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 Unsere Schule: Obermayr Europaschule
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Inhaltsverzeichnis

Elementarer Beweis der Gauß-Formel für ungerade n

Grundgedanke

Der Summand, welcher bei der Summenbildung LaTeX: %5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20i nach dem Einsetzen von n (n muss eine ungerade Zahl sein)am Ende übrigbleibt, kann durch LaTeX: %5Cfrac%7B1%2Bn%7D%7B2%7D berechnen / ersetzen werden. Dabei war LaTeX: %5Cfrac%7Bn-1%7D%7B2%7D als Anzahl der Pakete gedacht , und LaTeX: %5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7Dwurde als Solo-Summand ohne Partner zu der Rechnung hinzu addiert.

Beispiel n=15

Vorgaben:


LaTeX: n%3D15


Rechnung:


LaTeX: %2815%2B1%29%5Ccdot%5Cfrac%7B15-1%7D%7B2%7D%20%2B%5Cfrac%7B15%2B1%7D%7B2%7D%3D112%2B8%3D120


LaTeX: %281%2B15%29%2B%282%2B14%29%2B%283%2B13%29%2B%284%2B12%29%2B%285%2B11%29%2B%286%2B10%29%2B%287%2B9%29%2B8%3D112%2B8%3D120


allgemeine Behauptung für ungerade n

LaTeX: %5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20i%20%3D%20%28n%2B1%29%5Ccdot%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B2%7D%20%2B%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D

Beweis dieser Formel

LaTeX: %5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20i%20%3D%20%28n%2B1%29%5Ccdot%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D


LaTeX: %3D%5Cfrac%7Bn-1%2Bn%5E2-n%2B1%2Bn%7D%7B2%7D


LaTeX: %3D%5Cfrac%7Bn%5E2%2Bn%7D%7B2%7D


LaTeX: %3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D


LaTeX: %3D%5Cfrac%7Bn%7D%20%7B2%7D%20%5Ccdot%20%28n%2B1%29%20


q.e.d

Using Ob 17:33, 11. Aug. 2011 (CEST)

Von „http://wiki.zum.de/Obermayr_Europa-Schule/LK_M_11/Ideen“