Ganzrationale Funktionen
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Herzlich willkommen zum Lernpfad zu ganzrationalen Funktionen!
In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den ganzrationalen Funktionen auseinandersetzen. Kompetenzen
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| Kurzinfo | ||
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Inhaltsverzeichnis |
Infos vor Beginn
1) Lerntagebuch:
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.
Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
1) Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
2) Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:
- Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
- An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
- Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
- Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?
3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
4) Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
5) Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung
2) Allgemeine Hinweise:
- Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
- Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
- Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
- Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
Definition der ganzrationalen Funktionen
Eine kleine Aufgabe zum Einstieg:
Aufgabe 1
Du hast ein quadratisches Stück Karton mit der Seitenlänge 16 cm und möchtest eine Kiste (ohne Deckel) basteln. Dazu schneidest du an jeder Ecke des Kartons ein Quadrat der Seitenlänge x aus, so dass du die übriggebliebenen Seiten nur noch hochzuklappen brauchst - die Höhe der Kiste ist demzufolge definiert als x. Stelle eine Funktion für das Volumen auf (in Abhängigkeit von der Höhe x), das heißt, bestimme V(x). Fertige zuvor eine Skizze an. |
Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte ganzrationale Funktion - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden ,
und
, den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den Grad der Funktion an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit
-
bezeichnet (
,
,
) - sie heißen Koeffizienten.
Nun in allgemeiner Form:
Definition
Ein Term der Form mit
;
,
,
, ...,
,
und
heißt Polynom. Die Zahlen
,
,
,
, ...,
,
nennt man Koeffizienten des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient
nicht Null ist.
Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion.
Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.
Nicht erschrecken, die Definition sieht viel komplizierter aus als das Ganze in Wirklichkeit ist. Hier nochmal langsam zum Ãœben:
Mit den folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du alles verstanden hast:
Aufgabe 2
Bestimme Grad und Koeffizienten der folgenden ganzrationalen Funktionen in deinem Lerntagebuch: |
1) Grad: 7, Koeffizienten:
2) Grad: 0, Koeffizienten:
3) Grad: 1, Koeffizienten:
4) Grad: 6, Koeffizienten: ,
Entscheide: Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe in deinem Lerntagebuch.
Aufgabe 3
Nun weißt du genau, was eine ganzrationale Funktion ist. Übernimm die Definition in dein Lerntagebuch (sofern noch nicht geschehen) und erläutere sie an einem selbstgewählten Beispiel für eine Funktion dritten Grades. Zeichne auch den zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch - stelle dazu eine geeignete Wertetabelle auf. |
Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Aufgabe 4
Ordne die Funktionsgleichungen den jeweiligen Bildern zu. Begründe in deinem Lerntagebuch. |
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| -2x-1 | -10x3+2x | 2x3+3x | 2x4-x2+3 | 5x3-2x2-3 |
 |  |  |  | 
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| x2-x | x3 | x4 | x4-3x2-2x-2 | x5+3x2 |
 |  |  | 
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| x6+x2 | -x3 | -x4+3x2 | -x4 |
Im Folgenden sollst du die gerade geordneten Funktionen noch einmal genauer untersuchen hinsichtlich möglicher Symmetrien sowie ihrem Verhalten für sehr große und sehr kleine x (Verhalten im Unendlichen):
Symmetrie
Aufgabe 5
Bei welcher der Funktionen kannst du eine Symmetrie erkennen (Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie zur y-Achse)? Gruppiere die Funktionen bzw. die Funktionsgleichungen entsprechend in drei Gruppen (Punktsymmetrie, Achsensymmetrie, keine Symmetrie). Formuliere einen Merksatz, woran man eine mögliche Symmetrie an der Funktionsgleichung erkennen kann. |
 Merke
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann
|
Verhalten im Unendlichen / Verlauf des Graphen
Aufgabe 6
Wie verhalten sich die verschiedenen Graphen
Gruppiere die Funktionen begründet entsprechend ihres Verhaltens und formuliere in deinem Lerntagebuch einen Merksatz, woran man das Verhalten der Funktion für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte ablesen kann. |
| Merke
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für sehr große x wird von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x, d. h. dem Summanden mit dem höchsten Exponenten, bestimmt. Der Graph zur Funktion verhält sich also wie der Graph zur Funktion y = |
Aufgabe 7
Betrachte die folgenden Graphen:
Beschreibe jeweils den Verlauf der 5 bzw. 6 Graphen. Wie beeinflussen die weiteren Summanden den Verlauf des Graphen zu |
| Merke
Der Graph zur Funktion verhält sich so wie der Graph zur Funktion y = |
Mithilfe der folgenden Übung kannst du Verlauf und Symmetrie von ganzrationalen Funktionen untersuchen und so überprüfen, ob du alles verstanden hast. Fasse anschließend deine Erkenntnisse in der 
Tabelle zusammen.
Transformationen
Die ganzrationalen Funktionen, die du in diesem Lernpfad kennen gelernt hast, weisen bestimmte Transformationen auf, d. h. die Funktionsgleichung gibt an, inwiefern der Graph gestreckt oder gestaucht, in Richtung der x- oder y-Achse verschoben oder an einer der beiden Achsen gespiegelt ist.
Mit zwei Arten von ganzrationalen Funktionen hast du dich in den vergangenen Wochen im Unterricht bereits näher beschäftigt, und zwar mit den linearen und den quadratischen Funktionen. Dabei handelt es sich um nichts anderes als um ganzrationale Funktionen ersten und zweiten Grades. Eine lineare Funktion wird entsprechend der Definition als Polynom folgendermaßen geschrieben: - der zugehörige Graph heißt - wie du weißt - Gerade. Die dementsprechende Schreibweise der quadratischen Funktionen sieht folgendermaßen aus:
(Normalform) - der zugehörige Graph heißt Parabel.
Aufgabe 8
Skizziere und beschreibe das Aussehen von
in deinem Lerntagebuch. Erläutere jeweils den Einfluss der Koeffizienten auf die Graphen, sofern dieser eindeutig zu erkennen ist. |
Im Folgenden sollst du dich genauer mit Verschiebungen, Streckungen / Stauchungen und Spiegelungen von ganzrationalen Funktionen (speziell dritten und vierten Grades) beschäftigen. Los geht es aber mit den einfachsten ganzrationalen Funktionen - den Geraden. Mit verschiedenen Aspekten im Zusammenhang mit linearen Funktionen hast du dich im Unterricht zwar schon beschäftigt, aber noch nicht mit Transformationen von Geraden im Koordinatensystem. Das sollst du nun nachholen:
Aufgabe 9
Gegeben ist eine lineare Funktion mit
darstellen kannst. Du kannst deine Vermutungen mit verschiedenen Beispielen in GeoGebra überprüfen. Kannst du in einer Gleichung zusammenfassen: Streckung in Richtung der y-Achse um a, Verschiebung in Richtung der y-Achse um e, Verschiebung in Richtung der x-Achse um d? Formuliere einen Satz, der Auskunft darüber gibt, wie du eine lineare Funktion an der x-Achse spiegeln kannst. |
Eine Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse.
Aufgabe 10
Eine Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse kann erreicht werden durch Bilden von f(cx) mit einem gegebenen Wert für c, d. h. überall dort, wo in der Funktionsgleichung ein x steht, wird bx eingesetzt und aufgelöst. Untersuche, für welche Werte von c sich die drei Möglichkeiten ergeben: Streckung, Stauchung, keine Veränderung. Nimm die Funktion f(x) und experimentiere mit GeoGebra. Beschreibe deine Versuche und Ergebnisse kurz in deinem Lerntagebuch. |
Folgende Fälle lassen sich unterscheiden:
- -1 < c < 1: Streckung in Richtung der x-Achse; dazu kommt für negative Werte die Spiegelung an der y-Achse
- c = 1: keine Veränderung, im negativen Fall nur Spiegelung an der y-Achse
- c < -1 bzw. c > 1: Stauchung in Richtung der x-Achse; dazu kommt für negative Fälle die Spiegelung an der y-Achse
- -1 < c < 1: Streckung in Richtung der x-Achse; dazu kommt für negative Werte die Spiegelung an der y-Achse
Automatisch hast du jetzt also auch schon die Spiegelung an der y-Achse als weitere Transformationsart mit bearbeitet.
Aufgabe 11
Untersuche den Graphen zu |
Aufgabe 12
Mit den quadratischen Funktionen und möglichen Transformationen haben wir uns im Unterricht bereits ausführlich beschäftigt, allerdings haben wir dabei hauptsächlich die Scheitelpunktform betrachtet. Nun sollst du dich mit der Normalform auseinandersetzen und überprüfen, inwiefern du an dieser Schreibweise der Funktionsgleichung Transformationen ablesen kannst. |
Die Überführung der Normalform in die Scheitelpunktform ist allerdings nur bei quadratischen Funktionen so einfach möglich. Ganzrationale Funktionen mit n > 2 werden im Regelfall in Polynomschreibweise angegeben und lassen sich nicht in eine Art "Scheitelpunktform" überführen, an der alle Transformationsarten ablesbar sind.
Auch für die Funktionen mit n > 2 gibt es eine Art "Scheitelpunktform", also eine Funktionsgleichung, an der direkt die verschiedenen Transformationen abgelesen werden können. Aber diese Gleichung kann nicht wie bei den quadratischen Funktionen durch die quadratische Ergänzung aus der Polynomschreibweise hergeleitet werden - man kann lediglich diese "Scheitelpunktform" durch Ausmultiplizieren in die Polynomschreibweise überführen. Beide Schreibweisen werden im Rahmen der Unterrichtseinheit betrachtet - ihr sollt euch mit der etwas schwierigeren Polynomschreibweise auseinandersetzen, während die andere Darstellungsform von der Gruppe "Potenzfunktionen" bearbeitet wird.
Du hast ja bereits herausgefunden, wie die verschiedenen Transformationen sich bei linearen Funktionen (also den einfachsten der ganzrationalen Funktionen) in die Funktionsgleichung einbauen lassen; im Folgenden sollst du versuchen, dein Wissen bezüglich der einzelnen Transformationsarten auf ganzrationale Funktionen zweiten, dritten und vierten Grades zu übertragen.
Beginnen wir mit der Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse:
Aufgabe 13
Du siehst auf dem folgenden Bild zwei Funktionsgraphen: f(x) ist die Ausgangsfunktion mit der angezeigten Funktionsgleichung - g(x) ist demgegenüber in Richtung der y-Achse gestreckt. Bestimme die Funktionsgleichung zu g(x).
Falls du nicht weiter weißt, nutze den versteckten Hinweis. Falls du zeichnerisch ausprobieren möchtest, kannst du das hier tun: GeoGebra. |
| Merke
Eine Streckung bzw. Stauchung einer ganzrationalen Funktion wird erreicht durch die Multiplikation der gesamten Funktion mit dem Streckfaktor a. Für a lassen sich drei verschiedene Fälle unterscheiden:
Durch eine Streckung oder Stauchung ändern sich alle Werte der Funktion mit Ausnahme der Nullstellen - Nullstellen bleiben von Streckungen (bzw. Stauchungen) in Richtung der y-Achse grundsätzlich unberührt. |
Mit Bearbeitung dieser Aufgabe hast du bereits implizit die Spiegelung an der x-Achse mit untersucht und damit bereits eine weitere Transformationsart "abgehakt".
Weiter geht es mit den Verschiebungen in Richtung der beiden Achsen:
Der Abwechselung halber betrachten wir nun eine Funktion 3. Grades.
Aufgabe 14
Beschreibe anhand des folgenden Bildes kurz in deinem Lerntagebuch, wie der Graph zu g aus dem Graphen zu f hervorgeht.
Wo finden sich die Verschiebungen in der Funktionsgleichung wieder? Kannst du eine Gleichung der Form g(x) = ... aufstellen, in der du allgemein f(x) nutzt (anstatt |
Aufgabe 15
Formuliere einen Merksatz, indem du erläuterst, wie sich eine Verschiebung um e in Richtung der y-Achse und eine Verschiebung um d in Richtung der x-Achse bei ganzrationalen Funktionen in der Funktionsgleichung darstellen lassen. |
| Merke
Eine Verschiebung um d in Richtung der x-Achse lässt sich darstellen durch (x - d), das überall dort in die Funktionsgleichung eingesetzt wird, wo vorher ein x stand. Eine Verschiebung um e in Richtung der y-Achse lässt sich darstellen durch das Anhängen von e an die gesamte Gleichung. Formal kann diese Verschiebung des Graphen um (d / e) ausgedrückt werden durch g(x) = f(x - d) + e. |
Nun ein konkretes Beispiel:
Aufgabe 16
Gegeben ist eine Funktion |
Zum Abschluss noch die Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse:
Aufgabe 17
Versuche, deine Kenntnisse bezüglich Streckung in x-Achsenrichtung bei linearen und quadratischen Funktionen zu übertragen auf ganzrationale Funktionen im Allgemeinen: Gegeben ist die Funktion
|
-
- Die Fallbetrachtungen für c können übertragen werden.
- Prinzipiell sind die Transformationsarten auch bei ganzrationalen Funktionen im Allgemeinen durcheinander ersetzbar, aber in der Polynomschreibweise ist es kaum möglich, dies ohne weiteres zu sehen und einzubauen.
Ãœbungen
Aufgabe 18
Der Graph zu
|
- Verschiebung um -2 in y-Richtung:
- Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung nach rechts:
- Streckung in y-Richtung mit Faktor 2:
- Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 4 und Spiegelung an der x-Achse:
Aufgabe 19
Je eine Funktionsgleichung aus Gruppe 1 und eine aus Gruppe 2 beschreiben den gleichen Graphen - sortiere sie entsprechend zusammen und erläutere kurz, warum sie zusammen gehören: |
| Gruppe 1 | Gruppe 2 |
|---|---|
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
Aufgabe 20
Gegeben ist f(x) = x3 + x2. Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch Verschiebung hervor. Zeichne die Graphen von f und g mit GeoGebra und bestimme damit für g eine Darstellung der Form g(x) = (x - d)3 + (x - d)2 + b. g(x) = ? b) g(x) = x3 + 4x2 + 5x - 4 g(x) = ? c) g(x) = x3 - 35x2 + 408x - 1569 g(x) = ? |
a) g(x) = (x - 2)3 + (x - 2)2 + 3
b) g(x) = (x + 1)3 + (x + 1)2 - 6
Zusammenfassung
Aufgabe 21
Fasse zusammen, was du über Transformationen von ganzrationalen Funktionen gelernt hast. Erstelle mithilfe der |
Zusatzaufgabe
Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbeitung des Lernpfades fertig sein solltest, entwirf ein kleines Funktionenbild oder -muster mithilfe von ganzrationalen Funktionen. Nutze dazu GeoGebra.
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