Trigonometrische Funktionen/Einfluss von a und Trigonometrische Funktionen/Einfluss von d: Unterschied zwischen den Seiten

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===FAQ===  
===FAQ===  
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]


===Einfluss von a===
===Einfluss von d===


Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ d </math> in


Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ a </math> in
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>.  
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>.  
 
{{Box|1=Aufgabe A1|2=
{{Box|1=Aufgabe D1|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="yye6hqbw" /> <br>
<ggb_applet height="450" width="900" id="jr7hupnz" /> <br>
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ a </math> ändern. <br>
 
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ d </math> ändern. <br>
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ a = 3  </math> und <math> \ a = -1 </math> sowie <math> \ a = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ d = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.|3=Arbeitsmethode}}
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ d = 2 </math> und <math> \ d = -1 </math> sowie <math> \ d = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
{{Box|1=Merek|2=
Man erhält den Graph der Funktion  
Man erhält den Graph der Funktion  
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>\ y</math>-Achse. Genauer:
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>\ y</math>-Achse. Genauer:
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \ a </math> gestreckt.  
* <span style="background-color:yellow;"> Ist <math>\ d</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> \ d </math> nach oben verschoben.  
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \ a </math> gestaucht.
* <span style="background-color:yellow;"> Ist <math>\ d</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> \ d </math> nach unten verschoben.|3=Merksatz}}  
* <span style="background-color:yellow;"> Falls <math> \ a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>\ x</math>-Achse gespiegelt.
Der Betrag von <math> \ a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.|3=Merksatz}}  
</span>
</span>


[[Bild:N_sin_a.jpg|center]]
[[Bild:N_sin_d.jpg|center]]
[[Bild:N_sin_a-.jpg|center]]
 
[[Bild:N_sin_c.jpg|center]]
}}
}}


 
{{Box|1=Aufgabe D2|2=
{{Box|1=Aufgabe A2|2=


Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.




Eine mögliche formale Begründung:
Eine mögliche Begründung:


<math>a\cdot \sin x = 0</math> mit <math>a\neq 0</math>
Zu jedem Funktionswert wird ein bestimmter Wert addiert, d.h. der Graph der Funktion wird um diesen Wert nach oben verschoben. Ist dieser Wert negativ, so bedeutet dies, dass von jedem Funktionswert ein bestimmer Wert abgezogen wird, d.h. der Graph wird entsprechend um diesen Wert nach unten verschoben.
}}


<math>\Leftrightarrow \sin x = 0</math>
{{Box|1=Aufgabe D3|2=
d.h. die Nullstellen bleiben gleich. Ferner wird jeder Funktionswert mit dem gleichen Faktor multipliziert. Ist der Betrag dieses Faktors größer als 1, so wird der Graph in Richtung der y-Achse um diesen Faktor gestreckt, ist er kleiner als 1, so wird er entsprechend gestaucht. Ist der Faktor negativ, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe A3|2=


Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!


<quiz display="simple">


<quiz display="simple">
}
}
| <math>\ a<-1; </math> | <math> -1<\ a<0; </math> | <math> 0<\ a<1; </math> | <math> 1<\ a</math>  
| <math>\ d<-1; </math> | <math> -1<\ d<0; </math> | <math> 0<\ d<1; </math> | <math> 1<\ d</math>  


---- Verschiebung nach oben
--++ Verschiebung nach oben
---- Verschiebung nach unten
++-- Verschiebung nach unten
---- Verschiebung nach rechts
---- Verschiebung nach rechts
---- Verschiebung nach links
---- Verschiebung nach links
---- Streckung in <math> \ x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
---- Streckung in <math> \ x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
---- Stauchung in <math> \ x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
---- Stauchung in <math> \ x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
+--+ Streckung in <math> \ y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
---- Streckung in <math> \ y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
-++- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
---- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
++-- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse
---- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse
 
---- Spiegelung an <math> \ y </math>- Achse
</quiz>
</quiz>


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Nun betrachten wir den Einfluss von <math> \ a </math> in  
Nun betrachten wir den Einfluss von <math> \ d </math> in


:<math> x \rightarrow a\cdot \cos x </math>.  
:<math> x \rightarrow \cos x + d </math>.  


{{Box|1= Aufgabe D4|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="djhp9ckr" />  <br>


{{Box|1=Aufgabe A4|2=
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe D1 noch einmal <math>cos</math>.
 
<ggb_applet height="450" width="900" id="k8rxjyxa" />  <br>
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe A1 noch einmal für <math>cos</math>.
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> \ a </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> \ d </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
[[Bild:N_cos_a.jpg|center]]
[[Bild:N_cos_d.jpg|center]]}}
}}
 


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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe A1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!
<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe D1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!


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Version vom 23. November 2018, 14:18 Uhr

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von d

Wir betrachten nun den Einfluss von in

.


Aufgabe D1
GeoGebra

  1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von ändern.
  2. Stelle den Schieberegler auf ein. Wie ändert sich der Graph?
  3. Überlege dir, wie sich die Werte und sowie auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
  4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Merek

Man erhält den Graph der Funktion

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der -Achse. Genauer:

  • Ist positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von nach oben verschoben.
  • Ist negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von nach unten verschoben.

N sin d.jpg
N sin c.jpg


Aufgabe D2
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!

Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.


Eine mögliche Begründung:

Zu jedem Funktionswert wird ein bestimmter Wert addiert, d.h. der Graph der Funktion wird um diesen Wert nach oben verschoben. Ist dieser Wert negativ, so bedeutet dies, dass von jedem Funktionswert ein bestimmer Wert abgezogen wird, d.h. der Graph wird entsprechend um diesen Wert nach unten verschoben.


Aufgabe D3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Verschiebung nach oben
Verschiebung nach unten
Verschiebung nach rechts
Verschiebung nach links
Streckung in - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
Stauchung in - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
Streckung in - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
Stauchung in - Richtung / Verkleinerung der Amplitude
Spiegelung an - Achse
Spiegelung an - Achse


Nun betrachten wir den Einfluss von in

.


Aufgabe D4
GeoGebra

Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe D1 noch einmal .

Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

N cos d.jpg

Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe D1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!

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