Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter und Trigonometrische Funktionen/Einfluss von a: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Trigonometrische Funktionen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__
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===FAQ===  
===FAQ===  
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]


<br>
===Einfluss von a===


===Station 1: Erforsche den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!===


'''Kompetenzen'''
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ a </math> in
:#Auf dieser Seite lernst du welche Bedeutung die Parameter a,b,c und d bei der allgemeinen Sinusfunktion und Kosinusfunktion haben.  
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>.
:#Du erkennst die Auswirkungen auf den Graphen der durch einen Term gegebenen Funktion.  
{{Box|1=Aufgabe A1|2=
:#Du kannst zu gegebenen Funktionstermen die richtigen Graphen finden und selbst zeichnen.  
<ggb_applet height="450" width="900" id="yye6hqbw" /> <br>
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ a </math> ändern. <br>
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ a = 3  </math> und <math> \ a = -1 </math> sowie <math> \ a = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>\ y</math>-Achse. Genauer:
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \ a </math> gestreckt.  
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \ a </math> gestaucht.  
* <span style="background-color:yellow;"> Falls <math> \ a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>\ x</math>-Achse gespiegelt.
Der Betrag von <math> \ a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.|3=Merksatz}}
</span>


[[Bild:N_sin_a.jpg|center]]
[[Bild:N_sin_a-.jpg|center]]
}}


{|
|
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit vier Spalten für den Einfluss von <math>a, b, c</math> und <math>d</math> anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.
||<!--{{#ev:youtube|NcVt-bFxu04|150}}-->
|}


----
{{Box|1=Aufgabe A2|2=


{|
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! style="background-color:#ffff00;" | Einfluss von <math>a</math> !!  style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math>b</math>  !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math>c</math>  !!  style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math>d</math>
|-
|   
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen/Einfluss von a|hier]] den Einfluss von
 
:<math>a </math>
 
auf die Graphen der Funktionen
 
:<math>x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>
 
und
 
:<math> x \rightarrow a\cdot \cos x  </math>.
||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen/Einfluss von b|hier]] den Einfluss von
 
:<math>b</math>
 
auf die Graphen der Funktionen
 
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
 
und
 
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.
||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen/Einfluss von c|hier]] den Einfluss von
 
:<math>c</math>
 
auf die Graphen der Funktionen
 
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>
 
und
 
:<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>.
||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen/Einfluss von d|hier]] den Einfluss von
 
:<math>d</math>
 
auf die Graphen der Funktionen
 
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>
 
und
 
:<math> x \rightarrow \cos x + d </math>.
|}
||<!--{{#ev:youtube|sSv2C9v6jPc|150}}-->
|}
 
----
 
'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''
 
 
{{Box|1= Aufgabe 1|2=
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen <math>\,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)</math> und <math>\,\!x \rightarrow \cos(x)</math> in dein Heft oder mit Hilfe von diesem [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html Applet] und betrachte sie! Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!|Tipp zum Zeichnen ins Heft|Tipp ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
{{Box|1=Merke|2=
<span style="background-color:yellow;"> Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem man z.B. den Graphen der Sinusfunktion um <math>\frac{\pi}{2}</math> nach links verschiebt.  
Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.|3=Merksatz}}
|2=Lösung zu Aufgabe 1|3=Ausblenden}}
 


Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.


{{Box|1= Merke|2=
Eine mögliche formale Begründung:
Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Sinusfunktion</span> lautet


:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math>'''&nbsp;</span>.
<math>a\cdot \sin x = 0</math> mit <math>a\neq 0</math>


Entsprechend lautet die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Kosinusfunktion</span>  
<math>\Leftrightarrow \sin x = 0</math>
d.h. die Nullstellen bleiben gleich. Ferner wird jeder Funktionswert mit dem gleichen Faktor multipliziert. Ist der Betrag dieses Faktors größer als 1, so wird der Graph in Richtung der y-Achse um diesen Faktor gestreckt, ist er kleiner als 1, so wird er entsprechend gestaucht. Ist der Faktor negativ, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.}}


:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d </math>'''&nbsp;</span>.


Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c,d \in \R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a,b\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.|3=Merksatz}}
{{Box|1=Aufgabe A3|2=


Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!


{{Box|1=Aufgabe 2|2=
Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.


<center>
<quiz display="simple">
<ggb_applet width="690" height="517"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> <br>
}
</center>|3=Arbeitsmethode}}
| <math>\ a<-1; </math> | <math> -1<\ a<0; </math> | <math> 0<\ a<1; </math> | <math> 1<\ a</math>  


---- Verschiebung nach oben
---- Verschiebung nach unten
---- Verschiebung nach rechts
---- Verschiebung nach links
---- Streckung in <math> \ x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
---- Stauchung in <math> \ x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
+--+ Streckung in <math> \ y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
-++- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
++-- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse


{{Box|1=Aufgabe 3|2=
</quiz>
Parameter gesucht! Je einer der Parameter <math>a,  b, c </math> und <math>d</math> wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!


<div class="lueckentext-quiz">
Die Nullstellen, Extrema und die Periode verändern sich nicht, falls <strong> a </strong> varriert wird, die Wertemenge jedoch schon.<br>
Variiert man <strong> c </strong>, so verändern sich die Nullstellen und Extrema, aber nicht die Periode und die Wertemenge.<br>
Ändern sich die Nullstellen und die Wertemenge, wobei die Extrema und die Periode bleiben, dann wird <strong> d </strong> variiert.<br>
Nullstellen, Extrema und Periode ändern sich, die Wertemenge bleibt aber gleich, falls <strong> b </strong> variiert wird.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}




{{Box|1=Aufgabe 4|2=
* In diesem <!-- [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_funerk3.html Applet] --> [http://www.mathe-online.at/galerie/fun2/fun2.html#funerk3 Applet] (Klicke dann dort auf '''Funktionen erkennen 3'''!) kannst du zeigen, ob du zu gegebenen Funktionstermen die zugehörigen Graphen findest.
* Memory
|3=Arbeitsmethode}}
<div class="memo-quiz">


{|
Nun betrachten wir den Einfluss von <math> \ a </math> in
|-
| <big> ''' <math>-\cos \frac{x}{2}</math> '''</big>  || [[Bild:Test sin 1.jpg|120px]]
|-
| <big> ''' <math>-0,5 \cdot \sin (2x)</math> '''</big>  || [[Bild:Test sin 2.jpg|120px]]
|-
| <big> ''' <math>2 \cdot\sin x</math> '''</big> || [[Bild:Test sin 3.jpg|120px]]
|-
| <big> ''' <math>\sin x</math> '''</big>  || [[Bild:Test sin 4.jpg|120px]]
|-
| <big> ''' <math>\cos x</math> ''' </big> || [[Bild:Test sin 5.jpg|120px]]
|-
| <big> '''<math>\cos(x+\frac{\pi}{4})</math>'''</big>  || [[Bild:Test sin 6.jpg|120px]]
|}


</div>
:<math> x \rightarrow a\cdot \cos x  </math>.  
 
{{Box|1=Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe Mind Map|2=
Nun sollst du ein Mind Map über die in dieser Station gelernten Zusammenhänge erstellen. Am besten verwendest du dazu dein Heft im Querformat und zeichnest am linken Rand in die Mitte einen Kreis, in den du Einfluss der Parameter schreibst. Von dem Kreis ausgehend kannst du vier Äste nach rechts zeichnen, auf denen du die Parameter notierst. An diese Äste kannst du dann Zweige hängen, die sich natürlich weiter verästeln können. <br>
|3=Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1=[[Bild:Übersicht.png|800px|center]]|2=Lösung zu Aufgabe 5|3=Ausblenden}}


{{Box|1=Aufgabe A4|2=


{{Box|1=Aufgabe 6 - Zusatzaufgabe Eselsbrücke|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="k8rxjyxa" />  <br>
Lisa und Ben haben ein gemeinsames Lieblingsfach – Mathematik. Zusammen haben sie sich folgende Eselsbrücke überlegt:
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe A1 noch einmal für <math>cos</math>.
:[[Bild:Merkregel.jpg|300px]]
Dabei stehen die Großbuchstaben für die Parameter <math> a, b, c </math> und <math>d</math> der allgemeinen Sinusfunktion. Verstehst du, was sie mit ihren Aufzeichnungen meinen? Erkläre mindestens einen Teilbereich deinem Nachbarn! Wenn du die Eselsbrücke hilfreich findest, notiere sie in dein Heft!<br>
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> \ a </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
[[Bild:N_cos_a.jpg|center]]
}}




{{Lösung versteckt|1=Lisa und Ben haben sich eine Eselsbrücke überlegt, die aus drei Teilen besteht. Die A´s und B´s links, das CD rechts und dem Hilfssatz unten.
----
 
* Zunächst betrachten wir die A´s und B´s links: Dort haben Lisa und Ben drei senkrechte gepunktete Striche mit den Beschriftungen -1, 0 und 1 gezeichnet. Diese Beschriftungen sind so zu verstehen, wie die Beschriftungen auf einem Zahlenstrahl.
** Das erste A steht also für den Parameter a, der kleiner als -1 ist. Der Graph der Sinusfunktion ist für a < -1 in y-Richtung gestreckt und zusätzlich an der x- Achse gespiegelt. Deshalb ist in der Eselsbrücke das A schmäler und falsch rum dargestellt, also wie der Graph in „y-Richtung“ gestreckt und an der „x-Achse“ gespiegelt.
** Das zweite A steht für den Parameter a, der größer als -1 und kleiner als 0 ist. Der Graph einer Sinusfunktion für -1 < a < 0 ist in y-Richtung gestaucht und zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Deshalb ist in der Eselsbrücke das A kleiner und falsch rum dargestellt, also wie der Graph in „y-Richtung“ gestaucht und an der „x-Achse“ gespiegelt.
** ….
 
* Mit dem C und D rechts meinen Lisa und Ben, dass der Graph für ein positives c nach links und für ein negatives c nach rechts verschoben wird. Ferner wird der Graph für ein positives d nach oben und für ein negatives d nach unten verschoben. Daher die + und – mit den Pfeilen in der Eselsbrücke.
 
* Lisa´s Mutter ist Fan der Musikgruppe ABBA. Daher kennt Lisa das Logo von ABBA mit den gespiegelten ersten zwei Buchstaben. Spontan hat sie ein neues Logo für die Gruppe entworfen. Dazu hat sie in die A´s und B´s links den Mund eines Smily´s gezeichnet und die auf dieser Linie liegenden Buchstaben hintereinander geschrieben.
 
 
Hinweis:
 
In der Eselsbrücke wurde versucht, die gelb hinterlegten Inhalte in der [[Trigonometrische Funktionen/Einfluss_von_a#Lösungen|Lösung zu Aufgabe A1]], in der [[Trigonometrische Funktionen/Einfluss_von_b#Lösungen|Lösung zu Aufgabe B1]], in der [[Trigonometrische Funktionen/Einfluss_von_c#Lösungen|Lösung zu Aufgabe C1]] und in der [[Trigonometrische Funktionen/Einfluss_von_d#Lösungen|Lösung zu Aufgabe D1]] zu veranschaulichen.|2=Lösung zu Aufgabe 6|3=Ausblenden}}


<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe A1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!


----
----


<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast! Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe 1 auch ein Hefteintrag "versteckt" ist!
{{Fortsetzung|weiter=Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}}
 
 
Weiter geht es mit '''Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr'''
 
{{Fortsetzung|weiter=Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|weiterlink=../Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen}}


[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Version vom 23. November 2018, 14:18 Uhr

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von a

Wir betrachten nun den Einfluss von in

.
Aufgabe A1
GeoGebra

  1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von ändern.
  2. Stelle den Schieberegler auf ein. Wie ändert sich der Graph?
  3. Überlege dir, wie sich die Werte und sowie auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
  4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Merke

Man erhält den Graph der Funktion

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der -Achse. Genauer:

  • Ist der Betrag von größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in -Richtung mit dem Faktor Betrag von gestreckt.
  • Ist der Betrag von kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in -Richtung mit dem Faktor Betrag von gestaucht.
  • Falls negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt.
Der Betrag von wird auch als Amplitude bezeichnet.

N sin a.jpg
N sin a-.jpg


Aufgabe A2
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!

Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.


Eine mögliche formale Begründung:

mit

d.h. die Nullstellen bleiben gleich. Ferner wird jeder Funktionswert mit dem gleichen Faktor multipliziert. Ist der Betrag dieses Faktors größer als 1, so wird der Graph in Richtung der y-Achse um diesen Faktor gestreckt, ist er kleiner als 1, so wird er entsprechend gestaucht. Ist der Faktor negativ, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.


Aufgabe A3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!


Verschiebung nach oben
Verschiebung nach unten
Verschiebung nach rechts
Verschiebung nach links
Streckung in - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
Stauchung in - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
Streckung in - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
Stauchung in - Richtung / Verkleinerung der Amplitude
Spiegelung an - Achse


Nun betrachten wir den Einfluss von in

.


Aufgabe A4
GeoGebra

Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe A1 noch einmal für .

Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

N cos a.jpg


Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe A1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!

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