Potenzfunktionen
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Herzlich willkommen zum Lernpfad zu Potenzfunktionen!
In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den Potenzfunktionen auseinandersetzen. Kompetenzen
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| Kurzinfo | ||
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Inhaltsverzeichnis |
Infos vor Beginn
1) Lerntagebuch:
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.
Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
1) Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
2) Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:
- Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
- An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
- Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
- Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?
3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
4) Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
5) Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung
2) Allgemeine Hinweise:
- Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
- Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
- Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
- Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
Definition der Potenzfunktionen
Bevor es richtig losgeht, zuerst einmal eine allgemeine Definition der Potenzfunktion, damit du überhaupt weißt, worum es im Folgenden gehen soll:
Definition
Eine Funktion der Form mit
heißt Potenzfunktion.
In der Klasse 9 müssten dir bereits einige dieser Potenzfunktionen begegnet sein und auch aus unserem Unterricht kennst du bereits zwei Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven Exponenten, und zwar und
.
Der Einfachheit halber werden die verschiedenen möglichen Fälle (hinsichtlich der Exponenten) im Folgenden einzeln betrachtet, zuerst ganzzahlige Potenzen, anschließend rationale (also die sogenannten Wurzelfunktionen).
Wichtige Eigenschaften der Potenzfunktionen
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Wie bereits gesagt, zwei Beispiele für diese Art der Potenzfunktionen sind dir auf jeden Fall bekannt: und
. Mit diesen Funktionen hast du dich schon ausführlich beschäftigt. Diese Kenntnisse sollen nun erweitert werden auf andere Exponenten - einerseits auf größere positive (d. h. Funktionen wie
,
,
etc.) und andererseits auch auf negative (d. h. Funktionen wie
,
etc.).
Potenzen mit ganzzahligen positiven Exponenten
Aufgabe 1
Betrachte die Funktionen
|
Mit dem folgenden Link kannst du deine Erkenntnisse überprüfen bzw. ergänzen: Potenzfunktionen mit positiven Exponenten
Noch eine kleine begriffliche Ergänzung:
 Merke
Eine Funktion der Form |
Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten
Eventuell hast du dich bereits in der Klasse 9 mit Potenzfunktionen mit negativen Exponenten beschäftigt und weißt bereits einiges darüber - dann kannst du diesen Abschnitt bestimmt schnell durcharbeiten. Ansonsten nimm dir einfach etwas mehr Zeit ....
Zuerst einmal:
| Merke
Für Potenzfunktionen mit negativen Exponenten gibt es zwei verschiedene Schreibweisen, die dir vermutlich schon bekannt sind - aber Wiederholung kann ja schließlich nie schaden: |
Aufgabe 2
Bevor du dir gleich ein konkretes Beispiel und den zur Funktion gehörenden Graph anschauen sollst, bestimme die allgemeine Definitionsmenge und die Wertemenge von Funktionen der Form |
Beispiel
Ein konkretes Beispiel: .
Aufgabe 3
Forme die Funktion in die Bruchschreibweise um und gib Definitions- und Wertemenge an. |
Nun zur graphischen Darstellung: Hyperbeln sehen etwas anders aus als die Graphen, die du bisher im Unterricht kennen gelernt hast.
Wie du bei der Bestimmung der Definitionsmenge (hoffentlich) herausgefunden hast, sind die Funktionen
1) für x = 0 nicht definiert, d. h. der Graph weist an dieser Stelle eine Lücke auf. Rund um den Nullpunkt nähert sich der Graph immer mehr der y-Achse an, aber er erreicht ihn nie - für negative x-Werte logischerweise von links.
2) für f(x) = 0 ebenfalls nicht definiert, da es keinen Nenner x gibt, für den ein Bruch mit Zähler 1 Null werden kann. Der Graph nähert sich dementsprechend sowohl "von oben" als auch "von unten" der x-Achse an.
| Merke
Die Geraden, denen sich Hyperbeln immer weiter annähern (hier also die x- und die y-Achse) haben einen speziellen Namen: Sie heißen Asymptoten. Bei der Asymptote einer Funktion handelt es sich aber nicht unbedingt um eine der beiden Achsen. Verschiebst du den Graphen im Koordinatensystem, verschiebt sich dementsprechend auch die Asymptote. |
Im nächsten Schritt sollst du weitere Eigenschaften neben der Definitions- und Wertemenge untersuchen - hier hast du bereits festgestellt, dass Potenzfunktionen mit negativen (ganzzahligen) Exponenten sich in diesem Punkt von den positiven Exponenten unterscheiden. Aber was ist mit den anderen Eigenschaften?
Aufgabe 4
Untersuche für verschiedene negative Exponenten die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.
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Zusammenfassend für positive und negative ganzzahlige Exponenten kann festgehalten werden:
Wie du wahrscheinlich festgestellt hast, lassen sich die ganzzahligen Potenzfunktionen (positive und negative Exponenten) in zwei Gruppen aufteilen:
Definition
Eine Funktion f heißt gerade Funktion, wenn für alle x der Definitionsmenge gilt: f(x) = f(-x). Das ist logischerweise genau dann der Fall, wenn der Exponent der Funktion gerade ist. Graphisch gesehen sind alle geraden Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse, so wie du es bereits von den quadratischen Funktionen kennst.
Eine Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn für alle x der Definitionsmenge gilt: f(-x) = -f(x). Das ist genau dann der Fall, wenn der Exponent der Funktion ungerade ist. Graphisch gesehen sind alle ungeraden Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung.
Aufgabe 5
Wähle ein Beispiel für eine gerade und eine ungerade Funktion aus, zeichne den zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch (zeichne die Asymptoten bunt ein) und erläutere jeweils die Eigenschaften der Funktion. |
Hier eine kleine Ãœbung zum Erkennen von Graphen - alles verstanden?
Bevor wir nun übergehen zu den Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, kannst du mit der folgenden Übung noch einmal überprüfen, ob du soweit alles verstanden hast und die Funktionen richtig zuordnen kannst: Übung zum Erkennen von Potenzfunktionen. Klicke die Box mit "Applet: Graphen erkennen 2" an.
Aufgabe 6
Stelle zum Abschluss der Bearbeitung von ganzzahligen Exponenten stichwortartig die verschiedenen Funktionsarten mit ihren Eigenschaften zusammen - nutze dazu die bereitgestellte Tabelle und skizziere jeweils einen Graphen. Zum Abschluss des Kapitels "Wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen" sollst du eine tabellarische Gesamtübersicht erstellen, mit dieser Aufgabe leistet du also schon etwas Vorarbeit für später. |
Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten = Wurzelfunktionen
In diesem Abschnitt geht es um Funktionen, deren Exponent aus einem Bruch besteht, die Funktion hat also die Form , beispielsweise
oder
. Im Prinzip kennst du diese Funktionen auch bereits, denn Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten stellen lediglich eine andere Schreibweise für Wurzelfunktionen dar.
Definition
Man definiert für reelle Zahlen und
:
.
heißt n-te Wurzel aus
.
Beispiele: ,
, ...
Aufgabe 7
Was vermutest du, wie sich ein negativer rationaler Exponent auswirken würden? Erläutere an einem Beispiel und formuliere einen Merksatz bzw. eine Definition wie oben. |
Definition
Für reelle x > 0 und gilt:
Aufgabe 8
Begründe in deinem Lerntagebuch, warum Potenzen mit rationalen Exponenten nur für positive x-Werte definiert sind. |
Nun sollst du die Eigenschaften der Wurzelfunktionen untersuchen, d. h. Definitions- und Wertemenge, Asymptoten, Symmetrie, Verhalten für sehr große und sehr kleine x:
Aufgabe 9
Lassen sich die Eigenschaften der ganzzahligen Exponenten übertragen? Stelle Vermutungen bzgl. der Eigenschaften von Wurzelfunktionen auf. Überprüfe sie mit dem folgenden Applet: |
Nun noch eine kleine Ãœbung zu Wurzelfunktionen.
Zusammenfassung
Aufgabe 10
Stelle zusammenfassend eine tabellarische Übersicht auf, die die Eigenschaften aller möglichen Potenzfunktionen der Form |
Transformationen
Bislang hast du dich lediglich mit den sogenannten "Grundfunktionen" der Potenzfunktionen beschäftigt. Nun sollst du dich näher mit möglichen Transformationen, d. h. Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen sowie Spiegelungen von Potenzfunktionen beschäftigen. Solche Funktionen werden eigentlich nicht mehr Potenzfunktionen, sondern ganzrationale Funktionen genannt, aber dazu später mehr.
Um die Anzahl der jeweils zu untersuchenden Funktionen überschaubar zu halten, werden auch an dieser Stelle die verschiedenen Arten von Exponenten getrennt betrachtet.
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten
Erinnere dich zurück an die quadratischen Funktionen: Dort hast du mit der Normalparabel als "Grundfunktion" gearbeitet und inzwischen weißt du, wie diese Grundfunktion transformiert werden kann. Es handelt sich hierbei - wie du weißt - bereits um ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit einem positiven ganzzahligen Exponenten. Bevor du dich mit anderen Exponenten beschäftigst, wiederhole kurz dein Wissen für den Fall a = 2:
Aufgabe 11
Beantworte folgende Fragen in deinem Lerntagebuch. Versuche erst, die Fragen aus dem Kopf zu beantworten - wenn du Hilfe brauchst, nutze die versteckte Datei unten. Ansonsten kannst du mit ihrer Hilfe deine Ergebnisse überprüfen.
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Nun sollst du versuchen, diese Informationen auch auf größere Exponenten zu übertragen:
Aufgabe 12
Finde heraus, ob die mathematischen Operationen, die für die Transformationen bei quadratischen Funktionen gelten, auch für b = 3 gelten. Stelle zuerst Vermutungen an, durch welche Veränderungen in der Funktionsgleichung du (ausgehend von der Grundfunktion
hervorrufen kannst. Erläutere deine Vermutungen im Lerntagebuch und überprüfe mit der folgenden Datei: |
Aufgabe 13
Fasse deine Erkenntnisse zusammen: Kannst du eine allgemeine Funktionsgleichung für Potenzfunktionen 3. Grades aufstellen, an der du die bisher bearbeiteten Transformationen direkt ablesen kannst? Erläutere an einem Beispiel in deinem Lerntagebuch. |
Die einzige Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse:
Aufgabe 14
Von den quadratischen Funktionen weißt du bereits, dass (ausgehend von der Grundfunktion
f(x) = x2) eine Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse bewirkt wird durch |
Aufgabe 15
Kannst du diese Erkenntnisse bzgl. der Streckung / Stauchung in x-Richtung auf die Potenzfunktionen 3. Grades übertragen? Wie ist für diese Funktionen eine Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse zu erreichen? Wähle für jeden möglichen Fall für c ein Beispiel und erläutere es (mit Skizze) in deinem Lerntagebuch. Zur Überprüfung kannst du GeoGebra nutzen. |
Aufgabe 16
Graphen von verschobenen und gestreckten / gestauchten Potenzfunktionen lassen sich durch verschiedene Funktionsgleichungen angeben, d. h. es ist möglich, die Transformationsarten z. T. durcheinander auszudrücken bzw. zu ersetzen. Das folgende Beispiel zeigt eine quadratische Funktion, die durch zwei verschiedene Funktionsgleichungen beschrieben werden kann.
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Aufgabe 17
Ãœbertrage diese Erkenntnisse nun auf Potenzfunktionen 3. Grades: Gegeben ist die Funktion |
Nun weißt du, wie Potenzfunktionen 2. und 3. Grades im Koordinatensystem bewegt werden können. Sind diese Erkenntnisse übertragbar auf alle positiven Exponenten?
Aufgabe 18
Untersuche verschiedene weitere (positive) Exponenten.
Untersuche diese Frage mithilfe der Ãœbung zu Potenzfunktionen
Wähle geeignete Beispiele und probiere mit GeoGebra. Notiere deine Erkenntnisse im Lerntagebuch. |
Aufgabe 19
Bevor du dich mit den anderen möglichen Exponenten beschäftigst, stelle mithilfe der |
Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
Aufgabe 20
Überprüfe, ob deine bisherigen Erkenntnisse auf Funktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten übertragen werden können. Gibt es Unterschiede? Nutze die folgende Übung als Hilfe. |
Potenzen mit rationalen Exponenten
Aufgabe 21
Überprüfe abschließend, ob deine bisherigen Erkenntnisse auch auf Funktionen mit rationalen Exponenten übertragen werden können. Gibt es Unterschiede? Nutze die folgende Übung als Hilfe. |
Gesamtergebnis:
Zusammenfassung
Aufgabe 22
Wähle je ein Beispiel für jede Art der Potenzfunktion, die du kennengelernt hast. Erläutere in deinem Lerntagebuch jeweils die verschiedenen Transformationen und zeichne die Funktion. |
Zusatzaufgabe
Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbeitung des Lernpfades fertig sein solltest, entwirf als Zusatzaufgabe ein kleines Funktionenbild oder -muster mithilfe von Potenzfunktionen. Nutze dazu Geogebra.
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