Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Wiederholung Binomialverteilung und Prozente und Prozentrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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<br>Hier wiederholst du nochmal die wichtigsten Grundlagen der Binomialverteilung.<br><br>
[[Kategorie:Mathematik]]
In der ersten Übung wiederholst du die grundlegenden Begriffe der Binomialverteilung.<br><br>
[[Kategorie:Lernpfad]]
{{Box|Übung 1: wichtige Begriffe der Binomialverteilung|2=
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
Fülle den Lückentext aus!
[[Kategorie:Prozentrechnung]]
<div class="lueckentext-quiz">
 
{{Box|Lernpfad|Herzlich willkommen im Lernpfad <b>Prozente und Prozentrechnung</b>!
 
<br>Dieser Lernpfad soll dir dabei helfen, dein Wissen aus der Bruchrechnung auf die Prozentrechnung zu übertragen und deine Vorstellung von Prozenten auf- bzw. auszubauen.
<br><br>Das Schöne daran ist, dass du vieles von dem, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst, hier direkt anwenden kannst.
|Lernpfad}}
{{Box|Merke|
Der Begriff <b>"Prozent"</b> heißt dabei nichts anderes als <b>"von Hundert"</b>. Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als <b>einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist</b>. Es gibt also keinen Grund, vor der Prozentrechnung Angst zu haben!
|Merksatz}}
 
<b>Also: Leg los!</b>  
 
==Wiederholung: Bruchteil, Anteil und Ganzes==
 
{{Box|Info|
Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Noch einmal: Die Prozentrechnung ist nichts anderes als ein Sonderfall der Bruchrechnung.
|Kurzinfo}}
 
{{Box|1=Beispiel|2=
In diesem Beispiel schauen wir uns noch einmal drei Viertel eines Kreises an.
 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} [[Datei:Darstellung BAG Kreis.png|506px]]
{{!-}}
{{!}}
In der Prozentrechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst.<br>
Das <span style="color: green">Ganze</span> nennt sich hier der <span style="color: green"><b>Grundwert</b></span> (abgekürzt mit einem großen <span style="color: green"><b>G</b></span>), der <span style="color: red">Bruchteil</span> entspricht dem <span style="color: red"><b>Prozentwert</b></span> (abgekürzt mit einem großen <span style="color: red"><b>W</b></span>) und der <span style="color: blue">Anteil</span> wird hier <span style="color: blue"><b>Prozentsatz</b></span> (kurz <span style="color: blue"><b>p %</b></span>)" genannt und nicht mehr als Bruch, sondern als Zahlenwert mit einem Prozentzeichen (%) dahinter angegeben.
{{!-}}
{{!}}[[Datei:Kreis 2.png|506]]
{{!-}}
{{!)}}
|3=Beispiel}}


Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man ''' Bernoulli-Experiment'''. Wird solch ein Experiment n-mal wiederholt, und sind die Versuche unabhängig voneinander, erhält man eine '''Bernoulli-Kette''' der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X die Zufallsvariable, welche die Anzahl k der  Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die '''Formel von Bernoulli''' (<math>P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}</math>) berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X heißt '''Binomialverteilung''' mit den Parametern n und p. Der '''Erwartungswert''' der Binomialverteilung wird durch <math>E(X)=n\cdot p</math> berechnet. Stellt man die Binomialverteilung in einer Grafik dar (p-k Diagramm) erhält man näherungsweise eine ''' Glockenkurve'''. Der Hochpunkt der Funktion liegt beim Erwartungswert. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige '''Verteilungsfunktion''', für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise <math>P(X\leq k)</math> üblich ist. Bei der Verteilungsfunktion werden die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmen k Wert aufsummiert: <math>P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)</math>.  
{{Box|1=Lückentext|2=
Versuche zur Verinnerlichung zu Beginn einmal, diesen Lückentext auszufüllen. Klicke dafür einfach in die entsprechenden Lückenfelder und wähle den Begriff aus, den du für richtig hältst. Überprüfe am Ende deine Eingaben durch einen Klick auf den blauen Haken unten rechts!


</div>|3=Arbeitsmethode
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=prbckmkp321" style="border:0px;width:900px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
}}
}}
<br>
Vor allem die grafische Anschauung der Binomialverteilung und der Umgang mit der Verteilungsfunktion sind wichtig für die Durchführung eines Signifikanztests. Prüfe und wiederhole dein Können dazu in Übung 2. <br>


{{Box|1=Übung 2: Grafische Anschauung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten|2=
==Brüche und Prozentsätze zuordnen==
[[Datei:Kohlekraft.jpg|rechts|100px]]
 
Die Schüler*innen der Umweltgruppe befragen 1000 Menschen in Deutschland, ob sie den Klimawandel als Bedrohung ansehen. Für die folgenden Aufgaben wird angenommen, dass immer noch 71% der Menschen in Deutschland sich durch den Klimawandel bedroht fühlen.  
{{Box|Üben|
<br><br>
In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!
a) Skizziere die Binomialverteilung für die Befragung.
 
{{Lösung versteckt|1= Fertige ein p-k Diagramm an. Die Binomialverteilung ist eine Glockenkurve. Überlege dir, wo der Hochpunkt der Funktion liegt.  
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pn2rsf4a521" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|1=
Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!
[[Datei:Neueins.png|600px]]
 
Den Hochpunkt hat die Funktion beim Erwartungswert (<math>E(X)=n\cdot p</math>)<br> In dieser Aufgabe errechnet sich der Erwartungswert also wie folgt: <math>E(X)=1000\cdot 0.71=710</math>.<br> Hinweis! Die Breite der Glockenkurve kannst du in deiner Skizze nach Gefühl eintragen.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvpwgze6n21" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
}}
 
Nachdem du dich nun noch einmal mit dem Vergleichen von Brüchen und Prozentsätzen befasst hast, kannst du dich hier einer Reihe von Aufgaben widmen, in welchen du Muster und Bilder siehst, von denen einige Teile eingefärbt sind.
<br>Gib in den entsprechenden Feldern die Anteile als Bruch sowie die Prozentsätze an!
<br><b>Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.</b>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=prqmizyq321" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
 
==Arbeiten mit dem Prozentstreifen==
 
 
{{Box|Info|
Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
<br>[[Datei:Bruchstreifen.png|650px]]
<br>In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem <b>Prozentstreifen</b>.
<br>Direkt unter diesem Text findest du einen solchen interaktiven Prozentstreifen, an dem du zunächst frei experimentieren kannst.
<br>Du kannst mit den Schiebereglern sowohl die Länge des Prozentstreifens, als auch den gewünschten Prozentsatz verändern.
<br><b>Unter dem Prozentstreifen wird dir dann immer der entsprechende Prozentwert angegeben.</b>
<br>Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit dem Prozentstreifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Prozentstreifen zu klein sein sollte.
|Kurzinfo}}
 
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/rytqqtnq?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
 
{{Box|Üben|
Versuche nun, die folgenden Aufgaben zu lösen.<br>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6cgsbnnk21" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
 
==Den Prozentwert berechnen==
 
 
{{Box|Merke|
Sind <b>Grundwert G</b> und <b>Prozentsatz p %</b> gegeben, lässt sich der <b>Prozentwert W</b> ganz einfach wie folgt berechnen:
<math>W = \frac{p*G}{100}</math>
 
Beachte dabei, dass <b>p</b> in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!
|Merksatz}}
 
==Den Prozentwert berechnen==
 
 
{{Box|Merke|
Sind <b>Grundwert G</b> und <b>Prozentsatz p %</b> gegeben, lässt sich der <b>Prozentwert W</b> ganz einfach wie folgt berechnen:
<math>W = \frac{p*G}{100}</math>
 
Beachte dabei, dass <b>p</b> in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!  
|Merksatz}}
 
==Den Prozentwert berechnen==
 
 
{{Box|Merke|
Sind <b>Grundwert G</b> und <b>Prozentsatz p %</b> gegeben, lässt sich der <b>Prozentwert W</b> ganz einfach wie folgt berechnen:
<math>W = \frac{p*G}{100}</math>


Bereche die Wahrscheinlichkeit dafür,...<br><br>
Beachte dabei, dass <b>p</b> in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!  
b) dass in der Stichprobe '''genau''' 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
|Merksatz}}
{{Lösung versteckt|1=In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert.<br> [[Datei:Neuzwei.png|600px]]<br>Nutze die Formel von Bernoulli!<br> Zur Berechnung nutze deinen Taschenrechner! (Hinweis: Bei den meisten Taschenrechnern ist es die Funktion binompdf(n,p,k))<br>
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>B_{1000,0.71}(710)=\binom{1000}{710}\cdot 0.71^{710}\cdot (1-0.71)^{290}=0.0278</math><br>
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.
}}


c) dass '''höchstens''' 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.
{{Lösung versteckt|1= Höchtens heißt, es können 0,1,2,3, ...,680 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.<br>In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert.<br>[[Datei:NeuDrei.png|600px]]<br>
Nutze die Verteilungsfunktion (siehe Übung 1).<br> Zur Berechnung nutze deinen Taschenrechnern! (Hinweis: Bei den meisten Taschenrechner ist es die Funktion binomcdf(n,p,k))<br>
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206</math><br>
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06. %
}}


d) dass '''mindestens''' 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.
<div class="lueckentext-quiz">
{{Lösung versteckt|1= Mindestens heißt, es können 740, 741, ...,1000 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.<br> In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert. <br> [[Datei:NeuVier.png|600px]]
Mindestwahrscheinlichkeiten werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:<br> <math>P(X\geq k)= 1-P(X\leq k-1)</math><br> Die Wahrscheinlichkeit für höchstens kannst du wieder mit dem Taschenrechner berechnen. Hinweis! Merke dir diesen Trick! Du brauchst ihn später noch beim Signifikanztest.<br>
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>P(X\geq740)=1-P(X\leq739)=0,0191</math><br>  
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.
}}


|3=Arbeitsmethode}}
Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man
Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen
Zahl multiplizieren bzw. dividieren.


'''Super gemacht! Dann geht es jetzt weiter mit dem Signifikanztest! '''
</div>
{{Fortsetzung|weiter=Grundidee vom Signifikanztest|weiterlink=Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Grundidee_vom_Signifikanztest}}

Version vom 23. August 2021, 18:28 Uhr


Lernpfad

Herzlich willkommen im Lernpfad Prozente und Prozentrechnung!


Dieser Lernpfad soll dir dabei helfen, dein Wissen aus der Bruchrechnung auf die Prozentrechnung zu übertragen und deine Vorstellung von Prozenten auf- bzw. auszubauen.

Das Schöne daran ist, dass du vieles von dem, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst, hier direkt anwenden kannst.

Merke

Der Begriff "Prozent" heißt dabei nichts anderes als "von Hundert". Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist. Es gibt also keinen Grund, vor der Prozentrechnung Angst zu haben!

Also: Leg los!

Wiederholung: Bruchteil, Anteil und Ganzes

Info

Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Noch einmal: Die Prozentrechnung ist nichts anderes als ein Sonderfall der Bruchrechnung.


Beispiel

In diesem Beispiel schauen wir uns noch einmal drei Viertel eines Kreises an.

Darstellung BAG Kreis.png

In der Prozentrechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst.
Das Ganze nennt sich hier der Grundwert (abgekürzt mit einem großen G), der Bruchteil entspricht dem Prozentwert (abgekürzt mit einem großen W) und der Anteil wird hier Prozentsatz (kurz p %)" genannt und nicht mehr als Bruch, sondern als Zahlenwert mit einem Prozentzeichen (%) dahinter angegeben.

506


Lückentext

Versuche zur Verinnerlichung zu Beginn einmal, diesen Lückentext auszufüllen. Klicke dafür einfach in die entsprechenden Lückenfelder und wähle den Begriff aus, den du für richtig hältst. Überprüfe am Ende deine Eingaben durch einen Klick auf den blauen Haken unten rechts!

Brüche und Prozentsätze zuordnen

Üben

In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!

Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!

Nachdem du dich nun noch einmal mit dem Vergleichen von Brüchen und Prozentsätzen befasst hast, kannst du dich hier einer Reihe von Aufgaben widmen, in welchen du Muster und Bilder siehst, von denen einige Teile eingefärbt sind.
Gib in den entsprechenden Feldern die Anteile als Bruch sowie die Prozentsätze an!
Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.

Arbeiten mit dem Prozentstreifen

Info

Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
Bruchstreifen.png
In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem Prozentstreifen.
Direkt unter diesem Text findest du einen solchen interaktiven Prozentstreifen, an dem du zunächst frei experimentieren kannst.
Du kannst mit den Schiebereglern sowohl die Länge des Prozentstreifens, als auch den gewünschten Prozentsatz verändern.
Unter dem Prozentstreifen wird dir dann immer der entsprechende Prozentwert angegeben.
Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit dem Prozentstreifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Prozentstreifen zu klein sein sollte.


Üben

Versuche nun, die folgenden Aufgaben zu lösen.

Den Prozentwert berechnen

Merke

Sind Grundwert G und Prozentsatz p % gegeben, lässt sich der Prozentwert W ganz einfach wie folgt berechnen:

Beachte dabei, dass p in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!

Den Prozentwert berechnen

Merke

Sind Grundwert G und Prozentsatz p % gegeben, lässt sich der Prozentwert W ganz einfach wie folgt berechnen:

Beachte dabei, dass p in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!

Den Prozentwert berechnen

Merke

Sind Grundwert G und Prozentsatz p % gegeben, lässt sich der Prozentwert W ganz einfach wie folgt berechnen:

Beachte dabei, dass p in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!


Beim Erweitern und Kürzen muss man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren bzw. dividieren.

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