Integralrechnung/Aufgaben und Integralrechnung/Integrationsregeln: Unterschied zwischen den Seiten

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==Aufgaben==
<!--==Integrationsregeln==-->
{{Aufgaben-M|10|
Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.
Bestimme jeweils eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu folgenden Funktionen <math>f(x)</math> durch '''umgekehrte Differentiation'''.
 
# <math>f(x)=x^2</math>
{{Aufgaben-M|11|
# <math>f(x)=x^3</math>
Kannst Du eine Regel oder Formel für die Integrale unter folgenden Punkten auf Basis Deines bisherigen Wissens angeben? Die Regel soll so allgemein gehalten sein, dass sie eine Berechnung beliebiger Integrale der folgenden Formen erlauben!
# <math>f(x)=3x</math>
# Welchen Wert hat das Integral einer Summe von Funktionen? Was gilt also für <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math>?
# <math>f(x)=x^5</math>
# Welchen Wert hat das Integral eines Produktes aus einer Zahl und einer Funktion? Was gilt also für <math>\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math>?
# <math>f(x)=5x^2</math>
# <math>f(x)=x^4</math>
# <math>f(x)=2</math>
# <math>f(t)=2t^5</math>
# <math>f(x)=\frac{2}{5x^2}</math>
# <math>f(x)=\cos{(3x)}</math>    (nur Lk)
# <math>f(x)=x+2\sin{(2x)}</math>    (nur Lk)
# <math>f(x)=e^x</math>
# <math>f(x)=e^{-x}</math>
# <math>f(x)=2\cdot e^x</math>
# <math>f(x)=e^{-3x}</math>
# <math>f(x)=\frac{1}{3}e^{x+5}</math>
# <math>f(x)=1+e^{\frac{1}{2}x}</math>
# <math>f(x)=\frac{5}{2}e^{2x-2}</math>
}}
}}
{{Aufgaben-M|12|
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra (Applet oder [http://www.geogebra.org geogebra.org] oder installiert), indem Du die Integrale zweier beliebiger Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst.
}}
<br>
<div align="center">
<ggb_applet height="600" width="600" useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
</div>
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Es gilt die ''Summenregel für Integrale'':<br>
<math>
\int\limits_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_a^b g(x) \ \mathrm{d}x
</math>. <br>
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert.
}}}}
<br>
{{Aufgaben-M|13|
Warum ist die Lösung von Aufgabe 12 plausibel?
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!
}}
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse.
# Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math>
<br>
Zur Schreibweise: <math>\sum</math> ist das Summenzeichen (großes griechisches Sigma), es gilt: <math>\sum_{i=0}^n f(x_i) = f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)</math>, d.h. der Index <math>i</math> durchläuft alle Zahlen von 0 (untere Summengrenze) bis <math>n</math> (obere Summengrenze). Es wird dann die Summe der einzelnen <math>f(x_i)</math> gebildet.
}}}}
<br>
{{Aufgaben-M|14|
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut Geogebra (Applet oder [http://www.geogebra.org geogebra.org] oder installiert), indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>c \cdot f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst, wobei <math>c</math> irgendeine reelle Zahl ist.
}}
<br>
<div align="center">
<ggb_applet height="600" width="600" useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
</div>
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Es gilt die '''Faktorregel für Integrale''': <br>
<math>
\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x
</math>. <br>
Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion.
}}}}
<br>
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|1=
{{Aufgaben-M|15|
Die allgemeinen Lösungen lauten:
Führe wieder die Plausbilitätsüberlegungen zur Lösung von Aufgabe 14!
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!
}}
<br>
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# <math>F(x)=\frac{1}{3} \cdot x^3</math>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# <math>F(x)=\frac{1}{4} \cdot x^4</math>
# Die Funktionswerte der Funktion <math>f(x)</math> werden mit dem konstanten Faktor <math>c</math> gestreckt. Somit werden auch die Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse mit dem konstanten Faktor <math>c</math> gestreckt.
# <math>F(x)=\frac{3}{2} \cdot x^2</math>
# Der Grenzwert eines Produkts aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des Faktors und des Grenzwertes, falls dieser existiert: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} c \cdot f(x_i) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ c \cdot \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x = c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{6} \cdot x^6</math>
<br>
# <math>F(x)=\frac{5}{3} \cdot x^3</math>
Bemerkung: Das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund des Distributivgesetzes, das zweite aufgrund der Grenzwertsätze.
# <math>F(x)=\frac{1}{5} \cdot x^5</math>
# <math>F(x)= 2x</math>
# <math>F(t)=\frac{1}{3} \cdot t^6</math>
# <math>F(x)=-\frac{2}{5}x^{-1}=-\frac{2}{5x}</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{3}\sin{(3x)}</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{2} \cdot x^2 - \cos{(2x)}</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{3} e^{x+5}</math>
# <math>F(x)=x+2e^{\frac{1}{2}x}</math>
# <math>F(x)=\frac{5}{4}e^{2x-2}</math>
}}}}
}}}}
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{{Frage|
{{Aufgaben-M|16|
Wie lautet die (allgemeine) Stammfunktion zur allgemeinen Potenzfunktion <math>f(x)= a \cdot x^n</math>?
# Bearbeite S.70,Nr.14 im Buch (LK-Buch) oder S.54,Nr.14 (GK-Buch) und überzeuge Dich dann von der Gültigkeit der '''Intervalladditivität des Integrals''' mit Hilfe von Geogebra, indem Du Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sowie Grenzen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> so wählst, dass die Zusammenhänge ersichtlich werden! Obige Seitenzahlen beziehen sich auf den Lambacher Schweizer (Mathematik für Gymnasien) für die Qualifikationsphase in NRW.
# Beschreibe Deine Vorgehensweise in 1. Schritt für Schritt in kurzen Stichpunkten!
}}
}}
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{{Lösung versteckt|{{Antwort|
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
<math>F(x)= \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c</math>
# Ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, dann gilt nach dem 1. Hauptsatz:
  <br>
  <math>\int\limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_{b}^{c} f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ 
  F(x) \right]_a^b + \left[ F(x) \right]_b^c = \left[ F(b) - F(a) \right] + \left[ F(c) - F(b)
  \right] = F(c) - F(a) = \int\limits_{a}^{c} f(x) \ \mathrm{d}x</math>
# Eine Lösung könnte beispielsweise folgendermaßen aussehen:
## Definiere in Geogebra zwei beliebige Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>.
## Definiere beliebige Intervallgrenzen <math>a, \ b \ \mathrm{und} \ c</math>.
## Verschiebe die Intervallgrenzen und beobachte die Werte der Integrale bzw. des Integrals.
## Erkenne, dass ...
}}}}
}}}}
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[[Mathematik-digital/Integral/Stammfunktion|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Mathematik-digital/Integral/Hauptsatz|>>Weiter>>]]
[[../Hauptsatz|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[../Aufgaben II|>>Weiter>>]]
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{{Navigation Lernpfad Integral}}
{{Navigation Lernpfad Integral}}

Version vom 8. November 2016, 16:44 Uhr

Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.

Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Aufgaben-M

GeoGebra


Vorlage:Lösung


Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Lösung


Vorlage:Aufgaben-M

GeoGebra


Vorlage:Lösung


Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Lösung


Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Lösung



Vorlage:Navigation Lernpfad Integral

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