Datei:N cos d.jpg und Trigonometrische Funktionen/Einfluss von c: Unterschied zwischen den Seiten

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* Beschreibung: parameter d bei der cosinuskurve - bild
__NOTOC__
* Quelle: eigene Datei
__NOCACHE__
* Fotograf/Zeichner/Autor: k.haberl
 
* Datum: 20.9.2008
===FAQ===
* Lizenz: {{MV-Lizenz}}
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
 
===Einfluss von c===
 
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ c </math> in
 
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>.
 
{{Box|1=Aufgabe C1|2=
<ggb_applet height="350" width="400" type="button" filename="sin_c.ggb" /> <br>
 
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ c </math> ändern. <br>
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ c = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ c = 2  </math> und <math> \ c = -1 </math>, sowie <math> \ c = 0,5 </math> und <math> \ c = \frac{\pi}{2} </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>\ x</math>-Achse. Genauer:
* <span style="background-color:yellow;"> Ist <math>\ c</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> \ c </math> nach links verschoben.
* <span style="background-color:yellow;"> Ist <math>\ c</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> \ c </math> nach rechts verschoben.
<math>\ c</math> wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.|3=Merksatz}}
</span>
 
[[Bild:N_sin_c.jpg|center]]
}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe C2|2=
 
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
 
 
Eine mögliche formale Begründung:
 
<math>\ \sin( x + c )=0 </math>
 
<math> \Leftrightarrow x + c = k \cdot \pi; k \in \Z </math>
 
<math> \Leftrightarrow x = k \cdot \pi - c </math>
 
Die Bestimmung der Nullstellen von <math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> und Vergleich mit den Nullstellen der Sinuskurve zeigt, dass jeder Funktionswert für <math>\ c > 0 </math> bereits ein Stück weiter links angenommen wird. Genauer, der Graph wird also für <math>\ c > 0</math> um <math>\ c </math> nach links verschoben und für <math>\ c < 0 </math> entsprechend nach rechts.}}
 
{{Box|1=Aufgabe C3|2=
 
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
<quiz display="simple">
 
}
| <math>\ c<-1; </math> | <math> -1<\ c<0; </math> | <math> 0<\ c<1; </math> | <math> 1<\ c</math>
 
---- Verschiebung nach oben
---- Verschiebung nach unten
++-- Verschiebung nach rechts
--++ Verschiebung nach links
---- Streckung in <math> \ x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
---- Stauchung in <math> \ x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
---- Streckung in <math> \ y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
---- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
---- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse
---- Spiegelung an <math> \ y </math>- Achse
</quiz>
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
Nun betrachten wir den Einfluss von <math> \ c </math> in
 
:<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>.  
 
{{Box|1=Aufgabe C4|2=
 
<ggb_applet height="350" width="400" type="button" filename="cos_c.ggb" /> <br>
 
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe C1 noch einmal für <math>cos</math>.
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> \ c </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
 
[[Bild:N_cos_c.jpg|center]]}}
 
 
----
 
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe C1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!
 
----
 
{{Weiter|Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter}}

Version vom 10. Oktober 2018, 14:08 Uhr


FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von c

Wir betrachten nun den Einfluss von in

.


Aufgabe C1

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

  1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von ändern.
  2. Stelle den Schieberegler auf ein. Wie ändert sich der Graph?
  3. Überlege dir, wie sich die Werte und , sowie und auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
  4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Merke

Man erhält den Graph der Funktion

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der -Achse. Genauer:

  • Ist positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von nach links verschoben.
  • Ist negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von nach rechts verschoben.
wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.

N sin c.jpg


Aufgabe C2
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!

Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.


Eine mögliche formale Begründung:

Die Bestimmung der Nullstellen von und Vergleich mit den Nullstellen der Sinuskurve zeigt, dass jeder Funktionswert für bereits ein Stück weiter links angenommen wird. Genauer, der Graph wird also für um nach links verschoben und für entsprechend nach rechts.


Aufgabe C3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Verschiebung nach oben
Verschiebung nach unten
Verschiebung nach rechts
Verschiebung nach links
Streckung in - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
Stauchung in - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
Streckung in - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
Stauchung in - Richtung / Verkleinerung der Amplitude
Spiegelung an - Achse
Spiegelung an - Achse


Nun betrachten wir den Einfluss von in

.


Aufgabe C4

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe C1 noch einmal für .

Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

N cos c.jpg


Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe C1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!


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aktuell14:05, 10. Okt. 2018Vorschaubild der Version vom 14:05, 10. Okt. 2018558 × 247 (42 KB)Kilian Schoeller (Diskussion | Beiträge)

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