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Kurzinfo

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Europa-Schule Obermayr

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Inhaltsverzeichnis

1 Protokoll vom 28.3.2011
2 Protokoll vom 30.3.2011
3 Protokoll vom 11. April 2011
- 3.1 Das Euler-Verfahren zum numerischen Lösen einer Differentialgleichung
4 Protokoll vom 13.04.2011
5 Protokoll vom 03.05.2011 (Besprechung der letzten Klausur)

Protokoll vom 28.3.2011

Thema: Lösen von Differenzialgleichungen
erstellt am 28.3.2011	Protokoll von Jonas Happel
Lehrer: C.-J Schmitt

Tangenten

f(x)=mx+b

am Beispiel von f(x)= ax² an der Stelle x₀= -1

Please install Java to use this page.

Eigenschaften

t(x₀)=f(x₀) und t'(x₀)=f'(x₀)

t(x)=f'(x₀)x+b

Erarbeitung einer allgemeinen Gleichung

t(x₀)=f'(x₀)x₀+b=f(x₀)
b=f(x₀)-f'(x₀)x₀

t(x)=f'(x₀)x+f(x₀)-f'(x₀)x₀
=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)

Tangentengleichung

t(x)=f'(x₀)(x-x₀) + f(x₀)

Aufgaben

S.296 Nr.9a
t(x)=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)=0
NS: x₀-1

Nullstelle:
x=x₀- $LaTeX: %5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bf%27%28x%29%7D$ =x₀-1

$LaTeX: %5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bf%27%28x%29%7D%3D1$

$LaTeX: %5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bf%27%28x%29%7D%20%5C%2Cdx%20%3D%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%201%5C%2Cdx%20%0A$

$LaTeX: %5CRightarrow%20%5Cln%20%28f%28x%29%29%20%3Dx%2Bc$

$LaTeX: %5CRightarrow%20f%28x%29%3De%5E%7Bx%2Bc%7D$

$LaTeX: %5CRightarrow%20f%28x%29%3Dae%5E%7Bx%7D$

Probe

$LaTeX: a%3D1%5Crightarrow%20%20f%28x%29%3De%5Ex%0A$
x₀=0
t(x)=x+1
NS: -1

Nr.9b
t(0)=f'(x₀)(-x₀)+f(x₀)=0,5 f(x₀)
=> -f'(x₀)x₀=-0,5 f(x₀)
=> $LaTeX: %5Cfrac%7Bf%27%28x%29%7D%7Bf%28x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2x%7D$
=> $LaTeX: %5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20%5Cfrac%7Bf%27%28x%29%7D%7Bf%28x%29%7D%5C%2Cdx%20%20%3D%20%20%20%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2x%7D%20%5C%2Cdx$
=> $LaTeX: %5Cln%20%28f%28x%29%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%20%28x%29%2BC$
=> f(x)=e^0,5ln(x)+C
=> = (e^lnx)^0,5e^c
=> = ax^0,5
=> = $LaTeX: a%5Csqrt%7Bx%7D%20%3Df%28x%29$

Protokoll vom 30.3.2011

Thema: Tangentengleichung & Normalengleichung, Separation der Variable
erstellt am 30.3.2011	Protokoll von Katharina Hahn
Lehrer: C.-J Schmitt

1. Tangentengleichung

Merke:

Wichtige Erkenntnis für diese Unterrichtsphase:

x₀ ist eine einzige Stelle, und zwar die Stelle an der ich die Tangente zeichne!

t(x)= f'(x₀) * (x-x₀) +f(x₀)

2. Normalengleichung

Merke:

Wichtige Erkenntnis für diese Unterrichtsphase:

$LaTeX: n%28x%29%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bf%27%28x_0%29%7D%20%2A%5Cleft%28x-x_0%20%5Cright%29%20%2Bf%28x_0%29$

3.Übung S.296.Nr.10a

$LaTeX: n%280%29%3D%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Bf%27%28x_0%29%7D%20%2B%20f%28x_0%29%20%3D0$

$LaTeX: %5Cfrac%7Bx%7D%7Bf%27%28x%29%7D%3D-f%28x%29%20$

$LaTeX: f%27%28x%29%2Af%28x%29%3D-x$

$LaTeX: h%28z%29%3Dz$

$LaTeX: H%28z%29%3D%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7B2%7D$

$LaTeX: %5Cfrac%7B%5Cleft%28%20f%28x%29%20%5Cright%29%5E2%20%7D%7B2%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%20%2BC$

$LaTeX: f%28x%29%20%3D%5Csqrt%7B-x%5E2%2Bk%7D$

$LaTeX: f%28x%29%20%3D%5Csqrt%7Bk-x%5E2%7D$ Halbkreis

Probe:

$LaTeX: k%3D1$

$LaTeX: x_0%3D0%2C5$

x₀ kann nicht größer sein als der Radius

$LaTeX: f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B-2x%7D%7B2%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D$

$LaTeX: %3D%20-%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D$

$LaTeX: f%27%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%29%3D-%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D%20%7D$

Jetzt Normale für die Halbkreisfunktion

$LaTeX: n%28x%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bf%27%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%20%7D%20%2A%5Cleft%28x-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5Cright%29%20%2Bf%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%29$

$LaTeX: %3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D%20%7D%7B1%7D%20%5Cleft%28%20x-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%29%20%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D$

$LaTeX: %3D2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7Dx-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D$

$LaTeX: 2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D%20x$ (ist tatsächlich Ursprungsgerade!)

Normalenfunktion für Halbkreis an der Stelle x₀ = 0,5

$LaTeX: n%280%29%3D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D%20%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D%20%3D0$ q.e.d.

Normale geht durch den Ursprung!

4. S.296.Nr.7d

$LaTeX: f%20%27%28x%29%20%2Ax%5E2%20%2Bf%28x%29%20%2A%202x%20%3Dx$

$LaTeX: F%28x%29%3Df%28x%29%20%2Ax%5E2$

$LaTeX: f%28x%29%20%2Ax%5E2%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2BC%20%3Df%28x%29%20$

5. S.297.Nr.18

$LaTeX: %5Cfrac%7Bf%27%28x%29%20%7D%7Bf%28x%29%20%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%2F%20%5Cint$

$LaTeX: %5Cln%20%28f%28x%29%20%29%20%3D%5Cln%20%28x%29%2BC$

$LaTeX: f%28x%29%3De%5E%5Cleft%28%20ln%20x%2BC%5Cright%29$

$LaTeX: f%28x%29%20%3Dx%20%2A%20e%5EC$

$LaTeX: f%28x%29%20%3D%20x%2Ak$

Für das Zeichnen des Richtungsfeldes

$LaTeX: f%27%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7Bf%28x%29%20%7D%7Bx%7D$

$LaTeX: f%28x%29%3D1$

$LaTeX: f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$

$LaTeX: f%28x%29%20%3D2$

$LaTeX: f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%20$

Protokoll vom 11. April 2011

Thema: das Euler-Verfahren
erstellt am 6. Mai 2011	Protokoll von Catalina Vetter
Lehrer: C.-J Schmitt

Das Euler-Verfahren zum numerischen Lösen einer Differentialgleichung

Man setzt Euler an, wo man mit Separation nicht weiter kommt.

Man braucht dazu:
Differentialgleichung und Punkt

$LaTeX: t%28x_0%2Bh%29%3Df%27%28x_0%29%2Ah%2Bf%28x_0%29$

$LaTeX: f%27%28x_0%29%3D%5Cfrac%7Bt%28x_0%2Bh%29-f%28x_0%29%7D%7Bh%7D$

$LaTeX: t%28x_0%2Bh%29%5Capprox%20f%28x_0%2Bh%29$

$LaTeX: P%20%28x_0%7Cf%28x_0%29%29$

$LaTeX: %20f%28x_0%2Bh%29%3Df%27%28x_0%29%2Ah%2Bf%28x_0%29%20$

$LaTeX: %20x_k%3Dx_0%20$

$LaTeX: x_%7Bk%2B1%7D%3Dx_0%2Bh$

Iterationsformel:

$LaTeX: f%28x_%7Bk%2B1%7D%29%3Df%27%28x_k%29h%2Bf%28x_k%29$

$LaTeX: x_0%5Crightarrow%20x_1%20%5Crightarrow%20x_2%20%5Crightarrow%20x_3%20%5Crightarrow%20...$

$LaTeX: x_k%5Crightarrow%20x_%7Bk%2B1%7D%20%5CRightarrow%20f%28x_k%29%20%5Crightarrow%20f%28x_%7Bk%2B1%7D%29$

Alternative Herleitung

$LaTeX: t%28x%29%3Df%27%28x_0%29%28x-x_0%29%2Bf%28x_0%29$

$LaTeX: t%28x_%7Bk%2B1%7D%29%3Df%27%28x_k%29%28x_%7Bk%2B1%7D-x_k%29%2Bf%28x_k%29$

$LaTeX: t%28x_%7Bk%2B1%7D%29%3Df%27%28x_k%29h%2Bf%28x_k%29$

$LaTeX: t%28x_%7Bk%2B1%7D%29%5Capprox%20f%28x_%7Bk%2B1%7D%29$

$LaTeX: %5Crightarrow%20f%28x_%7Bk%2B1%7D%29%3Df%27%28x_k%29h%2Bf%28x_k%29$

Beispiel

1. mit h=1

$LaTeX: f%27%28x%29%3Df%28x%29$

$LaTeX: f%280%29%3D1$

$LaTeX: P%280%7C1%29$

$LaTeX: h%3D1$

Schritt	x_k	$LaTeX: f%28x_k%29%3D2%5Ex$	f'(x_k)=f(x_k)	f(x_k+1)= f'(x_k)h+f(x_k)
0	0	1	1	2
1	1	2= $LaTeX: 2%5E1$	2	4
2	2	4= $LaTeX: 2%5E2$	4	8
3	3	8= $LaTeX: 2%5E3$	8	16
4	4	16= $LaTeX: 2%5E4$	16	32

2. mit h=0,1

Schritt	x_k	$LaTeX: f%28x_k%29%3De%5Ex$	f'(x_k)=f(x_k)	f(x_k+1)= f'(x_k)h+f(x_k)
0	0	1	1	1,1
1	0,1	1,1 $LaTeX: %5Capprox$ 1,11	1,1	1,21
2	0,2	1,21 $LaTeX: %5Capprox$ 1,22	1,21	1,33
3	0,3	1,33 $LaTeX: %5Capprox$ 1,35	1,33	1,46
4	0,4	1,46 $LaTeX: %5Capprox$ 1,49	1,46	1,61
5	0,5	1,61 $LaTeX: %5Capprox$ 1,65	1,61	1,77
6	0,6	1,77 $LaTeX: %5Capprox$ 1,82	1,77	1,95

Die Werte sind aufgrund der Näherung zwar etwas zu klein, jedoch sind sie den echten Werten schon viel näher.

Merke

Je kleiner h ist, umso genauer ist der Wert.

Aufgabe Buch Seite 299 # 4a

f'(x)=1-f(x)

f(0)=0

h=0,1

Schritt	x_k	f(x_k)	f'(x_k)	f(x_k+1) = f'(x_k) h + f(x_k)
0	0	0	1	0,1
1	0,1	0,1	0,9	0,19
2	0,2	0,19	0,81	0,27
3	0,3	0,27	0,73	0,34
4	0,4	0,34	0,66	0,41
5	0,5	0,41	0,59	0,47
6	0,6	0,47	0,53	0,52
7	0,7	0,52	0,48	0,57
8	0,8	0,57	0,43	0,61
9	0,9	0,61	0,39	0,65
10	1	0,65	0,35	0,69

Alternative Lösung über Separation

$LaTeX: %20f%27%28x%29%3D1-f%28x%29$

$LaTeX: %5Cfrac%7Bf%27%28x%29%7D%7Bf%28x%29-1%7D%3D-1%20$

$LaTeX: %5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%20%5Cfrac%7Bf%27%28x%29%7D%7Bf%28x%29-1%7D%20%5C%2Cdx%20%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%20-1%20%5C%2Cdx$

$LaTeX: %5Cln%20%28f%28x%29-1%20%29%20%3D-x%2BC$

$LaTeX: f%28x%29-1%3De%5E%7B-x%2BC%7D$

$LaTeX: f%28x%29-1%3De%5E%7B-x%7D%2Ae%5E%7BC%7D$

$LaTeX: f%28x%29-1%3Dae%5E%7B-x%7D$

$LaTeX: f%28x%29%3Dae%5E%7B-x%7D%2B1$

Protokoll vom 13.04.2011

Thema: Näherungsformel und Separation bei begrenztem Wachstum, Partialbruchzerlegung
erstellt am 13.04.2011	Protokoll von Laura Neis
Lehrer: C.-J Schmitt

Näherungsverfahren und Separation im Vergleich (bei begrenztem Wachstum)

Aufgabe S.305 17a)

Aus der Aufgabe entwickelt:

$LaTeX: f%27%28t%29%3D%200%2C1%20%28400-f%28t%29%29$

Mit Hilfe der Näherungsformel (Euler-Vefahren) ergibt sich:

t_k	f(t_k)	f'(t_k)	f'(t_k* h + f(t_k)
0	20	38	58
1	58	34,2	92,2
2	92,2	30,78	122,98
3	122,98	27,70	150,68
4	150,68	24,93	175,61
5	175,61	22,44	198,05
6	198,05	20,12	218,17
7	218,17	18,18	236,35
8	236,35	16,37	252,72
9	252,72	14,73	267,45
10	267,45	13,26	280,71

Das Verfahren mit Separation bringt Folgendes:

$LaTeX: %5Cfrac%7Bf%27%28t%29%7D%7B400-f%28t%29%7D%20%3D%200%2C1$

$LaTeX: %5Cfrac%7Bf%27%28t%29%7D%7Bf%28t%29-400%7D%20%3D%20-%200%2C1$

$LaTeX: %5Cln%20%7C%28f%28t%29-400%29%7C%20%3D%20-0%2C1%20t%20%2B%20C$

$LaTeX: %5Cln%20%28400-f%28t%29%29%20%3D%20-0%2C1%20t%20%2B%20C$

$LaTeX: 400-f%28t%29%20%3D%20%20e%5E%7B-0%2C1t%2BC%7D%20$

$LaTeX: f%28t%29%20%3D%20-%20a%20%2A%20e%5E%7B-0%2C1t%7D%20%20%2B%20400$

Jetzt noch das passende a ausrechnen! (entnehmen wir der Rand- bzw. Startbedingung)

f(0) = 20

- a + 400 = 20

a = 380

Als endgültige Lösung der Differenzialgleichung ergibt sich also:

$LaTeX: f%28t%29%20%3D%20-380%2Ae%5E%7B-0%2C1t%7D%20%2B%20400$

Zur Überprüfung/ Vergleich zur Näherungsformel:

$LaTeX: f%285%29%20%3D%20-380%2A%20e%5E%7B-0%2C5%7D%20%2B%20400%20%3D%20169%2C82$

f(10) = 260,21

Die Übereinstimmung mit der Näherungsformel ist recht gut, zumal wir mit h=1 eine recht große Schrittweite haben.

Differenzialgleichungen zu exponentiellem und begrenztem Wachstum; logistisches Wachstum

$LaTeX: f%27%28t%29%3D%20a%2A%20f%28t%29%2Ab%20%28G-f%28t%29%29$

Der Ansatz wird komplizierter und man benötigt zur Lösung der entsprechenden Differenzilgleichung das Verfahren der Patialbruchzerlgung.

Partialbruchzerlegung

Beispiele einer Partialbruchzerlegung, da logarithmische Substitution hier nicht mehr funktioniert :

1. Bsp.

$LaTeX: %5Cfrac%7B6x%2B5%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7B%28x-2%29%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BB%7D%7B%28x%2B3%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7BA%2A%28x%2B3%29%2B%20B%2A%28x-2%29%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7BAx%2B%20Bx%20%2B%203A%20-%202B%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7Bx%28A%2BB%29%20%2B%203A%20-%202B%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

Jetzt setzen wir A und B so, dass es wieder zur ursprünglichen Funktion passt, mit Hilfe eines LGS :

A + B = 6

3A - 2B = 5

$LaTeX: %5CLeftrightarrow$

B = 2,6

A = 3,4

$LaTeX: %5Cint%5Cfrac%7B6x%20%2B%205%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D%20dx%20%3D%20%5Cint%5Cfrac%7B3%2C4%7D%7B%28x-2%7D%20dx%20%2B%5Cint%5Cfrac%7B2%2C6%7D%7B%28x%2B3%29%7D%20dx$

$LaTeX: F%28x%29%3D%20%5B%203%2C4%2Aln%28x-2%29%2B%202%2C6%2A%20ln%28x%2B3%29%5D$

$LaTeX: F%27%28x%29%3D%203%2C4%2A%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-2%7D%20%2B%202%2C6%2A%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B3%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7B3%2C4%2A%28x%2B3%29%2B2%2C6%2A%28x-2%29%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7B6x%2B5%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

2. Bsp.

$LaTeX: %5Cfrac%7B3x-3%7D%7Bx%5E2-x-2%7D$

Mit Hilfe von Vieta die Nullstellen berechnet um unten umzuformen:

$LaTeX: %5Cfrac%7B3x-3%7D%7B%28x-2%29%28x%2B1%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7B%28x-2%29%7D%20-%20%5Cfrac%7BB%7D%7B%28x%2B1%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7BA%2A%28x%2B1%29-%20B%2A%28x-2%29%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7BAx-%20Bx%20%2B%20A%20%2B%202B%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7Bx%28A%2BB%29%20%2B%20A%20%2B%202B%7D%7B%28x-2%29%28x%2B3%29%7D$

Jetzt setzen wir A und B so, dass es wieder zur ursprünglichen Funktion passt, mit Hilfe eines LGS :

A - B = 3

A + 2B = -3

$LaTeX: %5CLeftrightarrow$

A = 1

B = -2

$LaTeX: %5Cint%5Cfrac%7B3x-3%7D%7B%28x-2%29%28x%2B1%29%7D%20dx%20%3D%20%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B%28x-2%7D%20dx%20%2B%5Cint%5Cfrac%7B2%7D%7B%28x%2B1%29%7D%20dx$

$LaTeX: F%28x%29%3D%20%5B%20ln%28x-2%29%2B%202%2A%20ln%28x%2B1%29%5D$

$LaTeX: F%27%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-2%7D%20%2B%202%2A%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B1%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7B%28x%2B1%29%2B2%2A%28x-2%29%7D%7B%28x-2%29%28x%2B1%29%7D$

$LaTeX: %3D%20%5Cfrac%7B3x-3%7D%7B%28x-2%29%28x%2B1%29%7D$

Protokoll vom 03.05.2011 (Besprechung der letzten Klausur)

Thema: Musterlösung der Arbeit
erstellt am 03.05.2011	Protokoll von Katharina Hahn
Lehrer: C.-J Schmitt

Aufgabe 1

$LaTeX: 0%2C85%5Et%3D0%2C5$

$LaTeX: t%3D%20%5Cfrac%7Blg%20%280%2C5%29%7D%7Blg%20%280%2C85%29%7D$

$LaTeX: %3D%204%2C27a$

Aufgabe 2

$LaTeX: f%27%28x%29%20%3D-%5Cfrac%7Bf%28x%29%20%7D%7B8%7D$

$LaTeX: f%28x%29%20%3Dc%2Ae%5E%5Cleft%28%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7Dx%20%5Cright%29$

$LaTeX: f%28-8%29%20%3D2e$

$LaTeX: f%28x%29%20%3D2e%5E%5Cleft%28-%200%2C125x%5Cright%29$

Aufgabe 3

$LaTeX: f%28x%29%20%3D4%2B2e%5E%5Cleft%28%20-3x%5Cright%29$

$LaTeX: f%27%28x%29%3D3%5Cleft%28%204-f%28x%29%20%20%5Cright%29$

$LaTeX: LS%3A%20-6e%5E%5Cleft%28-3x%20%5Cright%29$

$LaTeX: RS%3A%2012-12-6e%5E%5Cleft%28-3x%20%5Cright%29$

Aufgabe 4

$LaTeX: f%27%28x%29%2Af%28x%29%20%20%3D2e%5E%5Cleft%28%202x%5Cright%29$

$LaTeX: g%28x%29%3Df%28x%29$

$LaTeX: g%27%28x%29%3Df%27%28x%29$

$LaTeX: h%28g%28x%29%29%3Dh%28f%28x%29%20%29%3Df%28x%29$

$LaTeX: h%28z%29%3Dz$

$LaTeX: %5Cfrac%7B%5Cleft%28%20f%28x%29%5Cright%29%5E2%20%7D%7B2%7D%3D%202%2A%5Cfrac%7Be%5E%5Cleft%28%202x%5Cright%29%20%7D%7B2%7D%3De%5E%5Cleft%28%202x%20%5Cright%29%2BC$