Lineare Funktionen/Station 2 und Lineare Funktionen/Station 2/Übung: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
[[Datei:Power-sports-1015688 1920.jpg|right|200px|Bankdrücken]]
== Steigung einer Geraden  ==
'''Übung macht den Meister!''' In dieser Station kannst du dein eben erworbenes oder vertieftes Wissen festigen. Viel Spaß!


[[Datei:Steigung 01.png|left|150px|Steigung einer Gerade]]
In Station 1 hast du dir noch einmal bewusst gemacht, dass Geraden im Koordinatensystem unterschiedlich steil verlaufen können.


Wie steil eine Gerade verläuft, gibt die sogenannte '''Steigung der Geraden''' an.
{{Box|5. Wie war das jetzt nochmal?|Fülle den Lückentext aus, um die Steigung der Geraden zu berechnen.
<center>[[Datei:Steigungsdreieck A1.png|300px|Bild zur Aufgabe 1]]</center>
|Üben}}
<div class="lueckentext-quiz">
Die Steigung m berechnet man mithilfe des Steigungsdreiecks.


Wie du ebenfalls in Station 1 gesehen hast, enthält die Steigung einer Geraden wichtige Informationen darüber, wie schnell bzw. wie stark sich Größen in einer betrachteten Situation ändern.
<math>m=\Delta</math>'''y''' <math>:\Delta </math> '''x''' = ('''y<sub>Q</sub>'''<math>-</math>'''y<sub>P</sub>''')<math>:</math>('''x<sub>Q</sub>'''<math>-</math>'''x<sub>P</sub>''')<math>=</math>('''15'''<math>-</math>'''6''')<math>:</math>('''10'''<math>-</math>'''4''')<math>=</math>'''1,5'''


'''In dieser Station lernst du, wie man die Steigung einer Geraden bestimmen und Geraden mit einer gewünschten Steigung zeichnen kann.'''
Die Steigung der dargestellten Geraden ist <math>m=</math>'''1,5'''
</div>


=== 2.1 Für's Gefühl ===
Folgende App soll dir helfen, zunächst ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie der Wert der Steigung mit der Lage der Geraden zusammenhängt.


{{Box|Wie geht das?|Bewege den Schieberegler um die Steigung der Geraden zu verändern. Beobachte genau, wie zu einem Wert der Steigung die Gerade im Koordinatensystem verläuft! Wenn du fertig bist, scrolle nach unten, dann geht es weiter im Lernpfad.|Hervorhebung1}}
{{Box|6. Wie groß ist die Steigung?|
[[Datei:Browse-1019848 1920.jpg|right|220px|Buch lesen]]
Schlage bitte dein Mathebuch auf der '''Seite 47''' auf und betrachte in '''Aufgabe 5''' diejenige Gerade, die zu einer proportionalen Funktion passt. Berechne von dieser einen Geraden die Steigung.


<ggb_applet id="G24kK3Eg" width="800" height="500" border="888888" />
* Notiere dein Rechnungen und Überlegung im Übungsheft.
* Gib die Koordinaten der Punkte an, die du zur Berechnung der Steigung verwendest.
|Üben}}


 
{{Lösung versteckt|
Überprüfe, ob du die richtigen Erkenntnisse gezogen hast!
<span style="color:blue">blaue Gerade: <math>m=\frac{2}{3}</math> </span>
 
 
{{LearningApp|app=pi5g2shxc01|width=70%|height=330px}}
 
 
 
== 2.2 Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden? ==
Nachdem du nun erfahren hast, wie der Wert der Steigung und die Lage einer Geraden im Koordinatensystem zusammenhängen, stellt sich jetzt die Frage, wie man denn den Wert der Steigung bestimmen kann!
 
{{Frage|
[[Datei:Verkehrsschild Steigung.png|150px|right|Steigung von 100%]]
Dein Cousin zeigt dir auf seinem Smartphone das unten dargestellte Foto.
 
Er behauptet: "Diesen Berg bin ich gestern mit meinem Mountainbike hochgefahren!"
 
Was sagst du dazu? 
}}
}}


Wie stehst du zur Aussage deines Cousins?
{{Aufgabe|'''Übung 7:''' Zeichne die Gerade!


<div class="multiplechoice-quiz" >
Zeichne den Graphen der proportionalen Funktion mit Hilfe eines Steigungsdreiecks!
Mein Cousin ... (!...ist ein großer Lügner!) (...fährt oft Mountainbike, schon möglich, dass er so einen Berg raufgekommen ist.) (!... wäre höchstens da raufgekommen, wenn er geklettert wäre!)
</div>


Um das Verkehrsschild zu verstehen, ist es wichtig zu wissen, '''wie denn eine Steigung überhaupt festgelegt''' ist.
a) <math>f(x)=1,5\cdot x</math><br><br>b) <math>g(x)=-\frac{1}{4}\cdot x</math>
 
 
{{Aufgabe|'''4.'''Betrachte die "versteckte" Grafik.
*'''Erkläre in einem Satz''', was eine Steigung von 100% ausdrückt und notiere diesen Satz in dein '''Schulheft'''.
}}
}}


{{Lösung versteckt|[[Datei:Steigung_Straße.png|700px|left|Steigung]]|Grafik anzeigen|Grafik verstecken}}
<popup name = "Tipp zur a)">Wandle zunächst die Steigung 1,5 in einen Bruch um!</popup>


 
<popup name="Lösung">
 
 
Die Steigung von Geraden bestimmt man allgemein genauso wie die Steigung von Straßen, nämlich mithilfe von '''Steigungsdreiecken.'''
 
Um das genauer zu erforschen, bearbeite bitte folgende App:
 
{{Box|Wie geht das?|
#Bewege die Punkte P und Q auf der Geraden. Beobachte, wie sich der Quotient zur Berechnung der Steigung dabei verändert.
#Verändere mit dem Schieberegler die Steigung der Geraden und versuche das Steigungsdreieck so einzustellen, dass die Koordinaten der Punkte P und Q gut abzulesen sind.|Hervorhebung1}}
 
<ggb_applet id="1981855" width="810" height="797" border="888888" />
>
 
[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|160px|Untersuchen]]
 
'''Prüfe dich!'''
<div class="multiplechoice-quiz">1=
Welche Antworten sind richtig? (!Die Steigung hängt davon ab, wo die Punkte P und Q auf der Geraden liegen.) (Je größer <math>\Delta y</math> bei gleichem <math>\Delta x</math> ist, desto größer ist die Steigung.) (Zur Berechnung der Steigung ist es vollkommen egal, wo auf der Gerade das Steigungsdreieck liegt.) (Das Steigungsdreieck ist immer rechtwinklig!)
</div>
 
{{Box|1=Merke|
2=Die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines '''Steigungsdreiecks'''.
 
*Wähle zwei ''beliebige'' Punkte P und Q auf der Geraden aus, am besten so, dass man die Koordinaten gut ablesen kann.
*Lege das Steigungsdreieck in diesen Punkten an die Gerade an.
*Berechne die Steigung m:
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
|3=Merksatz}}
 
Unterscheide drei Fälle:
 
{{3Spalten|
<math>m>0 </math> Gerade steigt nach rechts an<br>
[[Datei:Steigung positiv.png|200px|Steigung positiv]]
|
<math>m=0 </math> Gerade parallel zur x-Achse<br>
[[Datei:Steigung Null.png|200px|Steigung Null]]
|
<math>m<0</math> Gerade fällt nach rechts ab<br>
[[Datei:Steigung negativ.png|200px|Steigung negativ]]
}}
 
{{Aufgabe|Übernimm bitte auch folgende Beispiele in dein Schulheft!}}
 
<div style="  border: 2px solid darkred; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
<br>
{|
{|
|'''Beispiel 1'''
|a) [[Datei:Gerade zeichnen 1.png|200px|Steigung 1,5]]
|
|b) [[Datei:Gerade zeichnen 2.png|200px|Steigung 1,5]]
|'''Beispiel 2'''
|-
|[[Datei:Steigungsdreieck.png|350px|left|Steigung]]
|style="text-align:center; width:100px"|
|[[Datei:Steigungsdreieck negativ.png|310px|left|Steigung]]
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{3 - 1}{6 - 2}=\frac{2 }{4}=0,5</math>
|
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{-6 - (-2)}{3 - 1}=\frac{-4}{2}=-2</math>
|-
|style="height:80px"| oder
|
|
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q_1} - y_{P_1}}{x_{Q_1} - x_{P_1}}=\frac{5 - 4}{10 - 8}=\frac{1 }{2}=0,5</math>
|
|
|}
|}
</div>
</popup>
 
 
{{Aufgabe|Schätze doch mal ab, wie groß die Steigung war, die dieser Audi Quattro vor 30 Jahren bereits erkommen hat!
}}
 
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/3YJ1Nchw_v4" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>


<popup name="tatsächlichen Wert"> Die Steigung betrug 80% oder 0,8!</popup>


== Doping für Schnelle ==
<span style ="color:blue">Du liegst '''gut in der Zeit?'''</span> [[File:Animated winking Smiley colored.gif|100px|right|Animated winking Smiley colored]]
Dann versuch doch, den armen Radfahrern zu helfen...!


{{Aufgabe|'''Übung 4: Wie groß ist die Steigung?'''
{{Aufgabe|'''Für Schnelle - Übung 8: Tour de France!'''


Führe die Übung in der App durch. '''Notiere deine Überlegungen und Berechnungen ins Übungsheft!!'''}}
Damit die Radfahrer wissen, wie viel Doping sie zur Tour de France mitnehmen sollen, müssen sie wissen, welche Steigungen im Mittel zu erwarten sind.


{{Achtung|
Bearbeite dazu die im Übungsheft '''Aufgabe 6 auf Seite 34.'''
In der App musst du Dezimalzahlen nicht mit Komma, sondern''' mit Punkt eintragen'''! Wenn es dir hilft, kannst du die Darstellungen auch in dein Heft übernehmen, um dort das Steigungsdreieck einzuzeichnen.
}}
}}


<ggb_applet id="1981631" width="792" height="777" border="888888" />
Du weißt nicht wie du anfangen sollst?
 
 


<popup name="Tipp 1">
"mittlere Steigung" bedeutet dass man annimmt, die Steigung verläuft ''gleichmäßig'' zwischen zwei Punkten.
Gleichmäßige Steigung wiederum heißt, du kannst die beiden Punkte mit einer ________ verbinden...
</popup>


{|
<popup name="Tipp 2">
|align = "left" width="260px"|[[Datei:Question-mark-1019922 1920.jpg|200px|Fragen über Fragen]]
Wenn du die Punkte mit je einer Geraden verbunden hast, musst du Steigungsdreiecke einzeichnen und damit die Steigung bestimmen.
|'''Probleme''' zu verstehen, wie man die Steigung bestimmt'''?''' Dann kannst du hier <br>[http://ggbtu.be/m2061805 <u>hier</u>] die Steigungsbestimmung nochmal Schritt für Schritt nachzuvollziehen! <br>
</popup>
'''Keine Probleme?''' Dann kannst du einfach weitermachen! :)]
|}


== 2.3 Zeichnen einer Geraden unter Ausnutzung der Steigung ==
<popup name="Lösung der Aufgabe">
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der umgehehrten Fragestellung:
Legt man den Koordinatenusrprung in den Punkt A so gilt:
[[Datei:Bergsteigung Lsg.png|500px|mittlere Steigungen]]
</popup>


{{Frage|
{{Frage|
Überlege: Wie kannst du deine Kenntnisse nutzen, um eine Ursprungsgerade mit vorgegebener Steigung zu zeichnen, ohne dass du erste eine Wertetabelle anlegen musst?
Musst du alle Längen aus der Zeichnung, die zur Bestimmung der Steigung nötig sind, erst in die realen Längen umrechnen?
}}
 
'''Beispiel:''' Zeichne eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math>!
 
{{Lösung versteckt|
Gehe ganz grob umgekehrt vor wie oben:
# Du musst zunächst einen Punkt kennen, der auf der Geraden liegt (Tipp: Ursprungsgerade!)
# Da die Steigung gegeben ist, kennst du <math>\Delta x</math> und <math>\Delta y</math>.
# Damit kannst du vom gegebenen Punkt aus das Steigungsdreieck zeichnen und erhältst so einen zweiten Punkt.
# Da eine Gerade durch zwei Punkte festgelegt ist, musst du jetzt nur noch die beiden Punkte verbinden.
|Idee Anzeigen|Idee Verbergen}}
 
 
Du hast die Idee nicht verstanden? Kein Problem, in diesem Fall kannst du es dir [http://ggbtu.be/m2062563 hier] nochmal ausführlich erklären lassen!
 
{{Aufgabe|'''5.'''
 
*Zeichne in deinem Schulheft eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math> in ein Koordinatensystem ein.
*Schreibe in deinen eigenen Worten stichpunktartig auf, wie du '''allgemein''' vorgehen musst. Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du dir die "Idee" oben anzeigen lassen.
}}
}}


Nicht sicher, ob deine Lösung stimmt? [http://ggbtu.be/m2062563 Hier] ist ein ähnliches Beispiel ausführlich dargestellt!
[[Datei:Berg Steigung.png|280px|Berg Steigung]]
 
----
<!-- auskkommentiert: Rückmeldung zur Station
<div style="  width: 60%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#c6d745; padding:7px;font-size:1px; height:1px; border-bottom:1px solid #c6d745;"></div>
<div style="  width: 60%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
{|
|Nimm dir bitte kurz Zeit, und gib eine Rückmeldung zu dieser Station. <br>
<br>
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pga0dhq9201" style="border:0px;width:200px;height:110px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|[[Datei:Information-1015297 1920.jpg|230px|Information]]
|}
<br>
</div>-->
 
 
'''Glückwunsch, du hast die zweite Station erfolgreich gemeistert! Es warten Aufgaben auf dich...! :)


[[Datei:Pfeil weiter.png|50px]]
|[[/Übung|'''Hier geht es weiter''']]


'''Alles geschafft? Super, dann auf zu Station 3!'''


[[Datei:binoculars-1015267_1920.jpg|150px]]


[[../../Station_3|'''...hier geht es weiter''']]'''!'''






{{Lernpfad Lineare Funktionen}}
{{Lernpfad Lineare Funktionen}}

Version vom 15. Juni 2018, 19:13 Uhr

Bankdrücken

Übung macht den Meister! In dieser Station kannst du dein eben erworbenes oder vertieftes Wissen festigen. Viel Spaß!


5. Wie war das jetzt nochmal?

Fülle den Lückentext aus, um die Steigung der Geraden zu berechnen.

Bild zur Aufgabe 1

Die Steigung m berechnet man mithilfe des Steigungsdreiecks.

y x = (yQyP)(xQxP)(156)(104)1,5

Die Steigung der dargestellten Geraden ist 1,5


6. Wie groß ist die Steigung?
Buch lesen

Schlage bitte dein Mathebuch auf der Seite 47 auf und betrachte in Aufgabe 5 diejenige Gerade, die zu einer proportionalen Funktion passt. Berechne von dieser einen Geraden die Steigung.

  • Notiere dein Rechnungen und Überlegung im Übungsheft.
  • Gib die Koordinaten der Punkte an, die du zur Berechnung der Steigung verwendest.
{{{1}}}


Aufgabe

Übung 7: Zeichne die Gerade!

Zeichne den Graphen der proportionalen Funktion mit Hilfe eines Steigungsdreiecks!

a)

b)

<popup name = "Tipp zur a)">Wandle zunächst die Steigung 1,5 in einen Bruch um!</popup>

<popup name="Lösung">

a) Steigung 1,5 b) Steigung 1,5

</popup>


Doping für Schnelle

Du liegst gut in der Zeit?

Animated winking Smiley colored

Dann versuch doch, den armen Radfahrern zu helfen...!


Aufgabe

Für Schnelle - Übung 8: Tour de France!

Damit die Radfahrer wissen, wie viel Doping sie zur Tour de France mitnehmen sollen, müssen sie wissen, welche Steigungen im Mittel zu erwarten sind.

Bearbeite dazu die im Übungsheft Aufgabe 6 auf Seite 34.

Du weißt nicht wie du anfangen sollst?

<popup name="Tipp 1"> "mittlere Steigung" bedeutet dass man annimmt, die Steigung verläuft gleichmäßig zwischen zwei Punkten. Gleichmäßige Steigung wiederum heißt, du kannst die beiden Punkte mit einer ________ verbinden... </popup>

<popup name="Tipp 2"> Wenn du die Punkte mit je einer Geraden verbunden hast, musst du Steigungsdreiecke einzeichnen und damit die Steigung bestimmen. </popup>

<popup name="Lösung der Aufgabe"> Legt man den Koordinatenusrprung in den Punkt A so gilt: mittlere Steigungen </popup>


Frage

Musst du alle Längen aus der Zeichnung, die zur Bestimmung der Steigung nötig sind, erst in die realen Längen umrechnen?



Berg Steigung


Alles geschafft? Super, dann auf zu Station 3!

Datei:Binoculars-1015267 1920.jpg

...hier geht es weiter!


Steigung 01.png

Lineare Funktionen

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