Leistungsnachweise
aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
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Erste Lernkontrolle vom 17.8.2011
Lernkontrolle
Punkteverteilung:A1 4P, A2 2P+8P
Lösungsvorschlag
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Aufgabe 1
=
=
Aufgabe 2
a) Als erstes muss man die Induktionsannahme erstellen
mit Summenoperator:
Die kleinste Zahl ist 1, deswegen i=1.
Die grösste Zahl ist n, deswegen n über das Sigma
f(x) ist (3n - 2), deswegen haben wir (3i - 2)
=
b) Beweis der Formel
Induktionsanfang
A(1): ist auch erlaubt--CJSchmitt 14:27, 19. Aug. 2011 (CEST)
A(3): Bitte keine Sternchen, sondern Malpunkte. --CJSchmitt 21:53, 21. Aug. 2011 (CEST)
Linke Seite:
Rechte Seite:
= 12
Wenn diese Formel stimmt, für n, sollte es auch für n+1 stimmen.
Induktionsbehauptung
Beweis:
Jetzt ersetzen wir für
=
Also ist
und das bedeutet
q.e.d.
--Tortosa Valiente Ob 12:33, 19. Aug. 2011 (CEST)
Zweite Lernkontrolle vom 5.9.2011
Lernkontrolle
Punkteverteilung:A1 2P, A2 2P, A3 (4+2)P, A4 4P
Lösungsvorschlag:
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Aufgabe 1
a)
(für
)
b)
(
)
c)
(
)
d)
Siehe "Beutekammer"
Aufgabe 2
a)
(für
)
b)
(
)
c)
(
)
d)
Siehe "Beutekammer"
Aufgabe 3
a)
b)
Aufgabe 4
--Roth ob 21:28, 7. Sep. 2011 (CEST)
Erste Kursarbeit vom 5.10.2011 Musterlösung bearbeitet von Arthur
Lösungsvorschlag Aufgabe 1
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Aufgabe war es die Stammfunktionen von den gegebenen Funktionen zu bestimmen.
a.
b.
--Using Ob 12:03, 14. Okt. 2011 (CEST)
Lösungsvorschlag Aufgabe 4.a
Gegeben war die Funktion .
Zu berechnen war der Flächeninhalt, den der Graph von g mit der x-Achse einschließt.
Also gilt es, die Nullstellen zu bestimmen und über diese die Funktion g zu integrieren.
Berechnung der Nullstellen:
Unsere Nullstellen sind daher und
.
Nun integrieren wir die Funktion von 0 bis 2.
Zur Illustration (die zu integrierende Fläche):
Integration:
Wir erkennen, dass das Integral positiv orientiert wird, daher lassen wir bewusst die Betragsstriche weg.
A: Der Flächeninhalt beträgt daher .
--Using Ob 12:03, 14. Okt. 2011 (CEST)
Lösungsvorschlag Aufgabe 4.b
Bei dieser Aufgabe gilt es, die Variable k zu einer Schar von Ursprungsgeraden mit so zu bestimmen, dass die Fläche aus 4a) mit
halbiert wird.
Dazu betrachte man sich anfangs die Aufgabenstellung und erstellt darauf eine Skizze!.
Skizze:
Vorüberlegungen
Wir erkennen, dass die Variable k größer Null sein muss, denn sonst kann die Fläche über der x-Achse nicht geschnitten werden.
Wie erhält man eine obere Grenze zu k, so dass es gerade noch eine Fläche zwischen den Grafen gibt?
Wir bestimmen die Steigung des Grafen von g im Ursprung; g'(x)=-2x+2 g'(0)=2
Die Ursprungsgerade muss also eine Steigung k<2 haben, damit überhaupt ein zweiter Schnittpunkt entsteht!!!!
Wir wissen jetzt:
- 0<k<2
Zudem erkennen wir wie wir rechnen müssen , um die Vorgaben zu erfüllen.
Strategie:
Wir integrieren die Differenz von g(x) und fk(x) zwischen den Schnittstellen und setzen dies gleich der Hälfte der Fläche aus 4.a. ( FE) , so dass wir k so bestimmen können, dass die Gleichung erfüllt ist.
Mathematisch dargestellt:
--CJSchmitt 18:55, 11. Okt. 2011 (CEST)
Rechnung:
Schnittstellen berechnen
Die Schnittstellen sind daher und
Wir erkennen auch hieraus , genauer aus , dass unsere obere Grenze für k bei 2 liegt, da unsere zweite Schnittstelle allenfalls vor der ersten liegen muss, damit eine zu integrierende Fläche vorhanden ist.
(Es gilt:).
Daher grenzen wir k ein:
.
Zur Veranschaulichung: (die Schar der möglichen Geraden ist rot dargestellt; die blaue Gerade ist gesucht, da sie die Fläche halbiert)
Integration
Nun integriert man die Differenz der Funktionen g(x) und fk(x) von x1 bis x2.
Integration:
Nun können wir unsere Flächeninhaltsfunktion gleich dem vorig genannten Flächeninhalts und können somit einen Wert für k errechnen.
A.: Damit der Wert der Flächeninhaltsfunktion
ergibt , müssen wir
gleich ca.
setzen.
Probe.:
Nun setzen wir in unsere Flächeninhaltsfunktion
ein , um unser Ergebnis zu überprüfen.
A.: Wir stellen fest, dass unser Ergebnis korrekt ist.
--Using Ob 12:03, 14. Okt. 2011 (CEST)
Lösungsvorschlag Aufgabe 5.
Aufgabe:
Das Dach einer 20m breiten und 60m langen Tennishalle soll einen Parabelbogen spannen.
Berechnen Sie bitte, welchen Zuwachs das Luftvolumen der Halle erhält,
wenn anstelle der ursprünglich geplanten Bauhöhe von 8m eine Höhe von 10m gewählt wird.
(Bitte fassen Sie zunächst Ihre Lösungsstrategie in Worte).
Lösungsstrategie
Wir erkennen bei dieser Aufgabe , dass es eine sogenannte "Steckbriefaufgabe" ist.
Um den Luftzuwachs zu berechnen , brauchen wir die Volumen der einzelnen Hallen , welche sich nur durch ihre Höhe unterscheiden.
Da die Halle die Form einer Säule hat, ist das Volumen der Halle mit der Formel zu berechnen.
Wenn man sich die Halle als Säule betrachtet , so wird die Länge der Halle ( 60m ) zur Höhe der Säule.
Da wir die Höhe kennen , ist nun die Grundseite die zu bestimmende Fläche.
Diese kann berechnet werden , indem wir die Vorderseite der Halle, welche parabelförmig ist, in ein Koordinatensystem übertragen und dann durch Integralrechnung die Fläche bestimmen.
Wenn wir die Fläche bestimmt haben , können wir diese Fläche in unsere Formel einsetzen und dadurch das Volumen berechnen.
Sind nun beide Volumina berechnet , können wir unseren Zuwachs bestimmen, indem wir das Volumen des zweiten Entwurfs ( Höhe=10m ) mit dem Volumen des ersten Entwurfs (Höhe=8m) differenzieren.
Entwicklung der Graphen
Nun versuchen wir die Graphen in ein Koordinatensystem zu übertragen.
Erster Entwurf der Tischtennishalle
Skizze:
Vorgaben:
Symmetrische Parabel mit einem Hochpunkt bei 8 FE d.h
Rechnung:
Nun setzen wir a in f(x) ein.
A: Unser erster Graph ist daher .
Zweiter Entwurf der Tischtennishalle
Skizze:
Vorgaben:
Symmetrische Parabel mit einem Hochpunkt bei 10 FE d.h
Rechnung:
Nun setzen wir a in g(x) ein.
A: Unser zweiter Graph ist daher .
Grundflächen bestimmen
Hier gilt es die Graphen von der ersten Nullstelle ( bei beiden x=-10 ) bis zur zweiten Nullstelle ( bei beiden x=10 ) zu integrieren.
Grundfläche des ersten Graphen:
A: Unsere erste Grundfläche beträgt
Grundfläche des zweiten Graphen:
A: Unsere zweite Grundfläche beträgt .
Volumina berechnen
Volumen des ersten Entwurfs der Tischtennishalle
A: Das Volumen beträgt 6400 m3
Volumen des zweiten Entwurfs der Tischtennishalle
A: Das Volumen beträgt 8000 m3
Veränderung des Luftvolumens
Um dies zu herauszufinden, berechnen wir die Differenz der beiden Volumen.
VS2-VS1=Veränderung des Luftvolumens
Rechnung:
A: Unsere Veränderung des Luftvolumens beträgt 1600m3
Alternative (kompakter)
Da die Graphen symmetrisch sind, können wir diese auch von 0 bis 10 integrieren, jedoch müssen wir dies zweimal tun (Also das gesamte Integral mal 2 setzen)
Zudem können wir, um schneller und effektiver zu rechnen, die Differenz der Graphen berechnen , um uns somit die einzelne Integration zu sparen.
Rechnung
Nun können wir unsere Grundfläche in unsere Formel einsetzen.
A:Unsere Volumenunterschied beträgt 1600 m3.
Lösungsvorschlag Aufgabe 6.
Aufgabe:
Der Graf der Quadratwurzelfunktion mit soll von einer Ursprungsgeraden Gg so geschnitten werden, dass die Fläche, die von Gf und Gg eingeschlossen wird, den Inhalt 4,5 hat.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g.
Skizze:
Vorgaben:
, da eine Ursprungsgerade.
Schnittstellen berechnen
Zuerst müssen wir die Schnittstellen der Graphen berechnen, um danach integrieren zu können.
A:Unsere Nullstellen sind und
Integration
Nun integrieren wir die Differenz von f(x) und g(x)
Nun setzen wir unsere Differenzfunktion d(k) gleich 4,5
A: Unser Parameter k muss sein , damit 4,5 FE herauskommt.
Überprüfen
A: Unser Ergebnis ist korrekt.
Musterlösungen erster Leistungsnachweis bearbeitet von Tolga
Aufgabe 1
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A
B
Aufgabe 2
A
B
Berechnen Sie den Inhalt der von f und g umrandeten Fläche
Vieta:
Aufgabe 3
A
(geraten)
Vieta:
B
Substitution:
Vieta:
Aufgabe 4
A
Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, welche der Graph von und die x-Achse einschließen
B
Leiten Sie bitte her, welche Ursprungsgerade mit die Fläche aus Aufgabenteil 4(a) halbiert.
Probe:
2-k= 1,587401052
Dritte Lernkontrolle vom 7.11.2011
Lernkontrolle
Punkteverteilung:A 1a 1P, A 1b 3P, A 1c 4P, A2 6P
Lösungsvorschlag
(wird erstellt durch Maxi-Service)
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Aufg.1a)
Bei dieser Aufgabe benutzen wir die Produktenregel:
Aufg.1b)
Hier leiten wir die Summanden einzeln mit der Kettenregel ab:
Aufg.1c)
Hier ist zuerst die Quotientenregel gefragt:
Nun leiten wir die Funktion ohne die Quotientenregel ab:
Hier kann man den Term im Zähler in Linearfaktoren teilen:
Aufg.2)
Dritte Lernkontrolle / Nachschreibearbeit
Lernkontrolle
Punkteverteilung:A 1a 3P, A 1b 1P, A 1c 4P, A2 6P
Carlos Lösungsvorschlag für die dritte HÜ
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a)
Wir Teilen die Funktion in 2 Funktionen
1 Funktion
Äussere Funktion der 1 Funtkion
Innere Funktion der 2 Funktion
Ableitung der erste Funktion
2 Funktion
Äussere Funktion der zweite Funktion
Innere Funktion der 2 Funktion
Ableitung der 2 Funktion
Gemeinsames Nenner finden
b)
c)
Jetzt führen wir die Polynomdivision durch
2)
Volumenberechnung Zwischen den Graphen:
Vierte Lernkontrolle vom 23.11.2011
Lernkontrolle
Punkteverteilung:A 1a 1P, A 1b 1P, A 1c 2P, A 1d 1,5P, A 1e 4,5P, A 1f 2P, A 1g 2P --CJSchmitt 17:10, 24. Nov. 2011 (CET)
Lösungsvorschlag
(wird erstellt durch Maxi-Service)
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1a)
Symmetrieverhalten:
Zunächstmal sehen wir uns die Funktion für -x an.
Da dies unserer Ursprungsfunktion entspricht können wir eine Achsensymmetrie der Funtkion erkennen denn es gilt:
1b)
Das Verhalten für die Funktion für können wir durch die Berechnung der Asymptote bestimmen.
Da der Zählerpolynom gleichgroß mit dem Nennerpolynom ist, wenden wir die Regel anwenden .
Da bei der Funktionswert f(x) zur Asymptote strebt können wir sagen:
1.
2.
1c)
Wir berechnen zunächstmal die Polstellen.
Die Polstellen befinden sich bei und
.
Der VZW bei x=-1 ist :
Der VZW bei x=1 ist :
1d)
Nun berechnen wir die Schnittpunkte mit den beiden Achsen.
1)Nullstellen
So haben wir eine doppelte Nullstelle bei
2)Y-Achsenabschnitt
Der Y-Achsenabschnitt liegt bei .
Hinzu kommen noch die Definitions- und Wertemenge.
Aus der senkrechte Asymptote können wir die Definitionlücke bestimmen:
Die Wertemenge ist :
1e)
Die erste Ableitung lautet zunächstmal :
Dies Vereinfachen wir nun:
Die zweite Ableitung lautet dann:
Dieses Vereinfachen wir wieder:
1f)
Extrempunkt
Zuerst bestimmen wir die Extremstellen:
Wenn wir diesen x-wert in die ursprungsfunktion einsetzen bekommen wir den Extrempunkt heraus:
Da wir aber wissen wollen, ob dieser Extrempunkt ein Tief- oder Hochpunkt ist, benötigen wir die hinreichende Bedingung:
Da ist haben wir einen Tiefpunkt,der
lautet.
Wendepunkt
Nun rechnen wir die Wendestelle zunächstmal aus:
Da wir aber von negativen Zahlen keine (quadratische)Wurzel ziehen können, ist die notwendige Bedingung nicht erfüllt.
Wir haben also keinen Wendepunkt.
1g)
Zuletzt kommt die Skizzierung des Grafen:
Zweite Kursarbeit vom 14.12.2011
A1 25P (1+2,5+1,5+1+2,5+1,5+2+3+3,5; die beiden Ableitungen: 2+4,5)
A2 (2,5+3+4,5)
A3 (Symmetrie 1; Asymptoten 2,5; Pole 2,5; Punkte 1,5; Graf 2; Extrempunkte 4; Wendepunkte 2; Mengen 1; die beiden Ableitungen: 3+6,5)
A4 (1+1,5+1,5)
A5 (2,5+2,5)--CJSchmitt 01:12, 19. Dez. 2011 (CET)
Lösungsvorschlag Aufgabe 1
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a) Symmetrie des Grafen
Keine Symmetrie
b) Verhalten für
und 
c) Gemeinsame Punkte von Graf und Koordinatenachsen
Y-Achsenabschnitte
Nullstellen
Es ist nicht möglich, dass man hier eine Nullstelle bekommt
d) Extrempunkte
Erstmal berechnen wir die 1.Ableitung
=
Somit wäre die 1.Ableitung bewiesen.
Hier erkennen wir, dass wir keine Nullstelle haben.
e) Wendepunkte
Erstmals berechnen wir die 2.Ableitung
--Using Ob 21:14, 18. Dez. 2011 (CET)
Eine Nullstelle können wir nur innerhalb der Klammer erreichen:
VZW +- von f"(x) an der Stelle 0 --CJSchmitt 01:17, 19. Dez. 2011 (CET)
Wir haben eine Wendestelle im Punkt
f) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f
Von bis 0 haben wir eine monotone Steigung.
Ab den Y-Abschnitt , der in diesem Fall auch unser Wendepunkt ist, verändert sich die Steigungsform.
Ist immer noch monoton steigend, aber diesmal rechtsverkrümmt.
g) Skizzieren Sie den Grafen von f
h) Notieren Sie bitte Definitionsbereich Df undWertebereich Wf. Berechnen Sie die Gleichung der Tangenten an der Stelle xo = 2
--Using Ob 21:01, 18. Dez. 2011 (CET)
Tangente:
Wir wenden unsere Allgemeine Tangentengleichung:
Jetzt setzen wir ein
Lösungsvorschlag Aufgabe 2
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--Jeanneaux Ob 09:11, 17. Dez. 2011 (CET)
Die Aufgabenstellung der zweiten Aufgabe lautete:
Berechnen sie die bitte jeweils die Ableitung mit der Kettenregel.
Hierzu sollte man, bevor man anfängt sich der allgemeinen Kettenregel bewusst werden. Diese lautet:
Nun ermittelt man bei jeder Teilaufgabe jeweils g(x) und k(x) und deren Ableitungen.
Teilaufgabe a
Diese setzen wir nun in unsere allgemeine Kettenregel ein
Teilaufgabe b
Wir setzen wieder in die allgemeine Kettenregel ein:
--Using Ob 21:30, 18. Dez. 2011 (CET)
Teilaufgabe c
Lösungsvorschlag Aufgabe 3
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Die beiden Ableitungen
Berechnung der ersten und zweiten Ableitung durch --Schenkel Ob 17:47, 17. Dez. 2011 (CET)
nun multiplizieren wir die Klammern aus
nun klammern wir aus
nun kürzen wir und multiplizieren die Klammern aus
Symmetrie
--Using Ob 16:12, 18. Dez. 2011 (CET)
Der Graph ist punktsymmetrisch ( zum Ursprung )
Polstellen
--Using Ob 16:12, 18. Dez. 2011 (CET)
Wir setzten den Nenner der gebrochenrationalen Funktion f(x) gleich Null, um die Polstellen zu erhalten.
Nun prüfen wir den Vorzeichenwechsel.
VZW bei x1: +-
VZW bei x2: +-
Alternativ
Nun prüfen wir den VZW, indem wir N(x) und Z(x) skizzieren.
Z(x)
N(x)
Bei haben wir im Nenner VZW +- , der Zähler ist an dieser Stelle positiv, daher bleibt VZW +-.
Bei haben wir im Nenner VZW -+, der Zähler ist an dieser Stelle negativ, daher VZW +-.
Verhalten für x gegen 
--Using Ob 16:13, 18. Dez. 2011 (CET)
Polynomdivision
Unsere Näherungsfunktion lautet daher:
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
--Using Ob 16:14, 18. Dez. 2011 (CET)
Um die Nullstellen zu berechnen, müssen wir die Funktion gleich Null setzen.
Nun klammern wir x aus.
Da nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse existiert und wir schon einen kennen , können wir diesen als Schnittpunkt mit der y-Koordinatenachse vermerken.
Extrempunkte
--Using Ob 16:34, 18. Dez. 2011 (CET)
Nun , da wir beide Ableitungen errechnet haben, können wir die waagerechten Tangenten berechnen und bestimmen, ob diese Extremstellen sind.
Anfangs setzen wir die erste Ableitung gleich Null.
Nun substituten wir nach dem Substitutionsverfahren.
Nun berechnen wir unser x.
Nun ist zu prüfen, ob diese Stellen Extremstellen sind.
Dazu setzen unsere Werte für x in die zweite Ableitung ein.
Wir erkennen, dass an der Stelle x1 ein Tiefpunkt existiert.
Wir erkennen, dass an der Stelle x2 ein Hochpunkt existiert.
Wir erkennen, dass an der Stelle x3 ein Hochpunkt existiert.
Wir erkennen, dass an der Stelle x4 ein Tiefpunkt existiert.
Nun berechnen wir die Extrempunkte, indem wir unsere errechneten Werte für die Extremstellen in die Funktion f(x) einfügen.
Wendepunkte
--Using Ob 17:37, 18. Dez. 2011 (CET)
Um die Wendestellen zu berechnen, muss man die zweite Ableitung gleich Null setzen und dann nach x auflösen.
Nun prüfen wir den Vorzeichenwechsel an der vermuteten Wendestelle x1, indem man einen Wert im positiven Bereich auswählt, welcher sich nur minimal von der Null unterscheidet und setzen diesen für x in ein.
Dies tun wir auch auch mit einem Wert im negativen Bereich, welcher sich nur minimal von der Null unterscheidet.
Der Vorzeichenwechsel ist daher +- .
Nun ist noch der Wendepunkt zu berechnen.
Wir wissen aus vorigen Rechnungen, dass f(0)=0 ist , daher lautet unser Wendepunkt:
Definitionsmenge/Wertemenge
--Using Ob 17:37, 18. Dez. 2011 (CET)
Graph
--Using Ob 17:37, 18. Dez. 2011 (CET)
Lösungsvorschlag Aufgabe 4
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--Jeanneaux Ob 15:44, 18. Dez. 2011 (CET)
gegeben war: Von einem radioaktiven Präparat (4mg) gehen stündlich 5% verloren.
Teilaufgabe a
Hier war es die Aufgabe eine Zerfallsfunktion für diese Aufgabe aufzustellen.
Dafür betrachtet man den vorgegebenen Stoff (4mg) also 4 und den Zerfall also
Die Zeit t in stunden nehmen wir als Potenz und diese ersetzt unser x
Dies setzen wir nun in unsere Formel ein:
Damit ist Teilaufgabe a erfüllt
Teilaufgabe b
In Teilaufgabe b sollte man errechnen, wie viel des Stoffes nach genau einer Woche noch vorhanden ist.
Achtung: t ist in Stunden angegeben und nicht in Wochen.
Also: Man musst erst errechnen wie viele Stunden eine Woche hat
Eine Woche hat also 168 Stunden. Dies setzen wir nun für t ein:
Der errechnete Wert in mg ist unser gesuchter Wert. Damit ist auch Teilaufgabe b erfüllt.
Teilaufgabe c
In Teilaufgabe c galt es, die Zeit zu errechnen wann nur noch exakt die Hälfte des Stoffes vorhanden war.
Hierzu muss man für f(t), 2 einsetzten da wir t errechnen wollen.
Um an t ranzukommen muss man nun mit dem Logarithmus naturalis arbeiten:
Also: Nach 13,51 Stunden ist noch die Hälfte des Stoffes vorhanden.
Damit ist Aufgabe 4 abgeschlossen.
Lösungsvorschlag Aufgabe 4 / Variante
--Using Ob
a
Wir haben 4mg als Anfangswert eines Präparats gegeben und zudem soll dieses stündlich um 5 Prozent zerfallen.
Daher können wir diese Funktion aufstellen:
b
Bei dieser Aufgabe soll berechnet werden, wie viel Milligramm des Stoffes nach einer Woche vorhanden sind.
Da wir t als die Zeit in Stunden definiert haben,müssen wir erstmal errechnen,wie viele Stunden eine Woche hat.
1 Woche = 7 Tage
1 Tag = 24 Stunden
1 Woche = 24 · 7 Stunden= 168
Daher müssen wir nun 168 für t einsetzen, um die Anzahl der Milligramm des Stoffes nach einer Woche zu erhalten.
A: Nach einer Woche sind nur noch 7,24·10-4 mg des Stoffes vorhanden
c
Bei dieser Aufgabe ist gefragt, wann genau nur noch die Hälfte des Stoffes vorhanden ist.
Da wir am Anfang 4 Milligramm haben, ist die Hälfte davon 2.
Nun setzen wir 2 als Wert ein, um t zu bestimmen.
Wir wenden zudem die dritte Logarithmische Regel an
Wir erkennen, dass der Stoff nach ca. 13 Stunden und 30 Minuten die Hälfte seiner Masse verloren hat.
Zur Illustration:
Lösungsvorschlag Aufgabe 5
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--Jeanneaux Ob 18:05, 17. Dez. 2011 (CET)
gegeben war:
Die 5 Aufgabe bestand aus 2 Teilaufgaben
Teilaufgabe a
Berechnen sie die Stammfunktion.
Hier muss uns bewusst werden, wie man überhaubt auf diese Funktion gekommen ist.
Hierzu teilen wir den Vorfaktor durch die Ableitung der Potenz, also . Dies ergibt -2,5 und können unsere Stammfunktion errechnen.
Demnach lautet diese:
--Using Ob 21:06, 18. Dez. 2011 (CET)
Damit ist Teilaufgabe a schon erfüllt
Teilaufgabe b
In Teilaufgabe b sollte man nun das Integral berechnen. Da wir in Teilaufgabe a schon die Stammfunktion errechnet haben können wir nun bedenkenlos einsetzen.
Wir wissen und können dieses einsetzen.
Unser Integral beträgt also ungefähr 15.98 FE
Hiermit ist Aufgabe 5 erfüllt
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