Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit

Kommen wir nun zum wohl wichtigsten Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wahrscheinlichkeit !

Definition

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Unter Wahrscheinlichkeit versteht man die Chance, dass bei einem Zufallsexperiment ein bestimmtes Ereignis auftritt. Wahrscheinlichkeiten werden Werte zwischen 0 und 1 zugeordnet. Dabei entspricht die 0, dass das Ereignis mit Sicherheit nicht eintreten kann. Bei der Wahrscheinlichkeit 1 trifft das Ereignis mit Sicherheit ein. Schreibweise: P(A) = 0,5 (sprich: Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist 0,5)

Wahrscheinlichkeitsmaß -> Prozent

Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten?

Um Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu bestimmen, gibt es verschiedene Strategien. Zwei werdet ihr in diesem Lernpfad kennenlernen.

Die erste Strategie habt ihr im Einstiegsbeispiel schon unbewusst kennengerlernt: Wenn die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse nicht bekannt oder gegeben sind, führt man das Zufallsexperiment mit vielen Wiederholungen durch und man notiert die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse (siehe ... ). Bei genügend großer Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnissen an. Dieser Zusammenhang wird mit dem Gesetz der großen Zahlen bezeichnet.

BILD mit Zusammenhang

Eine Frage bleibt euch dabei sicherlich:

Wie oft muss man das Zufallsexperiment denn nun wiederholen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten?

Dies kann man nicht eindeutig beantworten. Das Gesetzt der großen Zahlen besagt nur, dass die realtiven Häufigkeiten bei ein größerer Anzahl von Wiederholungen näher an den theoretischen Wahrscheinlichkeiten liegen.

Oder anders gesagt: Je öfter wir das Zufallsexperiment wiederholen, desto genauer nähern sich die realtiven Häufigkeiten den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.

ACHTUNG: Das Gesetz der großen Zahlen sagt nichts über ... aus. Das heißt ....

Die andere Strategie ist auf Laplace-Experimenten anwendbar. Was das sind erfahrt ihr auf der nächsten Seite!

Beispiel

Siehe Didaktik der Stochastik I von Krüger, Sill und Sikora ab S.81 für Beispiele

Aufgaben

Aufgabe 1: Schwarzfahrer in der Bahn

Kontrolleure in der Bahn haben in der letzten Zeit 1235 Fahrgäste auf einen gültigen Fahrschein kontrolliert. Darunter waren 87 Schwarzfahrer.

a) Wie wahrscheinlich ist, dass ein Kontrolleur einen Schwarzfahrer bei der nächsten Kontrolle erwischt?

b) Mit wieviel Verlust muss der Verkehrsbetrieb jährlich rechnen, wenn er monatlich 45.000 Fahrgäste befördert und ein Fahrschein 2,70€ kostet?

<popup name="Lösung"> Lösung für a):

Hier wurde das Zufallsexperiment, ob ein Passagier ein Schwarzfahrer ist, insgesamt 1235-mal durchgeführt und 87-mal kam das Ergebnis Schwarzfahrer dabei heraus. Durch das Gesetz der großen Zahlen können wir die relative Häufigkeit als theoretische Wahrscheinlichkeit annehmen. Daher gilt:

P("Der Kontrolleur erwischt einen Schwarzfahrer") = $\frac{87}{1235} = 0,07$

Ein Kontrolleur erwischt einen Schwarzfahrer mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 7%.

Lösung für b):

Der Verkehrsbetrieb transportiert jährlich 45.000*12 = 540.000 Fahrgäste.

Da mit einer Wahrscheinlichkeit von 7% ein Passagier Schwarzfahrer ist, gibt es im Jahr 540.000*0,07 = 37.800 Schwarzfahrer.

Das macht einen Verlust von 37.800*2,70€ = 102.060€.

Man kann mithilfe von statistischen Erhebungen und dem Gesetz der großen Zahlen Prognosen für zukünftige Gewinne/Verluste berechnen! </popup>

Aufgabe 2: Würfelexperiment

Ihr seht hier Würfelnetze dreier verschiedener Würfel:

1)

2)

3)

Johann hat mit einem der Würfel 125 Würfe gemacht und die Augenzahl bei jedem Wurf notiert. Hier ist seine Tabelle mit den Häufigkeiten:

Augenzahl	Eins	Zwei	Drei
Häufigkeit	??	??	??

Mit welchem Würfel hat Johann wohl geworfen? Begründe deine Antwort!

<popup name="Lösung"> 4+3=7 </popup>

Aufgabe 3: Musik-Dienste

Im Jahr 2017 gibt es 136,3 Mio. zahlende Nutzer von Musik-Streamingdiensten

Folgende Nutzerzahlen wurden dabei ermittelt:

Spotify	Apple Music	Amazon Music	Andere
54,52 Mio	25,897 Mio	16,356 Mio	39,527 Mio

Auf der Straße wird zufällig ein zahlender Nutzer von einem Streamindienst getroffen. Wie wahrscheinlich ist es...

a) dass er Kunde von Amazon Music ist?

b) dass er nicht Kunde von Apple Music ist?

c) dass er Kunde von Spotify oder einem anderen (Andere) Dienst ist?

<popup name="Lösung"> Ihr könnt euch unter diesem Link, die Statistik ansehen, auf dem diese Aufgabe beruht: https://de.statista.com/infografik/10431/weltweite-marktanteile-musik-streaming-anbieter/

Lösung für a):

Wir können aufgrund der hohen Wiederholungsanzahl des Zufallsexperiments (136,6 Mio-mal), die relative Häufigkeit als theoretische Wahrscheinlichkeit annehmen.

Daher gilt:

P("Kunde von Amazon Music") = $\frac{16,356 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,12$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 12% ist der Nutzer ein Kunde von Amazon Music.

Lösung für b):

Hier wird gefragt, wie wahrscheinlich es ist, dass der Nutzer NICHT Kunde von Apple Music ist.

Hierfür berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass er Kunde von einem der anderen Dienste ist. Dazu zählt man alle Kundenzahlen von allen Streamindiensten zusammen, die nicht Apple Music sind:

54,52 Mio. (Spotify) + 16,356 Mio. (Amazon Music) + 39,527 Mio. (Andere) = 110,403 Mio.

Also ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem der andere Dienste ist:

P("nicht bei Apple Music") = $\frac{110,403 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,8082$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 80,82% ist der Nutzer NICHT bei Apple Music.

Lösung für c):

Hierfür zählt man die Kundenzahlen von Spotify und Andere zusammen:

54,52 Mio. (Spotify) + 39,527 Mio. (Andere) = 94,047 Mio.

Daher ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:

P("bei Spotify oder bei Andere") = $\frac{94,047 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,6885$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,85% ist der Nutzer bei Spotify oder einem der anderen Dienste. </popup>