Exponentialfunktionen unter Einsatz eines Casio GTR

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Lernpfad Kurzinfo Diese Seite gehört zu mathematik-digital. zur Linkdatenbank Im folgenden Lernpfad werden die Exponentialfunktion und deren Anwendungsbereiche, wie zum Beispiel der Zinseszins unter Einsatz eines Casio GTR behandelt.

Zinseszins

An einer grundlegenden Anwendung, der Berechnung des Zinseszins, wird einführend erklärt, welche Rechenvorteile die Exponentialfunktion bieten kann.

Aufgabe Ein Mann hat 1000 Euro für 10 Jahre bei einer Bank angelegt, bei der er 3 % Zinsen pro Jahr erhält. Ermittel wie viel Geld er nach den besagten 10 Jahren auf seinem Sparkonto hat.

Gegeben:

= 1000€

= 10 Jahre

= 3%

Gesucht:

Diese Aufgabe ohne eine Exponentialfunktion zu lösen, wäre relativ aufwendig:

Formel:

...

Rechnung:

...

Allerdings ist sie mit einer Exponentialfunktion mit einer einzelnen Rechnung zu lösen, da im Gegensatz zu Potenzfunktionen die Variable hier im Exponenten, statt in der Basis liegt:

Formel:

Rechnung:

Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen Exponential- und E-Funktion

Grundformel

Exponentialfunktion:

E-Funktion:

wobei e die "Euler'sche Zahl" ist. Diese Zahl hat den ungefähren Wert 2,718. Ihre Exponentialfunktion bleibt beim Ableiten immer gleich, dazu aber in Kapitel 4 "Ableitungsregel" mehr. Vorher soll geklärt werden: Warum gerade diese Zahl?

Existenz und Eindeutigkeit von e

Exponentialfunktionen der Form sehen, wie in der folgenden Graphik zu erkennen alle sehr ähnlich aus und unterscheiden sich lediglich in ihrer Steigung.

in grün

in rot

Je größer also ist, umso schneller steigt die Funktion und umso enger liegt sie an der - und -Achse an.

Außerdem ist in der obigen Graphik gut zu sehen, dass jede der beiden Funktionen der Form zwei Schnittpunkte mit der Geraden (in schwarz) hat.
Das sagt uns, dass es einen Bereich

• mit positiven -Werten gibt, für die kleiner als ist und einen

• mit negativen -Werten gibt, für die kleiner als ist.

Wenn man jetzt aber zum Beispiel das von langsam von 2 auf 4 erhöhen würde, gäbe es einen Punkt, an dem diese Funktion nur einen Schnittpunkt mit der Geraden hat.
In diesem Fall wäre die Gerade eine Tangente von .

Das bei dem dies geschieht beschreibt die Zahl . Im der folgenden Graphik ist dieser Fall zu sehen.

Nun ist auch klar, dass es nur einen derartigen -Wert gibt, da bei einem größeren wieder ein zweiter Schnittpunkt, wie bei der Funktion entstehen würde.

Berchnung von e

Um nun berechnen zu können, wird noch einmal die zweite Graphik benötigt. Hier kann man nämlich die Gleichung aufstellen, dessen Ergebnis ja genau ein Punkt ist.

Für das Näherungsverfahren für ist allerdings folgende Beschriftung notwendig:

Wenn diese Gleichung nun nach aufgelöst wird erhalten wir

Wenn man die Werte für jetzt kleiner werden lässt, geht gegen .

Um immer kleinere betrachten zu können, kann man setzen, wobei für alle natürlichen Zahlen steht.

Wird nun also in

immer größer, geht gegen .

So ergibt sich für

-> ,

für

->

und für

-> ,

was schon sehr nahe kommt.

Merke

graphische Darstellung

Im folgenden Koordinatensystem werden fünf verschiedene Funktionen des Typs dargestellt. Diese haben allesamt unterschiedliche Basen:

, , , ,

Durch diese Graphen lassen sich die Auffälligkeiten der Exponentialfunktion sowie der e-Funktion gut beschreiben.

• So nähern sich die Funktionen bei beliebig großen negativen x-Werten immer weiter der x-Achse, gehen also gegen Null.

• Bei beliebig großen positiven x-Werten gehen die Funktionswerte gegen unendlich.

Merke

Umwandlung einer Exponentialfunktion in eine e-Funktion und umgekehrt

Für das der Grundformel der e-Funktion () lässt sich immer ein Wert finden, sodass ist. Dies lässt sich mithilfe eines Casio GTR oder eines natürlichen Logarithmus berechnen.

Gegeben:

Erstes Beispiel mithilfe des Casio GTR

nun muss die Funktion (entspricht ) in den GRAPH-Modus eingetippt und folgendes berechnet werden:

GTR/GRAPH/G-SOLV/X-CAL

y = 1,25

da der Wachstumsfaktor der Exponentialfunktion hier 1,25 ist und sein soll, damit ermittelt werden kann.

Für erhalten wir etwa 0,22314. Dies ist also unser , welches wir nun in die Form einsetzen können:

Zweites Beispiel mithilfe des natürlichen Logarithmus

nun können wir mithilfe des natürlichen Logarithmus (ln-Taste auf dem TR) sofort im normalen Taschenrechnermodus berechnen:

Merke denn , ist also die Umkehrfunktion von

hier erhalten wir natürlich auch etwa 0,22314, was ebenfalls zu der Funktion führt.

Wie man in den folgenden beiden Graphiken sehen kann sind und , abgesehen von numerischen Ungenauigkeiten auch tatsächlich identisch.

Um nun aus einer e-Funktion eine Exponentialfunktion zu errechnen benötigt man lediglich die bereits genannte Gleichung: . So ist beispielsweise , wie auch bereits bestätigt wurde.

Halbwerts- und Verdopplungszeit

Mit Exponentialfunktionen lassen sich Sachverhalte mit exponentiellem Wachstum bzw. exponentieller Abnahme veranschaulichen. Hierbei spielt die Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit eine große Rolle, da sie in vielen Fragestellungen berechnet werden müssen. So wird im Folgenden die Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit eines Kapitals berechnet.

Aufgabe Peter hat zu seinem Geburtstag ein Sparkonto mit 100€ geschenkt bekommen. Das Kapital wird mit 12% Zinsen pro Jahr verzinst. Wie lange dauert es, bis sich das Kapital verdoppelt hat?

Gegeben:

= 100€

= 12% ()

= 200€

Gesucht:

Beispiel Nr. 1 mithilfe der Formel

Formel:

Rechnung:

Nun muss für nach 2 gesucht werden um die Unbekannte zu erhalten.

GTR/GRAPH/G-SOLV/X-CAL

y = 2

Antwort: Nach 7 Jahren wird sich das Kapital verdoppelt haben.

Mit einer e-Funktion geht das natürlich genauso.

Beispiel Nr. 2 mithilfe des natürlichen Logarithmus

Formel:

Rechnung:

Zuerst muss mit der bereits bekannten Formel berechnet werden:

Jetzt kann eingesetzt werden:

Antwort: Nach 7 Jahren wird sich das Kapital verdoppelt haben.

Um die Halbwertszeit zu berechnen benutzt man ganz einfach die Formel . Diese Formel führt aber natürlich zum gleichen Ergebnis wie , da Verdopplung und Halbierung den gleichen Faktor besitzen.

Merke

Ãœbungsaufgabe

1.: Peter hat zu seinem Geburtstag ein Sparkonto mit 100€ geschenkt bekommen. Das Kapital wird mit 12% Zinsen pro Jahr verzinst. Wielange dauert es, bis sich das Kapital verdoppelt hat? Berechne dies mithilfe einer e-Funktion!

Kontrollergebnis (E-Funktion) anzeigen

Kontrollergebnis (E-Funktion) verstecken
; die Verdopplungszeit ist hier natürlich auch 6,1163 also 7 Jahre

Ableitungsregel

Zum Ableiten einer e-Funktion benötigt man grundlegend erstmal eine Regel. Das Ableiten wird benötigt um Aussagen über das Wachstum von Funktionen zu machen.

Kettenregel

allgemeine Form:

Beispiel:

hier ist

die Ableitung von ist also

ist hier

da die Ableitung von immer gleich ist, ist hier die Ableitung also identisch mit

ist hier also

Merke

Ãœbungsaufgaben

Leite die folgenden Funktionen ab.

1.:

2.:

3.:

4.:

Lösungen anzeigen

Lösungen verstecken
1.: ; 2.: ; 3.: ; 4.:

Erklärung anzeigen

Erklärung verstecken
Um die vierte Funktion Ablzuleiten muss zwei mal die Kettenregel angewendet werden, da es in ebenfalls eine innere () und eine äußere Funktion () gibt. So ist und die äußere Funktion was ergibt. Daher sind das die Schritte um an die Ableitung zu gelangen: -> ->

Wachstumsgeschwindigkeit

Die Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die erste Ableitung einer Funktion bestimmt und spielt eine große rolle in der Analysis da durch sie Extrem- und Wendepunkte sehr einfach zu errechnen sind. Im folgenden Beispiel wird gezeigt wie man die Wachstumsgeschwindigkeit einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnet.

Aufgabe Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur, deren Wachstum durch die Funktion ( in Minuten) beschrieben werden kann nach 2 Stunden und erkläre diesen Wert. Bestimme außerdem den Wert von

Gesucht:

Wachstumsgeschwindigkeit nach 2 Stunden (120 Minuten)

nach 2 Stunden (120 Minuten)

Rechnung 1:

GTR/GRAPH/G-SOLV/Y-CAL

Antwort: Die Änderungsrate nach zwei Stunden beträgt 2,232 "Zellteilungen"/Minute. Der Wert gibt also die Änderung der Anzahl der Bakterienzellen pro Minute an.

Rechnung 2:

nun muss für 120 (Minuten) eingesetzt werden, um den gesuchten Wert für zu erhalten.

Dies geht am einfachsten mithilfe des TABLE-Modus des Taschenrechners.

Hierzu muss die Funktion in diesem Modus eingegeben und anschließend für den Wert gesucht werden.

GTR/TABLE/EXE/

x = 120

y = 64,328

Antwort: Nach 2 Stunden sind etwa 64 Bakterienkulturen vorhanden.

Auf diese Weise können Werte für am Effektivsten ermittelt werden, sie können aber genauso im GRAPH-Modus über G-SLV\Y-CAL ermittelt werden,

genauso wie -Werte über X-CAL ermittelt werden können.

Tangentengleichung

Aufgabe Aufgrund zu geringer Nährstoffzufuhr kann diese Bakterienkultur ab der zweiten Stunde nur noch linear weiterwachsen. Berechne den weiteren linearen verlauf in Form einer linearen Funktion.

Gegeben:

Steigung nach 2 Stunden: 2,232 "Zellteilungen"/Minute

Punkt P (120;64,33)

Steigung

Gesucht:

Tangentengleichung durch den Punkt P mit der Steigung

Formel:

Nun müssen der Punkt P und die Steigung eingesetzt werden, damit berechnet werden kann:

Rechnung:

Antwort: Die Tangentengleichung lautet .

Anwendungsbeispiele

Wie schon erwähnt gibt es viele Anwendungsbeispiele für Exponential und e-Funktionen, wie zum Beispiel in der Naturwissenschaft zum beschreiben von Versuchsabläufen, wie das Wachstum von Bakterienkulturen, oder den Zerfall von radioaktivem Material. Im Folgenden werde ich diese und weitere Beispiele anhand von Übungsaufgaben deutlich machen.

1.: Die folgende Aufgabe ist aus den Aufgaben des Zentralabiturs 2009 entnommen.

1) Die Höhe eines Strauches in den ersten zwanzig Tagen nach dem Auspflanzen wird durch

die Funktion mit der Funktionsgleichung ( in Tagen, in Metern)

beschrieben. Vom Beginn des 21. Tages an ( = 20) verringert sich die Wachstumsgeschwindigkeit

des Strauches. Von diesem Zeitpunkt an ist nur noch die Zuwachsrate bekannt, sie

wird beschrieben durch die Funktion mit der Funktionsgleichung .

a) Berechnen Sie den Funktionswert von an der Stelle = 0 und interpretieren

Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. Geben Sie anhand der Abbildung an,

zu welchem Zeitpunkt der Strauch eine Höhe von 50 cm hat.

Bestimmen Sie den Wert rechnerisch.

b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt innerhalb der ersten zwanzig Tage (0 ≤ t ≤ 20) ,

an dem die Pflanze am schnellsten wächst. Berechnen Sie die zugehörige Wachstumsgeschwindigkeit.

Begründen Sie, warum die angegebene Funktion nur für einen begrenzten Zeitraum die

Höhe der Pflanze beschreiben kann.

c) Bestimmen Sie, wie groß der Strauch am Ende des 20. Tages ist.

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2.: Radioaktiver Zerfall

Der radioaktive Zerfall vom Cäsium-Isotop 131Cs lässt sich durch die Funktion (t in Tagen; c(t) in Gramm) beschreiben.

a) Gib an, wie groß die Masse des Cäsium-Isotops zu Beginn des Zerfalls war.

b) Berechne die Halbwertszeit des Cäsium-Isotops.

c) Bestimme die nach 6 Tagen bereits zerfallenen Masse.

Lösung zu Aufgabe 2 anzeigen

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