Lerntagebuch und überprüfe mit den folgenden Dateien. |
Eine weitere Transformationsart wurde bislang noch nicht betrachtet:
Aufgabe 7
Gegeben ist die Funktion |
Aufgabe 8
Fabian und Christina diskutieren. Christina behauptet: "Ich habe vorhin eine Entdeckung gemacht. Für Exponentialfunktionen gilt: |
Mit deinen Beispielen hast du herausgefunden, dass Christina Recht hat und die Gleichungen gültig sind.
Aufgabe 9
Fasse deine Ergebnisse zusammen: |
Logarithmusfunktionen
Definition der Logarithmusfunktionen
Vielleicht kennst du aus der Klasse 9 bereits die Logarithmen, einerseits allgemein zur Basis b und im speziellen den sogenannten Zehnerlogarithmus, mit dem du u. U. schon gerechnet hast. Aber zuerst noch einmal die allgemeine Definition:
Definition
Eine Funktion f der Form (sprich: Logarithmus von x zur Basis b) mit für b > 0, x > 0 heißt Logarithmusfunktion.
Vielleicht kennst du diese Funktionenklasse bereits aus der Klasse 9: Die gerade definierte Funktion zur Basis a ist die allgemeine Logarithmusfunktion - für b = 10 ergibt sich eine besondere Logarithmusfunktion, der sogenannte Zehnerlogarithmus. Mit der Taste log oder lg auf deinem Taschenrechner kannst du diesen Zehnerlogarithmus für verschiedenste Werte berechnen. Ein Funktionswert zur Funktion mit einer anderen Basis (also z. B. ) lässt sich nicht so direkt mit dem Taschenrechner berechnen, sondern muss erst umgeformt werden - aber dazu später ....
Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktionen
Die Logarithmusfunktion ist die sogenannte Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion und wird daher oft angegeben mit
- das bedeutet graphisch: Die Logarithmusfunktion geht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden im 1. Quadranten des Koordinatensystems (also im Prinzip an der Geraden zu y = x) aus der Exponentialfunktion hervor.
Aufgabe 1
Skizziere zuerst die Exponentialfunktionen |
Überprüfe die Skizze mithilfe einer Wertetabelle.
Zur Erinnerung: Um mit dem Taschenrechner bestimmen zu können, musst du den Logarithmus umschreiben als Quotienten, da nur der Zehnerlogarithmus mit dem Taschenrechner berechnet werden kann:
. Nun kannst du mithilfe der lg- oder log-Tasten des Taschenrechners die Werte bestimmen.
Unter dem folgenden Link kannst du das Werte berechnen noch etwas weiter üben.
Aufgabe 2
Untersuche nun die Graphen der Logarithmusfunktion zu verschiedenen Basen: Logarithmusfunktion.
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Zum Abschluss ein kleiner Test: Kannst du die
Graphen zuordnen?
Zusammenfassung
Aufgabe 3
Ergänze die Tabelle über die Eigenschaften der Exponentialfunktion hinsichtlich der Eigenschaften der Logarithmusfunktionen |
Transformationen
Aufgabe 4
Betrachte allgemein die Funktion
Überprüfe anhand selbstgewählter Beispiele mit Geogebra und notiere im Lerntagebuch. Bezüglich des Streckens / Stauchens und des Spiegelns können dir auch die folgenden zwei Links helfen: Einfluss des Streckfaktors, Spiegeln an der x-Achse |
Aufgabe 5
Welche Bedeutung hat |
Aufgabe 6
Überprüfe, ob sich auch für die Logarithmusfunktionen die Streckung bzw. Stauchung in y-Achsenrichtung und die Verschiebung auf der x-Achse entsprechen. Wähle drei Beispiele und überprüfe: GeoGebra |
Aufgabe 7
Stelle zwei allgemeine Funktionsgleichungen auf, anhand derer du direkt die verschiedenen Transformationsarten ablesen kannst. Da sich Streckfaktor und Verschiebung in Richtung der x-Achse durcheinander ersetzen lassen, stelle eine Gleichung auf, in der der Streckfaktor enthalten ist und eine, in der die Verschiebung auf der x-Achse angegeben wird. |
Zum Abschluss kannst du hier noch einmal das Zeichnen von Logarithmusfunktionen trainieren: Logarithmusfunktionen selber zeichnen.
Zusammenfassung
Aufgabe 8
Wähle je zwei Beispiele für eine Exponential- und eine Logarithmusfunktion. Erläutere in deinem Lerntagebuch jeweils die verschiedenen Transformationen und zeichne mindestens je eine der Funktionen. |
Zusatzaufgabe
Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbeitung des Lernpfades fertig sein solltest, entwirf als Zusatzaufgabe ein kleines Funktionenbild oder -muster mithilfe von Exponential- und Logarithmusfunktionen. Nutze dazu Geogebra.
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