Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Drei-Würfel-Problem und Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Seiten

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== Das „Drei-Würfel-Problem“ ==
== Die „Würfel von Efron“ ==


Bild von drei Würfeln einfügen!
{{Kasten Mathematik|Diese bunten Würfel (dargestellt durch ihr Netz) sind nach dem amerikanischen Statistiker ''Bradley Efron'' (geb. 1938) von der Stanford University benannt.




{{Kasten Mathematik|Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von {{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Chevalier_de_Mere|Chevalier de Méré}} (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er  behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind.
[[Datei:4bunteWürfel.jpg]]




Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten:


<math>\left\{ 1,4,6 \right\}, \left\{ 1,5,5 \right\}, \left\{ 2,3,6 \right\}, \left\{ 2,4,5 \right\}, \left\{ 3,3,5 \right\}, \left\{ 3,4,4 \right\}</math>
'''Spielregeln:''' Zwei Spieler wählen {{Hintergrund_orange|nacheinander}} einen Würfel. Danach würfelt jeder einmal. Wer die höhere Punktzahl hat, gewinnt.
}}


Für die Augensumme 12 gibt es ebenfalls sechs verschiedene Möglichkeiten:


<math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math>
{{Aufgaben-M|1|Findest du das Spiel fair?}}


Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den '''Spielregeln'''.


In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. <br!> Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.}}
{{Lösung versteckt|Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.}}




{{Aufgaben-M|3.1|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}}
{{Aufgaben-M|2|Kannst du Ergebnisräume angeben, sodass es sich beim Wurf mit den „Würfeln von Efron“ um ein Laplace-Experiment handelt?}}


Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen!
{{Lösung versteckt|Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel <math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass <math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln <math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).


Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen:
Falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\} </math>. Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich!
}}


{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation]


Lösungshilfen: {{versteckt|
{{Aufgaben-M|3|Pia ist höflich und lässt Anna den Vortritt. Anna sucht sich den roten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel.  
:*Mit Hilfe einer Urnensimulation kannst du unter anderem auch diesen dreifachen Würfelwurf simulieren. (Wie geht das? → 6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit zurücklegen) Führe dies <u>mit</u> und <u>ohne</u> Beachtung der Reihenfolge durch.  


:*Was fällt dir auf?
Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.}}


:*Denke nochmal an „Gustavs Glücksspiel“. Wenn er dir das Spiel mit zwei gleichartigen Würfeln angeboten hätte, hätten sich die Wahrscheinlichkeiten deswegen geändert?
Lösungshinweise: {{versteckt|* Erstelle ein Baumdiagramm.
* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf.
* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 2.}}


:*Das Glücksspiel von Gustav war ein Laplace-Experiment. Ist das „Drei-Würfel-Problem“ auch eines?
{{Lösung versteckt|Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit <math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}</math> . Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach so:


:*Stell dir vor, die Würfel von ''de Méré'' wären unterscheidbar. Was ist nun für die Ergebnismenge wichtig?
<math> p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} </math> .
}}


{{Lösung versteckt|:*Die Ergebnisse von ''de Méré'' sind nicht gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Dies lässt sich aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:  


:*Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich ja auch nicht geändert, nur weil die Würfel anders gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte.
[[Datei:PiaundAnna.jpg]]
}}




Erklärung: 36-Felder-Tafel }}


{{Aufgaben-M|3.2|Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.}}


{{Aufgaben-M|4|Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten!}}


{{Lösung versteckt|:<math>\Omega = \{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,2,1),...,(6,6,4),(6,6,5),(6,6,6)\} </math>
Tipp: Überlege dir alle Möglichkeiten mit zwei Würfeln gegeneinander zu spielen.


:<math>\left|\Omega\right|=6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216</math>
}}




{{Aufgaben-M|3.3|Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse '''E<sub>1</sub>''': „Augensumme 11“ und '''E<sub>2</sub>''': „Augensumme 12“ beim dreifachen Würfelwurf.}}
{{Aufgaben-M|5|Übertrage die Tabelle in dein Heft und trage die fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein:}}


{{Lösung versteckt|
:*Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).


::Beispiel:<math>\{1,4,6\}\ \rightarrow \{(1,4,6),(1,6,4),(4,1,6),(4,6,1),(6,1,4),(6,4,1)\}</math>
'''Für Interessierte:'''
{{Aufgaben-M|6|Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworden werden?}}


:*Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschieden Ergebnisse beachten.
Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}}


:*Für Ergebnisse wie <math>\{3,3,3\}</math>&nbsp;gibt es nur ein Ergebnis.
{{Lösung versteckt|Der gelbe Würfel gewinnt, falls er die sechs zeigt. Also brauchst du diesen Zweig nicht weiter aufzuspalten. Als nächstes gewinnt der blaue Würfel, falls er 5 zeigt, usw.


:<math>\Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %</math>
[[Datei:Baum3.jpg]]
}}


:<math>\Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %</math>


{{Aufgabe|Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.}}


:Da der Unterschied nicht sehr groß ist, müssen ''de Méré'' und seine Freunde sehr oft gewürfelt haben, damit ihnen das Problem aufgefallen ist!
}}




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{{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Efron| <big> → Weiter zu den </big><colorize>Würfeln von Efron!</colorize>]]  [[File:Efron_dice.png|200px]]}}
[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Ziegen| <big> → Weiter zu dem „Ziegen-Problem“! </big> ]]

Version vom 2. September 2009, 19:31 Uhr

Die „Würfel von Efron“

Vorlage:Kasten Mathematik


Vorlage:Aufgaben-M

Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.

Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.


Vorlage:Aufgaben-M

Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).

Falsche Lösung: . Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich!


Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit . Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach so:

.

Dies lässt sich aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:

PiaundAnna.jpg


Erklärung: 36-Felder-Tafel


Vorlage:Aufgaben-M

Tipp: Überlege dir alle Möglichkeiten mit zwei Würfeln gegeneinander zu spielen.


Vorlage:Aufgaben-M


Für Interessierte: Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt

Der gelbe Würfel gewinnt, falls er die sechs zeigt. Also brauchst du diesen Zweig nicht weiter aufzuspalten. Als nächstes gewinnt der blaue Würfel, falls er 5 zeigt, usw.

Baum3.jpg


Aufgabe
Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.



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