Protokolle August September 2011
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Protokoll vom 10.8.2011 / Thema: Verfahren der vollständigen Induktion
| erstellt am 10.8.2011 | Protokoll von --OBX4 16:39, 18. Aug. 2011 (CEST) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Die Gaußsumme (von der Unterrichtsstunde am 08.08.2011)
Am 08.08.2011 beschäftigten wir uns mit der Gaußsumme.
Wir haben versucht die Gaußsumme nachzuvollziehen , indem wir sie erarbeiteten, teilweise durch Vorgaben , teilweise durch eigene Überlegungen .
Wir sollten überlegen , wie man eine Addition von 1 bis n in einer Formel darstellen könnte.
Mathematisch dargestellt :
Wir stellten fest, dass man die erste Zahl der Summe mit der letzten Zahl (n) addiert, und dies dann mal die Hälfte von n nehmen muss.
So kamen wir auf die Gaußformel.
Die Gaußsumme :
Diese bewiesen wir später anhand des Verfahrens der vollständigen Induktion.
Dieses Wissen war Grundlage des nächsten Mathematikunterrichts .
Formel : 
Am Anfang der Stunde setzten wir uns mit einer Formel auseinander,welche eine allgemeine Formel sein sollte, die uns das Ergebnis von berechnen konnte. Diese hatte uns Herr Schmitt vorgegeben .
Sie lautet : ==
Dazu rechneten wir einige Beispiele . Hier eines der Beispiele :
:
Nun setzten wir uns mit dem Summenoperator auseinander.
Summenoperator 
Danach nahmen wir uns den Summenoperator vor.
Bereits letzte Mathestunde hatten wir uns mit Summenoperatoren auseinandergesetzt.
Dieser Summenoperator besagt, dass wir ab der Zahl 1 bis zur Variable n alle Zahlen hoch zwei setzen und danach addieren.
Beispiel :
Verfahren der vollständigen Induktion für die Formel : 
Das Verfahren der vollständigen Induktion wird in vier Schritte untergliedert.
Zuvor legten wir fest, dass wir dies nur können , wenn wir in der Induktion n --> n+1 setzen , um die Formel für jede natürliche Zahl brauchbar zu machen.
Wenn die Formel für n gelten sollte , so müsste sie auch für n+1 gelten.
Dies drückten wir auch mathematisch aus :
1.Schritt: Der Induktionsanfang
Bei dem Induktionsanfang veranschaulicht man, dass die Behauptung ,die man aufgestellt hat, für ein konkretes n gilt.
Daher untersuchten wir unsere Behauptung nach den Regeln des Induktionverfahrens und verwendeten für unsere Variable in der Formel die Zahlen Eins, Zwei und Drei.
Hier eines der Beispiele :
Beispiel:
:
2.Schritt: Die Induktionsannahme
Bei der Induktionsannahme nimmt man, dass die Formel für ein beliebiges n gilt.
Wir nehmen an , dass diese Formel für alle n gilt :
Nun gilt es dies bei der Induktionsbehauptung rechnerisch darzustellen.
3.Schritt: Die Induktionsbehauptung
Hierbei gilt es zu zeigen, dass die Formel auch für n+1 gilt.
Mathematisch ausgedrückt heißt dies :
4.Schritt: Der Induktionsbeweis
Es gilt nun zu illustrieren, dass die Gleichung , welche man bei der Induktionsbehauptung ermittelt hat, die richtige ist.
Hier wird straight-foward gerechnet, um zu beweisen , dass LR gleich RS (Siehe Induktionsanfang) ist.
Rechnung:
=
=
=
=
= q.e.d. ( quod erat demonstrandum )
A : Mit dieser Rechnung haben wir bewiesen , dass unsere ursprüngliche Formel für jede natürliche Zahl gilt.
Erklärung der Rechnung
Anfangs haben wir den Summand am Ende der Gleichung auf den gemeinsamen Nenner 6 gebracht, und zugleich den Zähler versechstfacht, wie es nach den Regeln der Bruchrechnung notwendig ist.
Danach klammerten wir den Term ( n+1 ) aus und rechneten die Faktoren innerhalb der Klammer aus.
Als letzten Schritt rechneten wir zwei Summanden innerhalb der rechten Klammer zusammen , und kamen somit auf die Lösung.
Der Versuch, die Gaußformel für ungerade n, ohne die vollständige Induktion, zu beweisen
Wir versuchten, nach dem Einwand eines Schülers , man könne die Gaußsumme auch ohne die vollständige Induktion beweisen, dies zu belegen.
Dabei war der Gedanke des Schülers, man könne den Summanden, welcher bei der Summenbildung nach dem Einsetzen von n (n muss eine ungerade Zahl sein)am Ende übrigbleibt, durch
berechnen.
Daher behauptete er , man könne die Formel umstellen, um somit ohne eine Induktion einen Beweis zu finden :
Vollständige Ausführung : Elementarer Beweis der Gaußsumme für ungerade n
Fallunterscheidung
Für grades n :
n ungerade,n-1 gerade:
q.e.d
Protokoll vom 15.8.2011 / Thema:Streifenmethode / Integralrechnung [Einführung für f(x)=x]
| erstellt am 17.8.2011 | Protokoll von Louisa Wünnenberg |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Streifenmethode
Am 15.08.2011 beschäftigten wir uns mit der Streifenmethode.
Anhand einer Skizze, die den Grafen und
zeigt, konnten wir uns die Streifenmethode veranschaulichen.
Um diese mathematisch darzustellen, legten wir eine Streifenbreite von
und
fest.
Das Vorgehen der Skizze:
Um eine Ober- oder Untersumme einer Funktion ermitteln zu können, unterteilt man ein Intervall in n gleich breite Streifen. An diesen Stellen zeichnet man senkrechte Striche, diese schneiden die Funktion bei den Funktionswerten.
Bei einer Obersumme nimmt man in jedem der n kleinen Stücken den höheren der beiden Werte und multiplizierst ihn mit der Breite n. Das entspricht der Fläche eines Streifens, der genau über der Funktion liegt.
Nimmt man den niedrigeren der beiden Werte hat man die Untersumme, welche immer unter der Funktion liegt.
Bei der Streifenmethode werden zunächst gleich breite Streifen unter den Graphen gelegt, die die Höhe des kleinsten Funktionswertes im jeweiligen Intervall haben. Diese bilden zusammen die Untersumme.
Dann legt man Streifen der gleichen breite aber diesmal mit der Höhe des größten Funktionswertes im jeweiligen Intervall unter den Graphen. Diese bilden die Obersumme.
Beispiel 1
Skizze:
gegeben:
Streifenbreite
Obersumme:
O4= (Streifenbreiten · Höhe)
O4= (
zu viel)
Untersumme:
U4=
U4= (
zu wenig)
Beispiel 2
gegeben: n Streifen ; Streifenbreite =
Obersumme:
On=(
+
+
+...+
)
On=
2
On=
On=
On=
On=
Bsp.:
O16=
O16=
Untersumme:
gegeben: Streifenbreite =
Un=+
+
+
+
+...+
Un=
2
Un=
Un=
Un-On=
Un-On= (Fläche des größten Streifens)
Grenzwertübergang für sehr große n
Beispiel 3
n Streifen;
On=(
+
+...+
)
On=
2
On=
2
On=
On=
On=
Daraus folgt :
Beispiel 4
Hausaufgabe
war ein Induktionverfahren zu der Formel:
zu erstellen
Protokoll vom 17.8.2011 / Thema: Integralrechnung und verschiedene Stammfunktionen; orientierter und geometrischer Flächeninhalt
| erstellt am 19.8.2011 | Protokoll von Tolga Hamko |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Wiederholung der letzten Woche
Wir haben zur Veranschaulichung die Stammfunktionen der letzten Stunden nochmal behandelt.
Das war unsere bisherige Stammfunktion für das Integral.
Merke: Die erste Ableitung der Stammfunktion ergibt wieder den Integranden.
Also d.h.:
Beispiel:
Vorfaktor im Integral
Für das Integral gilt:
Beispiel:
Hier ist eine zweite Summenformel die wir am 17.8 behandelt haben:
und hier ist die Berechenung der Obersumme zu dieser Formel:
ist die Breite der einzelnen Streifen also damit auch dx
nach wie vor gilt für
Die Obersumme:
Die Untersumme:
auch diese Formel kann man beweisen:
Diese Formel kann man verwenden um den Flächeninhalt des folgendem Graphens zu ermitteln:
Die erste von uns verwendete Stammfunktion kann in Fällen wie diesen eingesetzt werden:
Doch bei so einem Graphen müssen beide Stammfunktionen angewendet werden 
die dazu aufzustellende Stammfunktion lautet:
Orientierter und geometrischer Flächeninhalt eines Graphen
Bei einigen Graphen kann es vorkommen, dass das Ergebnis bei der Integralrechnung negativ wird. In diesem Fall wird das Ergebnis Orientierter Flächeninhalt genannt. Doch um auf das absolute Ergebnis zu kommen muss man den Betrag des Ergebnisses verwenden.
Hier ist ein Beispiel:
(wenn die 4 nicht zu sehen ist )
dieser Wert ist orientiert
die Fläche kann nicht 0 sein
Hierbei handelt es sich um den orientierten Flächeninhalt
Nullstelle:
Das Ergebnis wird als Absoluter Flächeninhalt bezeichnet. So erhält man den genauen Flächenwert.
Protokoll vom 22.8.2011 / Thema: Integrieren der Parabelfunktion über den Grenzwertübergang von Obersummen
| erstellt am 23.8.2011 | Protokoll von --Oeztuerk ob 16:54, 5. Dez. 2011 (CET) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Streifenmethode / Integralrechnung einer Parabelfunktion
Anhand einer Skizze, die den Grafen zeigt, konnten wir uns die Streifenmethode veranschaulichen.
Skizze:
gegeben:
Streifenbreite
Abschätzsumme der Dreiecksfläche
O2=
U2=
O4
Streifen
On=
On=
On=
On=
On=
On=
Da und
gegen 0 streben, kommt für On=
raus.
2,67 ist der genaue Wert der Dreiecksfläche.
Beute-Kammer:
Beispiel 1
Beispiel 2
Alternative:
=
=
=
Hierbei wurden die Zahlen und
in einzelne Integrale unterteilt.
Es kommt das selbe Ergebnis raus wie bei Beispiel 2.
Hausaufgabe :
Seite 54 Nr. 14 a,b,f,g
Seite 54 Nr. 15 a,b
Seite 53 Nr. 1 c,d,e,g
Seite 53 Nr. 2 a,b
Protokoll vom 24.8.2011 / Thema: Integralberechnungen und Stammfunktionen
| erstellt am 25 .8.2011 | Protokoll von --Hebecker Ob |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Aufgaben
(gelöste Aufgaben im Unterricht)
S. 50, Nr. 6a, c, e
a) positiv
b) negativ
c) negativ
S. 53, Nr. 1
c) f(x) = 3x --> x2
d) f(x) = x5 --> x6
e) f(x) = 5x2 --> x3
g) f(x) = 0,1x3 --> x4
Definition:
Eine differenzierbare Funktion "F" heißt Stammfunktion von "f", wenn gilt F´(x) = f(x)
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:
Sei "F" Stammfunktion von "f", dann gilt= F(b) - F(a)
2 Möglichkeiten der Integralberechnung:
Bemerkung:
Beispiel:
Alternative Lösungsmethode:
Das gleiche Ergebnis kommt raus!
2. Beispiel:
<-- Orientierter Flächeninhalt
<-- Absoluter/Tatsächlicher Flächeninhalt
Für die "Beutekammer"
Beutekammer:
Hausaufgaben
Hausaufgaben ernst nehmen ;-)
S. 53 & 54
Nr. 14 d
Nr. 2 c,d
Nr. 3 a,c,h
Nr. 4 b
Nr. 5
Nr. 6 a,d,f
Nr. 9
Nr. 13 a
Protokoll vom 29.8.2011 / Thema: Bestimmung von Sätzen über Stammfunktionen
| erstellt am 29.8.2011 | Protokoll von --OBXY 11:46, 12. Feb. 2012 (CET) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Am Montag den 29.08.2011 arbeiteten wir an der Bestimmung von Sätzen über Stammfunktionen
Zunächst die Lösungen für die Hausaufgaben des 24.08.2011
Hausaufgaben des 24.08.2011
S. 53, Nr. 2c, d
c) a
d) a = 1
Erklärung zu 2d)
Nun müssen wir herausfinden was a für eine Zahl sein kann.
Also integrieren wir
Dies sieht dann so aus:
Daraus schliessen wir, das das a = 1 ergeben muss da wir herausbekommen müssen und das geschieht nur wenn wir für a = 1 einsetzen da,
ergibt
S. 53, Nr. 3a, c, h
a)
c) 24
h)
S. 54, Nr. 4b
S. 54, Nr. 5
II(Römisch 2)
S. 54, Nr. 6a, d, f
a)
d)
f)
S. 54, Nr. 9
III(Römisch 3)
S. 54, Nr. 13a
Dies waren die Ergebnisse der Hausaufgaben des 24.08.2011
Ableitungen und Stammfunktionen
Danach haben wir unsere "Beutekammer" mit zwei Tabellen erweitert, die jeweils einmal die Ableitungsfunktion und die Stammfunktion von zeigt
Ableitungen
| | | | | | |
| | | | | | |
Da sich die Ableitung von sehr schwer zu merken ist, haben wir diese veranschaulicht.
ist das selbe wie
. Leiten wir dies ab, sieht das so aus:
umgeschrieben erkennen wir unsere Formel wieder:
Auch für die Ableitung von haben wir uns eine veranschaulichte Lösung errechnet.
davon machen wir jetzt die Ableitung
umgeschrieben erhalten wir wieder
Und vergesst nicht dies in eure Beutekammer zu schreiben ;-)
Stammfunktionen
| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | ? | | | |
Wir haben für keine Funktion erhalten, da man nicht durch null dividieren darf. Die Stammfunktion ist keine normale Hyperbelfunktion
Allerdings haben wir uns auch hier einige veranschaulichte Methoden errechnet
Nun koennen wir die Probe machen, indem wir ableiten
q.e.d
Die nächste vereinfachte Rechnung ist für
Um diese wieder zu überprüfen leiteten wir diese wieder ab
q.e.d
Auch für haben wir eine veranschaulichte Methode
Nun haben wir dies wieder durch die Ableitung bewiesen:
q.e.d
Und wieder nicht vergessen, dies muss in Eure "Beutekammer" ;-)
Beispiele
Da wir unsere Tabellen fertig hatten, konnten wir diese verwenden um Beispielaufgaben zu lösen.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Beispiel 3:
Nachdenken über Stammfunktionen
Ein weiterer Themenpunkt der Unterrichtsstunde am 29.08.2011 war das Nachdenken über Stammfunktionen. Wir haben zunächst mit einem Bsp. begonnen:
Bsp.1:
Satz1
Vor.:Seien und
Stammfunktionen von f
Beh.: und
unterscheiden sich nur durch eine Konstante.
Bew.:
damit man dies beweisen kann muss man dies ableiten
Demnach ist eine konstante
das bedeutet q.e.d
Satz 2:
Vor.
also ist
ein Vielfaches von
Die Behauptung ist jetzt, dass die Stammfunktion von also
auch ein Vielfaches von
ist.
Beh.:
Um dies zu beweisen haben wir Abgeleitet
Bew.:
q.e.d
3.Satz:
Vor.:
Beh.:
Die Behauptung ist, dass wenn man die Stammfunktionen von und
addiert, die Stammfunktion von
herauskommt also
Bew.:
Auch hier leiteten wir wieder ab
q.e.d
Damit haben wir haben alle 3 Sätze bewiesen
Integrationsregeln
In den letzten Minuten des Mathematikunterrichtes haben wir noch eine der sechs Integrationsregeln an die Tafel geschrieben, aber nicht weiter besprochen.
Die erste Integrationsregel lautet:
Vor.:
Das Interessante an dieser Formel ist, dass sie für alle Reelen Zahlen außer (-1) gilt.
Hausaufgaben für den 31.08.2011
S. 54, Nr. 3i, l / Nr. 4d / Nr. 6e / Nr. 13b, d
und
S. 57, Nr. 1a, b, c / Nr. 3b, d / Nr. 5a
Protokoll vom 31.8.2011 / Thema:Weitere Integrationsregeln und die Bestimmung eines Parameters
| erstellt am 3.9.2011 | Protokoll von --Kracht OB 20:08, 03. Sep. 2011 (CEST) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Am Mittwoch den 31.08.2011 haben wir uns mit den weiteren Integrationsregeln und mit der Bestimmung eines Parameter befasst.
Zuerst mal die besprochenen Ergebnisse der Hausaufgaben vom 29.08.2011
Hausaufgaben vom 29.08.2011
S. 53, Nr. 3i, l
i)
l)
S. 54, Nr. 4d
S. 54, Nr. 6e
S. 54, Nr. 13b,d
b)
d)
S. 57, Nr. 1a,b,c
a)
b)
c)
S. 57, Nr. 3b,d
b)
d)
S. 57, Nr. 5a
Intergrationsregeln
Faktorregel
Danach haben wir das Thema Integrationsregeln fortgeführt.
Die Behauptung der zweiten Regel (Faktorregel) ist dass bei :
Vor.: ;
sich diese Gleichung ergibt:
Beh.:
Der Beweis für diese Gleichung basiert auf unserer erste Regel für Stammfunktionen:
Wir gehen nach dem Straightforwardverfahren vor:
Klammern dann k aus:
Und schließlich können wir unseren Hauptsatz benutzen und die Gleichung stimmt.
q.e.d.
Summenregel
Nach der Faktorregel kamen wir dann zur Summenregel. Nach dieser Vorausetzung:
Vor.:
soll sich dies mal diese Regel(Gleichung) ergeben:
Beh.:
Für diesen Beweis benutzen wir diesmal den 3.Gedanken der Stammfunktion, welchen wir am Montag behandelt haben:
Führen nach dem Straightforward verfahren fort:
Und gelangen schließlich zu unserer Gleichung:
q.e.d.
Beispiele
Diese zwei Regeln haben wir gleich in Beispielen in die Praxis umgesetzt:
1)
2)
3) Flächenberechnung
Intervall
Das ist das Ergebnis für das orientierte Integral; um den absoluten Flächeninhalt auszurechnen, müsste man jeweils die Flächeninhalte zwischen den Nullstellen bestimmen.
Bestimmung des Parameters
Als nächstes Thema hatten wir die Berechnung eines Parameters. Dazu wurde uns folgende Gleichung gegeben:
a ist unbekannt, dabei soll der Parameter eine Konstante sein. So gehen wir wieder nach dem Straightforwardprinzip mit Hilfe unserer neuen Regeln vor :
Subtrahieren die 9.
Dividieren durch -7
Und bekommen unseren Parameter raus.
Nun führen wir eine Probe aus in dem wir für a die -1 einsetzen:
Die Berechnete Konstante stimmt also.
Satz des Vieta
Ganz zuletzt wurde nochmal der Satz des Vieta angeführt, womit wir im Kopf einfach die Nullstellen von quadratischen Gleichungen berechnen können.(Vorausgesetzt es sind "glatte" Lösungen!)
Beispiel:
Eine genauere Erklärung findet ihr auf Wiederholung1
Hausaufgaben zum 05.09.11 :
Buch S.53 A3 e,f,g,j,k; A4e; A6e
Buch S.57 A 1d; A 5b; A 15b
Protokoll vom 5.9.2011 / Thema: Zusammenhang des Grafen der Stammfunktion F mit dem Grafen von f und Anwendungen der Summen-/Faktorregel
| erstellt am 06.9.2011 | Protokoll von --OB007 17:42, 10. Jan. 2012 (CET) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Zuerst die Lösungen für die Hausaufgaben des 31.08.2011
Hausaufgaben des 31.08.2011
S.53 A3 e, f, g, j, k
e) 50
f)
g)
j)
k) 0
S.54 A4 e
e)
S.54 A6 c
c)
S.57 A1 d
d)
S.58 A15 b
b)
Satz des Vieta
Wir haben am Montag nochmals den Satz des Vieta wiederholt und einige Beispielaufgaben gerechnet
Zur Erinnerung: Das Vorzeichen ist immer umgekehrt.
1. Beispiel
, denn
und
2. Beispiel
3. Beispiel
Stammfunktionen und ihre Grafen
Auch haben wir uns nochmals über die Grafen von Stammfunktionen unterhalten und haben uns intensiv mit der Aufgabe S.57 A5 b beschäftigt.
(Wir gehen davon aus, dass im Buch ein Druckfehler ist und der Scheitelpunkt bei (0.5/-1) liegt.)
Hier der vorgegebene Graf:
Bekannt ist ja, dass die Abbleitung von
ist. Also:
Das bedeutet, dass die Nullstellen von die Extremstellen von
sein müssen.
Also: und
Auch kann man von dem Grafen ablesen, dass sich die y-Werte zwischen -1 und 2 im Negativen befinden.
Also:
In Worten: Die Stammfunktion muss in diesem Bereich fallen. Jetzt kann man sich schon denken wie die Stammfunktion aussieht.
Man kann die Aufgabe aber auch algebraisch lösen:
Da wir bereits die beiden Nullstellen und
haben, kann man daraus die Funktion:
herleiten. Dies ist jedoch noch nicht unsere entgültige Funktion, da sie noch nicht vollständig ist. Denn setzt man z.B. bei dieser funktion für
0.5 ein, dann erhält man das Ergebnis
. Schaut man sich allerdings den Grafen an, dann sieht man, dass die
Koordinate für
bei -1 liegt. Dies kann man jedoch leicht beheben, in dem man die oben stehende Funktion mal
rechnet, also
.
Letzlich muss man dann nur noch die Stammfunktion finden, indem wir unsere Regel: verwenden. Das bedeutet die Stammfunktion heißt:
.
So sieht das Ganze dann aus:
Als Nächstes haben wir uns mit der Aufgabe: S.58 A10 beschäftigt.
Auch hier gilt wieder:
A) Wahr, denn:
B) Falsch, denn sonst würde gelten: und das ist nicht der Fall.
C) Wahr, denn Es gibt einen Vorzeichenwechsel von
an der Stelle -1.
D) Falsch, denn die Funktionswerte können auch Negativ sein, da die Stammfunktion nach untern verschoben sein könnte.
E) Wahr, denn: Erneut gibt es einen Vorzeichenwechsel von
diesmal an der Stelle 1.2.
Anwendung der Summen- und Faktorregel
Wir haben uns erneut mit diesen beiden Regeln beschäftigt und zwei Beispiele gerechnet.
Erinnerung an die Summenregel:
Beispiele:
1)
2)
Betrachtung zum Hauptsatz
Am Ende der Stunde am Montag sind wir nochmal auf den Hauptsatz eingegangen.
Vorraussetzung:
In sofern ist die Integration die Umkehrung der Differenziation und umgekehrt.
Hausaufgaben für Mittwoch, den 7.9.2011
- Ãœbungsblatt 1: A1 b,e A2 a A3 b,e
- Buch S.58: A15 a
Protokoll vom 7.9.2011 / Thema: Den Grafen der Stammfunktion F aus dem Grafen von f entwickeln und 3 weitere Integrationsregeln
| erstellt am 11.9.2011 | Protokoll von --Proschkin Ob 22:05, 30. Nov. 2011 (CET) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Lösungen von den Hausaufgaben für den 7.9.2011
Ü1)1)
a) -3
c) -1
e)
2)a)
3)b)
e)
Buch)S.58 A 15)a) 0
Danach haben wir uns mit dem Integral aus der HÜ beschäftigt:
=
=
= -1 - 1= -2
(Beachte: Der Taschenrechner muss auf RAD eingestellt sein, wenn die Eingabe im Bogenmaß erfolgen soll!)
Siehe auch: [[1]]]
Wie kann ich den Grafen der Stammfunktion F zum Grafen f zeichnen?
Es gilt: f(x) = F'(x)
.jpg)
Man fängt mit den Nullstellen von f an. An den Stellen ist die Ableitung 0 => Waagrechte Tangente bei F.
Weil der Bereich zwischen den Nullstellen positiv ist muss F an den Stellen steigen.
Der Scheitelpunkt des Grafen von f ist der Wendepunkt von F.
Problem: Der Graph F(x) kann an der Y-Achse verschoben sein, da es verschiedene Konstanten gibt.
Z.B.: f(x)= -x2+2\qquad f'(x)= -2x (eine Ableitung), aber mehrere Stammfunktionen:
Integrationsregeln
4)Intervalladditivität
Voraussetzung: F'(x) = f(x)
Behauptung:
Beweis: (straightforward)
q.e.d.
Beispiel:
=
=
=
=
=
5. Integratonsregel
Vorraussetzung: F'(x)= f(x)
Behauptung: = 0
Beweis: =
= F(a) - F(a) = 0 q.e.d.
6. Integrationsregel
Vorraussetzung: F'(x)= f(x)
Behauptung: =
Beweis: =
=
=
=
Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
A= =
=
Hausaufgaben zum 12.09.2011
-HÜ verbessern
-Buch S.58: 15c
-Ü1: 1f ; 3a,c,d ; 5a
-Buch S.63-65 lesen /S.66 3a
Protokoll vom 12.09.2011 / Thema: Flächenberechnung zwischen zwei Grafen
| erstellt am 12.09.2011 | Protokoll von --Roedig Ob (CET) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Als erstes informierte uns Herr Schmitt über einen bevorstehenden Wettbewerb von Simens, der sich um Umwelt, wie z.B. erneuerbare - und regenerative Energien, handelt.
Hausaufgaben des 07.09.2011
Buch
S. 58 A. 15c
S.66 A. 3a
orientierte Flächeninhalt : -18
absoluter Flächeninhalt: |18|
Ãœbungsblatt 1.
1f)
3a)
3c)
3d)
-0,89
5a)
Beispiel von Montag:
Verallgemeinerung
Skizze:
Strategie
Flächenberechnung zwischen zwei Grafen
1) Schnittstellen berechnen a,b2) 2 A=
Beispiel:
1) Schnittstellen
Wir setzten die beiden Gleichungen gleich
Damit wir die Normalform erhlaten teilen wir durch 2
\quad |Vieta anwenden
Wir wissen jetzt, dass sich die beiden Grafen bei 1 und 3 schneiden
2)
Die Gleichungen werden eingesetzt
=
Zusammenfassen
=
Stammfunktionen werden gebildet
=
Einsetzen und Vorfaktoren aus der Klammer ziehen
Wenn möglich die Klammern ausmultiplizieren
=> Flächeninhalt zwischen den beiden Grafen
Dieses Beispiel ist eine Musteraufgabe für das Übungsblatt 2
Wir schauen uns die Grafen an
S (2|2)
S(2|0)
Nullstellen bei (2|2) -> mit Vieta gelöst
Skizze:
s(0)
=
=
Scheitelstelle:
S(2|2)
Vergrößerte Skizze:
f(x)= graue Graf
g(x)=rosa Graf
Wir integrieren den grün markierten Flächeninhalt. Den lila dargestellen Bereich ziehen wir ab und addieren den negativ orientierten Flächeninhalt.
Eingeschlossene Fläche auf dem Intervall
Flächenberechnung auf dem Intervall 
Flächenbrechnung auf dem Intervall von f(x)
.jpg)
Wir berechnen den grau markierten Flächeninhalt zwischen der x-Achse und f(x)
=
ist der Flächeninhalt der grau markierten Fläche
Flächenbrechnung auf dem Intervall von g(x)
Wir berechnen den rosa markierten Flächeninhalt zwischen der x-Achse und g(x)
g(x).jpg)
ist der orientierte Flächeninhalt. Dieser ist negativ, da die Funktionswerte negativ sind, wie wir es auf den Abbildung sehen können. Damit wir beim addieren keinen zu kleinen Betrag heraus bekommen setzten wir Betragstriche.
Das Ergebnis ist der absolute Flächeninhalt.
Flächenberechnung auf dem Intervall von g(x)und f(x)
Wir berechnen den türkis gefärbten Flächeninhalt zwischen den beiden Grafen f(x) und g(x)
Das ist die Formel zur Berechnung der Fläche zwischen den beiden Grafen f(x) und g(x) auf dem
In die Formel setzten wir die Differenz von g(x) und f(x) ein.
Dann bilden wir die Stammfunktionen und rechnen wie gewohnt
Das ist der Flächeninhalt auf dem zwischen den Grafen f(x) und g(x)
Macht das einen Sinn?
Fläche auf
Fläche auf
Fläche auf
Wenn wir nun den Flächeninhat auf dem und dem
zusammenrechnen, kriegen wir das selbe Ergebnis wie bei
. Also ja, es macht Sinn.
Ansatz für das Übungsblatt Bild 2.
1)
2)
Hausaufgaben zum 14.09.2011
Ãœbungsblatt 1 : 1a, 4a, 5b, Beispiel anschauen
Ãœbungsblatt 2: Ansatz fertig rechnen
Buch S. 66: 3b, 5a und b
Protokoll vom 14.9.2011 / Thema: Umgang mit dem ZUM-Wiki und Wiederholung der Polynomdivision
| erstellt am 14./15. 9.2011 | Protokoll von --Tim Roth 20:17, 3. Dez. 2011 (CET) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Polynomdivision
Die Frage nach Problemen bei den Hausaufgaben zum 14.09. ergab, dass Aufgabe 5 b) mithilfe der Polynomdivision zu lösen ist. Zur Verinnerlichung dieser wurde empfohlen:
- Die maßgeblich von Arthur geprägte Wiederholung in der gleichnamigen Rubrik unserer Kursseite.
- Das Dokument zur Wiederholung der Polynomdivision des vergangenen Mathematik Leistungskurses von Jonas Happel.
Hilfe beim Umgang mit dem ZUM-Wiki
Anschließend wurden wir im Informatikraum beim Umgang mit dem ZUM-Wiki und dem Formelgenerator sensibilisiert.
Die wichtigsten Hilfen, die in der Übersicht über Hilfen im Reiter links zu finden sind, sind:
- Der Umgang mit dem Formelgenerator LaTeX
- Das Einbetten von Kurzinfo-Bausteinen
- Bzw. das Erstellen von Tabellen
Der Funktionsplotter MatheGrafix 8
Gerade für Protokollanten (wie mich) wurde erneut und detailliert der Umgang mit dem Funktionsplotter MatheGrafix 8 geschildert. Hierzu einige bebilderte Beispiele:
Formvariablen
Durch die Benutzung einer Formvariable ergibt sich Folgendes:
Hierbei wurde die Normalparabel (x²) auf der y-Achse verschoben. Im Plotter liest sich diese Funktion folgendermaßen:
- f(x,t) = x^2+t
- Dabei ist 't' die Formvariable. Sie nimmt in dieser Abbildung die Werte von -1 bis 1 an.
Weitere Beispiele:
Flächen einzeichnen
.jpg)
In der Leiste "Zubehör" befindet sich das Tool "Flächen". Öffnet man dieses Fenster, so lassen sich insgesamt acht Flächen einzeichnen.
Die dargestellten Graphen sind f(x)=1 und g(x)=sin(x)+1. Die eingezeichnete Fläche liegt zwischen "1." und "2." Graph und bezieht sich auf den Intervall I=[-5;6]. Das Feld "Linien" ist deaktiviert.
Weiteres Beispiel:
;_cos(x).jpg)
Hausaufgaben zum 14.09.
Als nächstes besprachen wir die Hausaufgaben. Hier die Endergebnisse:
- Aufgabe 1 a)
- Aufgabe 4 a)
- Aufgabe 5 b)
Buch S. 66:
- Aufgabe 3 b)
- Aufgabe 5 a)
- Aufgabe 5 b)
Da noch Unklarheiten über Aufgabe 5 b) herrschten, wurde diese gemeinsam an der Tafel besprochen:
Schritt 1: Schnittpunkte ermitteln
Ausklammern ist an dieser Stelle nicht erlaubt, da ein konstanter Wert, in diesem Fall +1, vorhanden ist. Also bedienen wir uns der Polynomdivision, wie eingangs geschildert.
Im Zuge der Polynomdivision raten wir die Nullstelle 2:
Nun wenden wir uns der p-q-Formel zu:
Hausaufgaben zum 19.09.2011
- Ãœbungsblatt 2: 3. Graph
- Buch S. 66:
- Aufgabe 6, 7, 12
- Aufgabe 4 a)
- Aufgabe 5 b) (siehe oben) fertig
Protokoll vom 19.9.2011 / Thema: Die Definition des bestimmten Integrals nach Leibniz
| erstellt am 19.9.2011 | Protokoll von --Schenkel Ob 18:41, 19. Sep. 2011 (CEST) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Hinweise von Herr Schmitt
- Die Arbeitsunterlagen sind in einem Ordner o.ä. einzuordnen. Es soll keine losen Blätter geben. Außerdem soll jeder Schüler und jede Schülerin immer das Material der letzten 4 Wochen dabei haben.
- Nebenrechnungen gehören auch zur Rechnung, sie sollen mit im Heft stehen.
Lösungen der Hausaufgaben vom 14.9.2011
"Maxi´s Aufgabe":
Ãœbungsblatt 2 Nr.3
3.)
Buch S. 66 Nr. 4a/5b (6/7/12)
4a.)
5b.)
6)
7a.)
b.)
c.)
12a.) ;
;
;
b.) ; der Punkt
gehört zu keinem der abgebildeten Graphen.
Polynomdivision-Ãœbung
1.)
2.)
3.)
Ãœbungsblatt 2 Nr.4 (unten rechts)
Wir setzen die Funktionen gleich.
Wir wenden den Satz des Vieta an
Der Flächeninhalt beträgt
Allgemeine Definition des bestimmten Integrals nach Leibniz (1646-1716)
a.) f monoton steigend
Wir bilden die Ober- und Untersumme...
...und ziehen sie voneinander ab.
ist eine Konstante!
b.) f monoton fallend
Vorgehensweise siehe a.)
c.) f beliebig
wähle pro Intervall den maximalen Funktionswert!
Für n gegen Unendlich wird
und
Integral von 0 bis k (Beispielaufgabe mit Formvariable)
Wir rechnen das Integral aus
geraten:
Die Polynomdivison geht auf, wenn die 0-Stelle richtig geraten ist!
Wir wenden den Satz des Vieta an
für muss
sein.
bei ganzrationalen Funktionen 3.Grades (z.B. ) gibt es mindestens eine Lösung!
für
für
der Graph muss die x-Achse schneiden!
Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse
1.)
geraten:
Aufgrund der Potenz ergeben sich folgende Ergebnisse:
.jpg)
2.)
Nullstellen: (mit Hilfe einer biquadratischen Gleichung)
Wir wenden den Satz des Vieta an...
...und lösen die "z" auf.
.jpg)
Ãœbungsblatt 3 Nr. 1 (VHalle) -Ansatz-
("Säule" lässt sich leider tiefgestellt nicht schreiben)
--Schenkel Ob 23:26, 28. Sep. 2011 (CEST)
Hausaufgaben zum 21.9.11
1.)
2.)
3.) S.66 Nr.8 (vergl. Math-Graph!)
4.)
5.) Ãœbungsblatt 3 Nr. 1 (VHalle) fertig / Nr. 3
--Schenkel Ob 19:09, 20. Sep. 2011 (CEST)
Protokoll vom 21.9.2011 / Thema: Beweis des Hauptsatzes der Differenzial-und Integralrechnung
| erstellt am 21.9.2011 | Protokoll von --Silbereisen Ob 16:50, 21. Sep. 2011 (CEST) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Besprechung der Hausaufgaben
A=
- Seite 66 Aufgabe 8
t=16
-
= 17600
Privat
- !!!ACHTUNG: Wenn man nur ein Ergebnis hinschreibt bedeutet dies, dass die Hausaufgaben nicht gemacht wurden.
- Simens Wettbewerb: http://www.siemens-stiftung.org/de/bildung-soziale-mobilitaet/technisch-naturwissenschaftliche-bildung/weiterfuehrende-schulen/schuelerwettbewerb.html
Vorüberlegungen
Stammfunktion:
Hauptsatz
(Wurde an Beispielen bestätigt.)
Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integralfunktion
1. Stetigkeit
Wann ist eine Funktion stetig?
Eine Funktion heißt stetig an der Stelle .
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2. Differenzierbarkeit
- Differenzenquotient:
(Sekantensteigung)
Differenzialquotient
(Tagentensteigung)
Es gilt: , dabei strebt h -> 0
(Siehe Unterlagen aus dem letzten Schuljahr.)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3. Integralfunktion
x = Variable = Grenze
a (nach dem I) = Index
Beispiel:
Der eigentliche Beweis
Beweis: Hauptsatz
Voraussetzung: f ist stetig!
Behauptung:
(existiert) eine Funktion F mit zwei Eigenschaften.
1. F ist differenzierbar.
2. (Ursprungsfunktion)
Beweis:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Differenzenquotient der Funktionswerte
1.
2.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
a) f ist monoton wachsend
Max. = (f = stetig)
Min. =
Differenzenenquozient:
Differenzialquozient:
Was passiert, wenn h gegen 0 strebt?
;
(Weil f stetig ist!)
Folgerung:
1. Der Grenzwert , d.h.
ist differenzierbar.
2.
Die Integralfunktion wurde gefunden. Die Ableitung entspricht der ursprünglichen Funktion.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) f ist monoton fallend
Max. =
Min. = (f = stetig)
Differenzenenquotient:
Differenzialquotient:
(Nicht vergessen: Wenn h
wird zu
)
Folgerung:
1. Der Grenzwert , d.h.
ist differenzierbar.
2.
Die Integralfunktion wurde gefunden. Die Ableitung entspricht der ursprünglichen Funktion.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
c) f hat keine Monotomie
Max. = (An der Stelle y hat die Funktion ein Maximum.)
Min. = (f = stetig)(An der Stelle z hat die Funktion ein Minimum.)
Differenzenenquozient:
(y und z rutschen immer weiter zusammen.)
Differenzialquozient:
q.e.d.
Wir haben die Stammfunktion gefunden.
Hausaufgaben für Montag, den 26.09.2011
-
(Mathegraf!) Der Flächeninhalt (A) zwischen dem Grafen und der x-Achse.
- Seite 66 Aufgabe 9 und 11.
- Ãœbungsblatt Nummer 3 Aufgabe 2 und 3 (Reindenken).
- Übungsblatt Nummer 4 Kästchen zählen und den Flächeninhalt ausrechnen. Außerdem den Flächeninhalt mithilfe des Integrals ausrechnen.
Protokoll vom 26.9.2011 / Thema: Hausaufgabenbesprechung und Beweis des Hauptsatzes
| erstellt am 26.9.2011 | Protokoll von --Tortosa Valiente Ob 21:18, 26. Sep. 2011 (CEST) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Lösungen der Hausaufgaben vom 21.09.2011
Buch Seite 66, Nummer 9)
Ãœbungsblatt 4
Kästchen
Ãœbungsblatt 3 Nummer 1)
Rundungstipp:
Bei Runden mit grösserem Mltiplikator bekommen wir grössere Fehlerquote
Fläche zwischen der Parabel und der x-Achse
Volumen vom Dach, waagerechte Säule
Volumen vom Quader
Volumen von der Bahnhofshalle
Welche Zeit wird für ein kompletten Luftaustausch benötigt?
und
min
Besprechung der Hausaufgaben
Wir besprachen die Aufgabe 11) im Buch, Seite 66, und die Aufgabe 3) vom Ãœbungsblatt 3
Aufgabe 11)
Tangentengleichung:
Beweis:
Aufgabe 3)
1) Schnittstellen
=x
Vorschlag:--CJSchmitt 23:59, 1. Okt. 2011 (CEST)
Vorschlag: --CJSchmitt 23:55, 1. Okt. 2011 (CEST)
Alternative
2) Flächeberechnung
Zum Hauptsatz
Ia diffbar =>
ist Stammfunktion von f =>
F'(x)=Ia´(x) = f(x) => F ist Stammfunktion von f
Ãœbungsblatt 5
1a)
Schnittstelle
Fläche
1b)
Schnittstellen
Sind die selben, wie in der Aufgabe davor
Fläche
Hausaufgaben vom 26.09.2011
Ãœbungsblatt 5, Nummer 2) und 3)
Buch Seite 66, Nummer 10
Anmerkung von C. Schmitt
Hallo Carlos, beachten Sie diese Nachricht an Arthur bitte an passender Stelle:
Beweis Hauptsatz
Hallo Arthur, bei der Nachbereitung unseres heutigen Unterrichts ( hier: die Stunde nach der Mittagspause) ist mir aufgefallen:
Es ging um die Integralfunktion:
Meine Aussage Ihnen gegenüber, dass Sie das doch einst bewiesen hätten, war unpassend, da Sie damals für den Beweis den (noch unbewiesenen) Hauptsatz verwendeten.
Also können wir beim Beweis des Hauptsatzes nicht damit argumentieren...
Demzufolge müssen wir aus dem Leibniz-Integral heraus begründen.
--CJSchmitt 19:44, 26. Sep. 2011 (CEST)--
Protokoll vom 28.9.2011 / Thema: Aufgabenbesprechung und Infos zum Leistungsnachweis
| erstellt am 28.9.2011 | Protokoll von --OB007 18:14, 29. Sep. 2011 (CEST) |
| Lehrer: C.-J. Schmitt (Schuljahr 2011 / 12) |
Besprechung der Hausaufgaben vom 26.9.2011
- Ãœbungsblatt 5, Aufgabe 2:
- Ãœbungsblatt 5, Aufgabe 3:
;
Fallunterscheidung:
- Buch Seite 66, Aufgabe 10:
(ausführliche Beschreibung unten)
- Ãœbungsblatt 3, Aufgabe 2:
(ausführliche Beschreibung unten)
Informationen/Tipps für den Leistungsnachweis am 05.10.2011
- Die Musterklausur und die Übungsblätter Ü5 und Ü3 sind sehr gute Übungsaufgaben für die Klausur.
- Man sollte sich nochmals die Idee des Hauptsatzbeweises
durch den Kopf gehen lassen.
- Nochmals die Tantgentengleichung anschauen.
- !Taschenrechner und Parabelschablone nicht vergessen!
- Die Aufgaben in Ruhe ansehen bevor man loslegt.
- Nicht zu viel Druck machen.
Bearbeitung der Musterklausur
Wir haben am Mittwoch einige der Aufgaben von der Musterklausur besprochen.
Aufgabe 1)
Zuerst die beiden Funktione gleichsetzen und die Nullstellen berechnen.
Daraus erhalten wir:
Jetzt noch integrieren:
Aufgabe 2a)
Bei dieser Aufgabe gilt es, die Gemeinsamkeiten der Funktionsschar
ausfindig zu machen.
Zunächst betrachte man sich eine Skizze der Funktionen:
Man bemerkt, dass alle Funktionen durch den Nullpunkt gehen.
Dies kann man auch belegen:
Wir erkennen, dass bei jeder Funktion der Funktionsschar gleich
ist und man erkennt auch, dass
bei jeder Funktion
ist.
Des Weiteren liegt die Vermutung nahe, dass jede Funktion der Funktionsschar, sowohl bei x gegen positiv unendlich, als auch bei x gegen negativ unendlich, gegen negativ unendlich läuft.
Dies kann man überprüfen, indem man x gegem streben lässt.
Man sagt: "Das Verhalten der Potenz mit größter Hochzahl, also -x2 entscheidet. --CJSchmitt 07:06, 4. Okt. 2011 (CEST)
Des Weiteren kann man die Graphen auf Hoch- und Tiefpunkte prüfen.
<----- Hochpunkt
Jeder Graph hat einen Hochpunkt an der Stelle .
Aufgabe 2b)
Bei dieser Aufgabe gilt es, die Fläche zwischen und der x-Achse zwischen
und
zu berechnen.
Zunächst betrachte man sich die Funktion und die Vorgaben:
Wir erkennen, dass k kleiner als 3 ist, somit muss es zwei Teilflächen zwischen 0 und 3 geben, da die Graphen der Funktionsschar die x-Achse in jedem Fall vor der Stelle x=3 schneiden,da k (Schnittpunkt mit der x-Achse) kleiner 3 ist.
Zur Illustration ( Beispiel ):
Daher müssen wir von 0 bis k und von k bis 3 integrieren (Zur Erinnerung: k und 0 waren unsere Nullstellen (Siehe 2a.)).
Wir wissen, dass die Fläche von 0 bis k positiv wird, daher können wir in diesem Fall die Betragsstriche weglassen.
Unser erster Flächeninhalt beträgt
Nun integrieren wir von k bis 3.
Normalerweise setzen wir dies in Betragsstriche, jedoch wissen wir das ein negativer Wert herauskommt , daher können wir , um den Betrag herauszufinden, direkt ein Minus vor das Integral setzen, welches wir am Ende der Rechnung auflösen werden.
Nun haben wir unsere beiden Flächeninhalte und können nun k so bestimmen, dass der Flächeninhalt minimal wird.
Um das Minimum einer Funktion an einer Stelle zu bestimmen, muss man die Funktion ableiten und gleich Null setzen.
A: Da 0<k sein soll ist unsere Lösung .
Also A: An der Stelle 2,12 ist ein Minimum. --CJSchmitt 07:19, 4. Okt. 2011 (CEST)
--Using Ob 15:59, 2. Okt. 2011 (CEST)
Aufgabe 3) (Der Beweis des Satzes des Vieta)
Den Satz des Vieta haben wir mit Hilfe der p-q Formel bewiesen.
Erstmal der Beweis für p:
Laut dem Satz des Vieta muss plus
ergeben.
Und in der Tat, rechnen wir , dann kürzen sich die
weg und wir haben am Ende
übrig.
Jetzt der Beweis für q der lautet:
Wir rechnen also
Dies entspricht der 3. Binomischen Formel ( )
q.e.d
Aufgabe 5)
- a)
Stammfunktion:
- b)
Stammfunktion:
- c)
Stammfunktion:
- d)
Stammfunktion:
Aufgabenbesprechung
Wir haben noch die Aufgaben Seite 66, Nummer 10 und auf dem Übungsblatt 3 Aufgabe 2 ausführlich besprochen.
Ãœbungsblatt 3, Aufgabe 2
Dieser Graf ist gegeben.
Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Steckbriefaufgabe.
Die Funktion muss so aussehen: , da es nur bei dieser Funktion möglich ist, dass der Graf 3 mal eine waagrechte Tangente hat, wie hier der Fall ist. C haben wir schon vorgegeben, es handelt sich um -6.
Man sieht am Grafen, dass er bei eine Nullstelle hat.
Es gillt also:
Man setzt nun also 10 in die Funktion ein:
Da der Graf an der Stelle keine Steigung hat folgt:
Also bilden wir nun die Ableitung von unserer Funktion:
und setzten ein:
um die Gleichung zu vereinfachen teilen wir noch durch 20
Jetzt können wir durch das Einsetztungsverfahren a und b ausrechnen.
Zuerst lösen wir die Funktion nach b auf:
Dies setzten wir nun in die erste Gleichung von vorhin ein:
Nun setzen wir in eine der beiden Funktione ein, lösen nach b auf und erhalten
Dadurch haben wir unsere Funktion gefunden:
Jetzt integrieren wir:
(Alternative: Da es unnötig kompliziert ist, von -10 bis +10 zu integrieren, kann man auch einfach von 0 bis 10 integrieren und das ganze dann verdoppeln, also: )
Nun darf man nicht vergessen den Flächeninhalt des Brunnens noch abzuziehen. Zur Erinnerung: Der Flächeninhalt eines Kreises ist: . Da der Radius 1 ist ziehen wir von 64
ab.
Also ist das Ergebnis: 60,86
Seite 66, Aufgabe 10
Zuerst integrieren wir:
beachte:
Fallunterscheidung
1.
Achtung: a ist jetzt eine Variable und nicht wie sonst eine Konstante!! Um nicht verwirrt zu werden kann man sich a als x
vorstellen.
Jetzt haben wir zwar den Flächeninhalt ausgerechnet, aber wir müssen noch a so bestimmen, dass der Flächeninhalt minimal wird. Dies bedeutet wir brauchen eine Steigung von 0. Also leiten wir ab.
Diese setzen wir nun gleich 0:
entfällt)
Nun müssen wir allerdings noch herausfinden, ob bei der Flächeninhalt wirklich minimal ist, sprich wir müssen schauen, ob a=1 ein Minimum ist.
Dafür brauchen wir die zweite Ableitung
da dies größer als 0 ist, handelt es sich an der Stelle
um ein Minimum.
Da dies ein Minimum ist, wissen wir nun, dass sein muss, damit der Flächeninhalt minimal wird.
Abschließende Worte
- Es ist wichtig nächsten Mittwoch unbedingt zur Klausur zu kommen, außer man ist wirklich Krank.
- Der wichtigste Lernstoff sind die eigenen Hausaufgaben, also am besten die nochmals durchgehen.
- Bei Fragen zu den Musteraufgaben können Fragen an Herr Schmitt gesendet werden, aber vorher versuchen die Aufgaben selbst zu lösen
- Viel Glück an alle für die Klausur
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