Integralrechnung/Integrationsregeln und Chaos und Fraktale: Unterschied zwischen den Seiten

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<!--==Integrationsregeln==-->
{{Lernpfad|Dieses Themengebiet wurde für den '''Mathe-Tag''' an der '''Universität Würzburg''' ausgearbeitet.  Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam  mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
Im Folgenden wirst Du einige elementare Integrationsregeln kennenlernen, die Du beim Integrieren ständig benötigen wirst.
;Hinweis
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Link klickst.}}
{{Babel-1|M-digital}}
== Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv ==
Informiere dich [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/ hier] über die Begriffe Chaos und Fraktale.


{{Aufgaben-M|11|
Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.
Kannst Du eine Regel oder Formel für die Integrale unter folgenden Punkten auf Basis Deines bisherigen Wissens angeben? Die Regel soll so allgemein gehalten sein, dass sie eine Berechnung beliebiger Integrale der folgenden Formen erlauben!
# Welchen Wert hat das Integral einer Summe von Funktionen? Was gilt also für <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math>?
# Welchen Wert hat das Integral eines Produktes aus einer Zahl und einer Funktion? Was gilt also für <math>\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x</math>?
}}


{{Aufgaben-M|12|
'''Beispiele:'''
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral einer Summe von Funktionen gebildet wird. Benutze dafür wieder die Software Geogebra (Applet oder [http://www.geogebra.org geogebra.org] oder installiert), indem Du die Integrale zweier beliebiger Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>\int\limits_a^b f(x) + g(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst.
* Zoomfahrt in eine Mandelbrot-Menge als [http://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom1024x768.avi Avi-Video] oder als [http://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge#Bildergalerie_einer_Zoomfahrt Bildergalerie]
}}
* Der [http://de.wikipedia.org/wiki/Romanesco Romanesco-Kohlkopf] ist hoch-fraktal.
 
 
=== Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel ===
Öffne das folgenes [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:
* Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
* Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
* Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
*Woher kommt der Name [[Mathematik-digital/Pythagorasbaum|Pythagorasbaum]]?
 
=== Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel===
Verändere nun in dem [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] auch den Winkel:
*Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
*Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
*Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?
===Spielen im pythagoräischen Garten ===
Durch ziehen am roten Punkt dieses [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytree/pytree.html Applets] kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?
 
=== Farne ===
[[bild:Farn.jpg|Farn|left]]
Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.<br>
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes [http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/fraktaler_baum.html Applet].<br>
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken. <br>
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.
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<br>
<div align="center">
<ggb_applet height="600" width="600" useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
</div>
<br>
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Es gilt die ''Summenregel für Integrale'':<br>
<math>
\int\limits_a^b \left( f(x) + g(x) \right) \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_a^b g(x) \ \mathrm{d}x
</math>. <br>
Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der einzelnen Integrale der jeweiligen Funktionen. Eine Summe wird also gliedweise integriert.
}}}}
<br>
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{{Aufgaben-M|13|
Warum ist die Lösung von Aufgabe 12 plausibel?
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!
}}
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
<br>  
# Die Funktionswerte der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> addieren sich zu den Funktionswerten einer neuen Funktion <math>f(x) + g(x)</math>. Somit addieren sich auch die Flächeninhalte zwischen den Graphen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> und der x-Achse.
# Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der einzelnen Grenzwerte, falls die Grenzwerte existieren: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} \left( f(x_i)+g(x_i) \right) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} g(x_i) \cdot \Delta x</math>
<br>
<br>
Zur Schreibweise: <math>\sum</math> ist das Summenzeichen (großes griechisches Sigma), es gilt: <math>\sum_{i=0}^n f(x_i) = f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)</math>, d.h. der Index <math>i</math> durchläuft alle Zahlen von 0 (untere Summengrenze) bis <math>n</math> (obere Summengrenze). Es wird dann die Summe der einzelnen <math>f(x_i)</math> gebildet.
}}}}
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{{Aufgaben-M|14|
Formuliere selbstständig eine '''allgemeine''' Regel dafür, wie das Integral eines Produktes einer Zahl <math>c</math> mit einer Funktion <math>f(x)</math> gebildet wird. Benutze dafür erneut Geogebra (Applet oder [http://www.geogebra.org geogebra.org] oder installiert), indem Du das Integral einer beliebigen Funktion <math>c \cdot f(x)</math> in einem beliebigen Intervall <math>[a;b]</math> bestimmst und mit <math>c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x</math> vergleichst, wobei <math>c</math> irgendeine reelle Zahl ist.
}}
<br>
<br>
<div align="center">
<ggb_applet height="600" width="600" useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
</div>
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Es gilt die '''Faktorregel für Integrale''': <br>
<math>
\int\limits_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x
</math>. <br>
Das Integral eines Produktes aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des konstanten Faktors und des Integrals der Funktion.
}}}}
<br>
<br>
{{Aufgaben-M|15|
Führe wieder die Plausbilitätsüberlegungen zur Lösung von Aufgabe 14!
# Begründe anschaulich anhand der geometrischen Zusammenhänge!
# Begründe anhand der Rechengesetze für Grenzwerte!
}}
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# Die Funktionswerte der Funktion <math>f(x)</math> werden mit dem konstanten Faktor <math>c</math> gestreckt. Somit werden auch die Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse mit dem konstanten Faktor <math>c</math> gestreckt.
# Der Grenzwert eines Produkts aus einem konstanten Faktor und einer Funktion ist gleich dem Produkt des Faktors und des Grenzwertes, falls dieser existiert: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} c \cdot f(x_i) \cdot \Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \ c \cdot \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x = c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \ \sum_{i=0}^{\infty} f(x_i) \cdot \Delta x</math>
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Bemerkung: Das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund des Distributivgesetzes, das zweite aufgrund der Grenzwertsätze.
}}}}
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{{Aufgaben-M|16|
<br>  
# Bearbeite S.70,Nr.14 im Buch (LK-Buch) oder S.54,Nr.14 (GK-Buch) und überzeuge Dich dann von der Gültigkeit der '''Intervalladditivität des Integrals''' mit Hilfe von Geogebra, indem Du Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sowie Grenzen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> so wählst, dass die Zusammenhänge ersichtlich werden! Obige Seitenzahlen beziehen sich auf den Lambacher Schweizer (Mathematik für Gymnasien) für die Qualifikationsphase in NRW.
# Beschreibe Deine Vorgehensweise in 1. Schritt für Schritt in kurzen Stichpunkten!
}}
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# Ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, dann gilt nach dem 1. Hauptsatz:
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  <math>\int\limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x + \int\limits_{b}^{c} f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ 
  F(x) \right]_a^b + \left[ F(x) \right]_b^c = \left[ F(b) - F(a) \right] + \left[ F(c) - F(b)
  \right] = F(c) - F(a) = \int\limits_{a}^{c} f(x) \ \mathrm{d}x</math>
# Eine Lösung könnte beispielsweise folgendermaßen aussehen:
## Definiere in Geogebra zwei beliebige Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>.
## Definiere beliebige Intervallgrenzen <math>a, \ b \ \mathrm{und} \ c</math>.
## Verschiebe die Intervallgrenzen und beobachte die Werte der Integrale bzw. des Integrals.
## Erkenne, dass ...
}}}}
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<div align="center">
[[../Hauptsatz|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[../Aufgaben II|>>Weiter>>]]
</div>
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{{Navigation Lernpfad Integral}}
 
=== Weitere Informationen ===
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/PythagorasbaumApplet.html Bunter Baum]
*[http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/pythagorasfraktal.htm Phythagoras-Baum FH Friedeberg]
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/DrachenApplet.html Applet bis Stufe 12]
*[http://www.pk-applets.de/fra/folgen/folge3.html Weitere Farne]
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Pythagoras_Baum.html Applet]
*[http://www.mathe-knapp.de/Applet-Galerie/Bunter%20Pythagorasbaum.html Applet 90°, 3 variable Punkte]
*[http://md-martin.de/schule/informatik/Applets/Applets/Igel/PythagorasBaum.html Applet, Länge, Winkel variabel]
Anwendungen<br>
*[http://www.quarks.de/dyn/3955.phtml Chaos und Verkehr]
*[http://www.quarks.de/dyn/3882.phtml Chaos und Wetter]
*[http://www.quarks.de/dyn/3894.phtml Lebendiges Chaos]
*[http://www.quarks.de/dyn/3903.phtml Ordnung im Chaos (Küstenlinien, Börsenkurse, Apfelmännchen)]
*[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node5.htm Operationen am Farnblatt]
 
== Kurs 2: Drachenfalten einmal anders ==
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
*{{pdf|Drachenfalten_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 2}}
*{{pdf|Drachenfalten_Lösung.pdf|Lösung}}
'''Weitere Links'''
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/entw/entw.htm Animation bis Stufe 4]
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/stuf/dr01.htm Farbiges Applet bis Stufe 14]
*[http://did.mat.uni-bayreuth.de/~alfred/Dragon/d1.html Applet]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra15.gif Stufen 1 - 5]
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra67.gif Stufe 6 und 7]
 
== Kurs 3: Dreimal Sierpinski ==
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
*{{pdf|Sierpinski_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 3}}
*{{pdf|Sierpinski_Lösung.pdf|Lösung}}
'''Weitere Links'''
*[http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/sierpinski_dreieck.html Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6]
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Sierpinski_Dreieck.html Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt]
*[http://matheuropa.lfs-koeln.de/pascal/muster.htm Pascalsches Dreieck]
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/sierpinski.htm noch mehr Sierpinski]
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/pascal.htm Pascal und Sierpinski]
 
{{Mitgewirkt|
*[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]] 22:24, 25. Feb 2007 (CET)
*[[Benutzer:Andrea schellmann|Andrea Schellmann]] 22:32, 25. Feb 2007 (CET)}}

Version vom 25. Februar 2007, 21:32 Uhr

Lernpfad
Chaos und Fraktale
Dieses Themengebiet wurde für den Mathe-Tag an der Universität Würzburg ausgearbeitet. Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
Hinweis
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Link klickst.


Vorlage:Babel-1

Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv

Informiere dich hier über die Begriffe Chaos und Fraktale.

Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.

Beispiele:


Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel

Öffne das folgenes Applet in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:

  • Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
  • Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
  • Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
  • Woher kommt der Name Pythagorasbaum?

Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel

Verändere nun in dem Applet auch den Winkel:

  • Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
  • Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
  • Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?

Spielen im pythagoräischen Garten

Durch ziehen am roten Punkt dieses Applets kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?

Farne

Farn

Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes Applet.
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken.
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.

















Weitere Informationen

Anwendungen

Kurs 2: Drachenfalten einmal anders

Arbeitsblätter mit Lösungen

Weitere Links

Kurs 3: Dreimal Sierpinski

Arbeitsblätter mit Lösungen

Weitere Links

Vorlage:Mitgewirkt

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