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Grundwissen-Pythagoras

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Grundwissen

Grundwissen der 9. Jahrgangsstufe: Satz des Pythagoras

Pythagoras01.png
Kurzinfo
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  • Hier findest du eine kurze Zusammenfassung des Lehrsatzes und seiner wichtigsten Anwendungen.
  • Gleichzeitig kannst du den Unterrichtsstoff selbständig üben, wiederholen und dein Wissen testen.




Inhaltsverzeichnis

Satz des Pythagoras

Pythagoras01.png

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.


Vorsicht: Die bekannte Formel a2 + b2 = c2 gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c.


Hier findest du eine der zahlreichen Beweismöglichkeiten.


Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken bestimmen

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck die Längen zweier Seiten bekannt, kann mit dem Satz des Pythagoras die Länge der dritten Seite berechnet werden.


Beispiel:

Py rw Dreieck.png

Für dieses Dreieck gilt:

Länge der Hypotenuse c: c2 = a2 + b2
Länge der Kathete a: a2 = c2 - b2
Länge der Kathete b: b2 = c2 - a2






Längen in ebenen Figuren

Um z.B. die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck zu berechnen, sucht man zunächst ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck in der Figur und wendet dann den Satz des Pythagoras an.


Beispiel:

Py ebeneFigur.png

Für die Höhe im gleichschenkligen Dreieck ABC gilt:

h2 = a2 - (1/2 c)2




Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem

Py Abstand KS.png


Für den Abstand d zweier Punkte A und B gilt:

d2 = (yB - yA)2 + (xB - xA)2



Längen in Körpern berechnen

Um z.B. die Länge der Raumdiagonale in einem Quader zu berechnen, sucht man zunächst ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck in der Figur und wendet dann den Satz des Pythagoras an.

Beispiel:

Py Körper.png

Für die Länge der Raumdiagonale im Quader gilt:

d2 = d12 + c2 = (a2 + b2) + c2

Der Satz des Pythagoras wird hier zweimal angewendet!


Der Kathetensatz

Kathetensatz02.png

Das Quadrat über einer Kathete hat den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.

Kathetensatz01.png

Der Höhensatz

Höhensatz 600.png

Der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe auf die Hypotenuse hat den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

Vermischte Aufgaben zu den drei Sätzen

Anwendungen

Knorkator - Wie weit ist es bis zum Horizont (Pythagoras)


Quelle: YouTube



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