Lernpfad Differenzialgleichungen
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 Lernpfad
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Inhaltsverzeichnis |
Wo kommt man mit Differenzialgleichungen in Berührung?
1. Beispiel
In der 10.Klasse wurde erklärt, wie sich aus einem Kapital K bei einer Verzinsung mit 3%
in t Jahren das Kapital ergibt; (Zinseszins; vgl. dazu z.B.)
Über die Differenzialrechnung ergibt sich dann für die Wachstumsgeschwindigkeit des Kapitals
Die Wachstumsgeschwindigkeit ist also proportional zum derzeitigen Kapital.
2. Beispiel
Entsprechend ist die Wachstumsgeschwindigkeit eines Tierbestandes proportional zum Bestand, also
3. Beispiel
Die Zerfallsrate von radioaktiven Kernen ist proportional zur Zahl der vorhandenen Kerne:
4. Beispiel
Für die Schwingung eines Schraubenfederpendels ergibt sich die Differenzialgleichung:
oder
Um was geht es?
In allen vier Fällen überlegt man, wie man die jeweiligen Differenzialgleichungen lösen kann, d.h. man sucht geeignete Funkionen für K, N oder s.
Z.B. für s findet man die Funktionsgleichung
ausführliche Darstellung
 Merke:
Wichtige Erkenntnis in dieser Phase: Wenn wir in der Algebra die Lösung z.B. der Gleichung |
Vorgegebene Lösungen testen
Beispiel:
zur Differenzialgleichung f '(x) = x + f(x) wird angeboten:
f (x)= ex − x − 1
Probe:
Beim Einsetzen ergibt sich für die linke Seite LS: ex − 1
und für die rechte Seite RS: ex − x − 1 + x= ex − 1
q.e.d.
Untersuche auf die gleiche Weise:
1.Aufgabe
Differenzialgleichung:
ja
2.Aufgabe
f(x) = x2+2
Voraussetzungen für systematische Lösungsmethoden
Betrachten wir zunächst eine ganz einfache Differenzialgleichung, nämlich:
Durch "zielgerichtetes Probieren" wird man schnell als Lösung finden:
und dann erscheint klar, dass man hier nur "einfach" integrieren muss.
| Merke:
Das Integrieren ist die Umkehroperation zum Differenzieren. |
Aber was macht man bei folgender Differenzialgleichung:
für f(x) > 0 und x > 0
Eine solche Gleichung läßt sich leicht nach Termen mit f und nach Termen nur mit der Variablen x ordnen:
Die rechte Seite ist dann leicht zu integrieren, und für die linke Seite braucht man die Substitutionsformel...
- Falls die Integralrechnung jetzt überhaupt nicht zur Verfügung steht, sei auf folgende Lernpfade verwiesen:
- Falls die Integralrechnung und der Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung nur "aufzufrischen" sind, ist dieses Angebot zu empfehlen.
| Merke:
Jedenfalls wird zum weiteren Bearbeiten dieses Lernpfades benötigt:
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| Merke:
Als Anwendung der Substitutionsformel wird häufig verwandt ("Logarithmische Integration"):
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Separation der Variablen
Wir beginnen mit einer "ganz einfachen" Differenzialgleichung, von der wir die Lösung vermutlich schon kennen:
1. Beispiel
Diese Gleichung läßt sich wieder leicht nach Termen mit f und nach Termen nur mit der Variablen x ordnen (Trennung oder auch Separation):
Integrieren auf beiden Seiten:
ln f(x) = x + C
e x + C = f(x)
f(x) = a · e x (mit a = eC)
Mit f(x) = a · e x ergibt sich also eine ganze Schar von Lösungen, welche aber i. wes. durch die e-Funktion geprägt ist.
2. Beispiel Wir hatten uns oben schon an folgender Differenzialgleichung versucht:
für f(x) > 0 und x > 0
Separation:
Nach dem Integrieren folgt:
ln f(x)= 2 ln(x) + C
e 2 ln(x) + C = f(x)
f(x) = a · x2 (mit a = eC)
1. Aufgabe Allgemeines exponentielles Wachstum; die momentane Änderungsrate ist proportional zum jeweiligen Bestand; also:
mit a > 0, während k auch negativ sein kann (z.B. beim Zerfall).
2.Aufgabe
Löse die Differenzialgleichung
(wieder für f(x) > 0 und x > 0)
3. Aufgabe
für f(x)>0
4. Aufgabe
für x>0 und f(x)>0
5. Aufgabe
Separation auch für diese Differenzialgleichung:
Fallunterscheidung:
- 1.Begrenzte Zunahme, also f(t) < G
f(t) = G − a · e−kt mit a = eC > 0
- 2.Begrenzte Abnahme, also f(t) > G (z.B. Abkühlung Kaffee auf Raumtemperatur)
Weitere Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen
- Grafischer Lösungsansatz
- Numerischer Lösungsansatz
- Einsatz eines Simulationsprogrammes
Ausführliche Informationen über diese Themen gibt es hier.
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