Lösungsvorschläge für die erste Musterklausur

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Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe 1)
2 Aufgabe 2a)
3 Aufgabe 2b)
4 Aufgabe 3) (Der Beweis des Satzes des Vieta)
5 Aufgabe 4) (Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation)
6 Aufgabe 5) (Stammfunktionen bestimmen)

Aufgabe 1)

Kurzinfo

Ich bin Schüler bzw. Schülerin.

... mehr Schüler und Schülerinnen

Bitte beachte die Hinweise für Schüler.

$LaTeX: f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2-2$

$LaTeX: %20%5Cqquad%20g%28x%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20x%2B%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D$

Zuerst die beiden Funktione gleichsetzen und die Nullstellen berechnen.

Daraus erhalten wir: $LaTeX: x_1%3D3%20%5Cquad%20x_2%3D-%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D$

Jetzt noch integrieren: $LaTeX: A%3D%20%5Cleft%7C%20%5Cint_%7B-%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%20%7D%5E%7B3%7D%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2-2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx-%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%29%5C%2Cdx%20%5Cright%7C$

$LaTeX: %20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20A%3D%2024%2C69%20$

Aufgabe 2a)

Bei dieser Aufgabe gilt es, die Gemeinsamkeiten der Funktionsschar $LaTeX: f_k%28x%29-x%5E2%2Bkx$ $LaTeX: %280%3Ck%5Cle%203%29$ ausfindig zu machen.

Zunächst betrachte man sich eine Skizze der Funktionen:

Man bemerkt, dass alle Funktionen durch den Nullpunkt gehen.

Dies kann man auch belegen:

$LaTeX: f%28x%29%3D-x%5E2%2Bkx$

$LaTeX: 0%3D-x%5E2%2Bkx$

$LaTeX: 0%3Dx%28-x%2Bk%29$

Wir erkennen, dass $LaTeX: x_1$ bei jeder Funktion der Funktionsschar gleich $LaTeX: 0$ ist und man erkennt auch, dass $LaTeX: x_2$ bei jeder Funktion $LaTeX: k$ ist.

Des Weiteren liegt die Vermutung nahe, dass jede Funktion der Funktionsschar, sowohl bei x gegen positiv unendlich, als auch bei x gegen negativ unendlich, gegen negativ unendlich läuft.

Dies kann man überprüfen, indem man x gegem $LaTeX: %5Cpm%20%5Cinfty%20$ streben lässt.

$LaTeX: %5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%20%3D%20-%5Cinfty%20$

$LaTeX: %5Clim_%7Bx%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%3D-%5Cinfty$

Man sagt: "Das Verhalten der Potenz mit größter Hochzahl, also -x² entscheidet. --CJSchmitt 07:06, 4. Okt. 2011 (CEST)

Des Weiteren kann man die Graphen auf Hoch- und Tiefpunkte prüfen.

$LaTeX: f%28x%29%3D-x%5E2%2Bkx$

$LaTeX: f%27%28x%29%3D-2x%2Bk$

$LaTeX: 0%3D-2x%2Bk%20%5Cqquad%7C%2B2x%20$

$LaTeX: 2x%3Dk%20%5Cqquad%7C%20%3A2%20$

$LaTeX: x%3D%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%20$

$LaTeX: f%27%27%28x%29%3D-2%20$ <----- Hochpunkt

Jeder Graph hat einen Hochpunkt an der Stelle $LaTeX: %20x%3D%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%20$ .

Aufgabe 2b)

Bei dieser Aufgabe gilt es, die Fläche zwischen $LaTeX: f_t%28x%29$ und der x-Achse zwischen $LaTeX: x%3D0$ und $LaTeX: x%3D3$ zu berechnen.

Zunächst betrachte man sich die Funktion und die Vorgaben:

$LaTeX: f_k%28x%29%3D-x%5E2%2Bkx$

$LaTeX: 0%3Ck%5Cle%203$

Wir erkennen, dass k kleiner als 3 ist, somit muss es zwei Teilflächen zwischen 0 und 3 geben, da die Graphen der Funktionsschar die x-Achse in jedem Fall vor der Stelle x=3 schneiden,da k (Schnittpunkt mit der x-Achse) kleiner 3 ist.

Zur Illustration ( Beispiel ):

Daher müssen wir von 0 bis k und von k bis 3 integrieren (Zur Erinnerung: k und 0 waren unsere Nullstellen (Siehe 2a.)).

Wir wissen, dass die Fläche von 0 bis k positiv wird, daher können wir in diesem Fall die Betragsstriche weglassen.

$LaTeX: %5Cint_%7B0%7D%5E%7Bk%7D%20-x%5E2%2Bkx%5C%2Cdx%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cleft%5B%20%20x%5E3%5Cright%5D_0%5Ek%20%2B%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%20%20%5Cleft%5Bx%5E2%20%5Cright%5D_0%5Ek$

$LaTeX: %3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5Cleft%28%20k%5E3-0%5Cright%29%20%20%2B%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%20%20%5Cleft%28%20k%5E2-0%5Cright%29%20%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dk%5E3%2B%5Cfrac%7Bk%5E3%7D%7B2%7D%20$

$LaTeX: %3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dk%5E3$

Unser erster Flächeninhalt beträgt $LaTeX: %5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dk%5E3$

Nun integrieren wir von k bis 3.

Normalerweise setzen wir dies in Betragsstriche, jedoch wissen wir das ein negativer Wert herauskommt , daher können wir , um den Betrag herauszufinden, direkt ein Minus vor das Integral setzen, welches wir am Ende der Rechnung auflösen werden.

$LaTeX: -%20%5Cleft%28%20%5Cint_%7Bk%7D%5E%7B3%7D%20-x%5E2%2Bkx%5C%2Cdx%20%5Cright%29%20%3D-%20%5Cleft%28%20%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cleft%5B%20%20x%5E3%5Cright%5D_k%5E3%20%2B%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%20%20%5Cleft%5Bx%5E2%20%5Cright%5D_k%5E3%20%5Cright%29%20$

$LaTeX: %3D-%20%5Cleft%28%20%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cleft%28%20%203%5E3-k%5E3%20%5Cright%29%20%20%2B%20%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%20%5Cleft%28%20%203%5E2-k%5E2%20%5Cright%29%20%5Cright%29%20%20%3D%20-%20%5Cleft%28%20%20-9%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dk%5E3%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7Dk-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dk%5E3%20%5Cright%29$

$LaTeX: %3D-%20%5Cleft%28%20%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dk%5E3%20%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7Dk%20-9%20%20%5Cright%29%20$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dk%5E3%20-%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7Dk%20%2B9%20%20$

Nun haben wir unsere beiden Flächeninhalte und können nun k so bestimmen, dass der Flächeninhalt minimal wird.

$LaTeX: A_1%20%2B%20A_2%20%3DA$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dk%5E3%20-%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7Dk%20%2B9%20%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dk%5E3%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dk%5E3%20-%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7Dk%20%2B9$

$LaTeX: A%28k%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dk%5E3%20-%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7Dk%20%2B9$

Um das Minimum einer Funktion an einer Stelle zu bestimmen, muss man die Funktion ableiten und gleich Null setzen.

$LaTeX: A%27%28k%29%3Dk%5E2%20-%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D$

$LaTeX: 0%3Dk%5E2%20-%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%20%5Cqquad%20%7C%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D$

$LaTeX: %5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%20%3Dk%5E2%20$

$LaTeX: %5Csqrt%7B%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%7D%20%3D%20k%20$

$LaTeX: %5Cpm%202%2C12%20%5Capprox%20%20%20k%20$

A: Da 0<k sein soll ist unsere Lösung $LaTeX: k%20%5Capprox%202%2C12%20$ .

$LaTeX: A%27%27%28k%29%3D2k%3E0$

$LaTeX: A%27%27%282%2C12%29%3D4%2C24%3E0$

Also A: An der Stelle 2,12 ist ein Minimum. --CJSchmitt 07:19, 4. Okt. 2011 (CEST)

--Using Ob 15:59, 2. Okt. 2011 (CEST)

Aufgabe 3) (Der Beweis des Satzes des Vieta)

Den Satz des Vieta haben wir mit Hilfe der p-q Formel bewiesen.

$LaTeX: x%5E2%2Bpx%2Bq%3D0$

$LaTeX: x_%7B1%2C2%7D%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cbigg%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%5Cbigg%29%5E2-q%7D%5C%2C$

$LaTeX: %5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5CDownarrow$

$LaTeX: x_%7B1%7D%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cbigg%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%5Cbigg%29%5E2-q%7D%5C%2C$

$LaTeX: x_%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%20-%20%5Csqrt%7B%5Cbigg%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%5Cbigg%29%5E2-q%7D%5C%2C$

Erstmal der Beweis für p:

Laut dem Satz des Vieta muss $LaTeX: %20x_1%20$ plus $LaTeX: %20x_2%20%5Cqquad%20-p%20$ ergeben.

Und in der Tat, rechnen wir $LaTeX: %20x_1%20%2B%20x_2%20$ , dann kürzen sich die $LaTeX: %5Csqrt%7B%5Cbigg%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%5Cbigg%29%5E2-q%7D$ weg und wir haben am Ende $LaTeX: -%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%20%3D%20-p$ übrig.