Trigonometrische Funktionen

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Inhaltsverzeichnis

1 Lernpfade
2 Ableitung und Stammfunktion
3 Eigenschaften der Funktionen
4 Einsatz einer Tabellenkalkulation
5 Funktionsplotter-Einsatz
6 Siehe auch

Lernpfade

Ableitung und Stammfunktion

Ableitung und Stammfunktion von Trigonometrischen Funktionen
$LaTeX: %5Coperatorname%7B%7D$	sin(x)	cos(x)	tan(x)	arc sin(x)	arc cos(x)	arc tan(x)
F(x)	$LaTeX: %5Coperatorname%7B-cos%28x%29%7D$	$LaTeX: %5Coperatorname%7Bsin%28x%29%7D$	$LaTeX: %5Coperatorname%7B-%5Cln%7C%5Ccos%20x%7C%7D$	$LaTeX: %5Coperatorname%7Bx%20%5Carcsin%20x%2B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D$	$LaTeX: %5Coperatorname%7Bx%20%5Carccos%20x-%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D$	$LaTeX: %5Coperatorname%7Bx%20%5Carctan%20x-%5Ctfrac%2012%5Cln%5Cleft%281%2Bx%5E2%5Cright%29%7D$
f '(x)	$LaTeX: %5Coperatorname%7Bcos%28x%29%7D$	$LaTeX: %5Coperatorname%7B-sin%28x%29%7D$	$LaTeX: %5Coperatorname%7B1%2Btan%5E2%28x%29%7D$	$LaTeX: %5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D$	$LaTeX: %5Cfrac%7B-1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D$	$LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%2B1%7D%7D$

Eigenschaften der Funktionen

Funktionsgraphen

Eigenschaften der Sinusfunktion

Funktion: $LaTeX: %5Coperatorname%7Bf%28x%29%3D%5Csin%28x%29%7D$

Definitionsbereich: $LaTeX: x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$

Wertebereich: $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5B-1%3B1%5D%7D$

Nullstellen: $LaTeX: f%280%29%3Dk%5Ccdot%20180%5E%5Ccirc$; bzw. $LaTeX: %5Coperatorname%7Bf%280%29%3Dk%5Ccdot%20%5Cpi%7D$; wobei $LaTeX: k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$

Hochpunkte: bei $LaTeX: x%5Cin%5B0%3B2%5Cpi%5D$ ; $LaTeX: x%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D$; bzw. $LaTeX: x%3D90%5E%5Ccirc$

Tiefpunkte: bei $LaTeX: x%5Cin%5B0%3B2%5Cpi%5D$ ; $LaTeX: x%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cpi$; bzw. $LaTeX: x%3D270%5E%5Ccirc$

Periode: $LaTeX: 360%5E%5Ccirc$ bzw. $LaTeX: %5Coperatorname%7B2%5Cpi%7D$

Symmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Csin%28-x%29%3D-%5Csin%28x%29%7D$

Eigenschaften der Cosinusfunktion

Funktion: $LaTeX: %5Coperatorname%7Bf%28x%29%3D%5Ccos%28x%29%7D$

Definitionsbereich: $LaTeX: x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$

Wertebereich: $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5B-1%3B1%5D%7D$

Nullstellen: $LaTeX: f%280%29%3D90%5E%5Ccirc%2Bk%5Ccdot%20180%5E%5Ccirc$; bzw. $LaTeX: f%280%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2Bk%5Ccdot%20%5Cpi$; wobei $LaTeX: k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$

Hochpunkte: bei $LaTeX: x%5Cin%5B0%3B2%5Cpi%5D$ ; $LaTeX: %5Coperatorname%7Bx%3D0%7D$ ; $LaTeX: %5Coperatorname%7Bx%3D2%5Cpi%7D$; bzw. $LaTeX: x%3D0%5E%5Ccirc$ ; $LaTeX: x%3D360%5E%5Ccirc$

Tiefpunkte: bei $LaTeX: x%5Cin%5B0%3B2%5Cpi%5D$ ; $LaTeX: %5Coperatorname%7Bx%3D%5Cpi%7D$; bzw. $LaTeX: x%3D180%5E%5Ccirc$

Periode: $LaTeX: 360%5E%5Ccirc$ bzw. $LaTeX: %5Coperatorname%7B2%5Cpi%7D$

Symmetrie: achsensymmetrisch zur y-Achse $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Ccos%28-x%29%3D%5Ccos%28x%29%7D$

Eigenschaften der Tangensfunktion

Funktion: $LaTeX: %5Coperatorname%7Bf%28x%29%3D%5Ctan%28x%29%7D$

Definitionsbereich: $LaTeX: x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5Csetminus%20%5Cleft%20%5C%7B%282k%2B1%29%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5C%7D%20%20$

Wertebereich: $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D$

Nullstellen: $LaTeX: f%280%29%3Dk%5Ccdot%20180%5E%5Ccirc$; bzw. $LaTeX: %5Coperatorname%7Bf%280%29%3Dk%5Ccdot%20%5Cpi%7D$; wobei $LaTeX: k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$

Extrema: Es gibt keine Hochpunkte und Tiefpunkte, da $LaTeX: %5Coperatorname%7Bf%27%28x%29%7D$ an keiner Stelle den Wert 0 annimmt.

Periode: $LaTeX: 180%5E%5Ccirc$ bzw. $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Cpi%7D$

Symmetrie: punktsymmetrisch zum Koordinatensystem $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Ctan%28-x%29%3D-%5Ctan%28x%29%7D$

trigonometrischer Pythagoras

$LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Csin%5E2%20x%20%2B%5Ccos%5E2x%20%3D1%7D$

Pythagoras lautet $LaTeX: %5Coperatorname%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%20%3D%20c%5E2%7D$ . Die Kathete und die Ankathete sind $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Csin%20%5Calpha%7D$ und $LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Ccos%20%5Calpha%7D$ . Die Hypotenuse hat die Länge $LaTeX: %5Coperatorname%7B1%7D$ .

Es gilt $LaTeX: %5Coperatorname%7B1%5E2%20%3D%201%7D$ .

Additionstheoreme

$LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Csin%28%5Calpha%2B%5Cbeta%29%3D%5Csin%20%5Calpha%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Cbeta%20%2B%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5Ccdot%20%5Csin%20%5Cbeta%7D$

$LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Csin%28%5Calpha-%5Cbeta%29%3D%5Csin%20%5Calpha%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Cbeta%20-%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5Ccdot%20%5Csin%20%5Cbeta%7D$

$LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Ccos%28%5Calpha%2B%5Cbeta%29%3D%5Ccos%20%5Calpha%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Cbeta%20-%20%5Csin%20%5Calpha%20%5Ccdot%20%5Csin%20%5Cbeta%7D$

$LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Ccos%28%5Calpha-%5Cbeta%29%3D%5Ccos%20%5Calpha%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Cbeta%20%2B%20%5Csin%20%5Calpha%20%5Ccdot%20%5Csin%20%5Cbeta%7D$

$LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Ctan%28%5Calpha%2B%5Cbeta%29%3D%5Cfrac%7B%28%5Ctan%20%5Calpha%2B%20%5Ctan%20%5Cbeta%29%7D%7B%281-%5Ctan%20%5Calpha%20%5Ccdot%20%5Ctan%20%5Cbeta%29%7D%7D$

$LaTeX: %5Coperatorname%7B%5Ctan%28%5Calpha-%5Cbeta%29%3D%5Cfrac%7B%28%5Ctan%20%5Calpha-%20%5Ctan%20%5Cbeta%29%7D%7B%281%2B%5Ctan%20%5Calpha%20%5Ccdot%20%5Ctan%20%5Cbeta%29%7D%7D$

Einsatz einer Tabellenkalkulation

Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Trigonometrischen Funktionen f(x) = a·trig(b·(x+c))+d
(trig steht für sin, cos, tan oder cot) zum Beispiel mit: http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/trigfunk/trigfunk.xls

Funktionsplotter-Einsatz

Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Trigonometrischen Funktionen f(x) = a·trig(b·(x+c))+d
(trig steht für sin, cos, tan oder cot) : http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/trigfunk/trigfunk.xls
Untersuchung der Parameter von f(x) = b sin(x+a)+c Kommentar (pdf), Download (zip)

Siehe auch

Trigonometrische Funktionen

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