Main>Florian Bogner |
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| == Das „Drei-Würfel-Problem“ ==
| | {{Information_ohne_UploadWizard |
| | | |Beschreibung = |
| Bild von drei Würfeln einfügen!
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| {{Kasten Mathematik|Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von {{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Chevalier_de_Mere|Chevalier de Méré}} (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind. | | |Genehmigung = |
| | | |Andere Versionen = |
| | | |Anmerkungen = |
| Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten:
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| <math>\left\{ 1,4,6 \right\}, \left\{ 1,5,5 \right\}, \left\{ 2,3,6 \right\}, \left\{ 2,4,5 \right\}, \left\{ 3,3,5 \right\}, \left\{ 3,4,4 \right\}</math>
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| Für die Augensumme 12 gibt es ebenfalls sechs verschiedene Möglichkeiten:
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| <math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math>
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| In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. <br!> Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.}}
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| {{Aufgabe|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}}
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| {{Aufgaben-M|2|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf!
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| (Info: Bei dieser Aufgabe irrte sich übrigens ''Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz'' (1646 - 1716), einer der letzten Universalgelehrten.)}}
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| Tipp: Was fällt dir an den Würfeln im Spiel auf? Zeichne ein Baumdiagramm für die Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf.
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| {{Lösung versteckt|Die Würfel sind unterschiedlich gefärbt. Man könnte auch sagen: ''1. Wurf ist rot, 2. Wurf ist grün''.
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| Damit wäre die Lösung nach ''de Méré'' der Art, dass es eine Möglichkeit für beide Augensummen gibt, nämlich <math>\left\{ 5,6 \right\}</math> beziehungsweise <math>\left\{ 6,6 \right\}</math>, falsch.
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| Das Baumdiagramm zeigt zwei Wege, welche die Augensumme 11 ergeben. <math>\left\{ 5,6 \right\}, \left\{ 6,5 \right\}</math> <br!> [[Datei:Baum1.jpg]]}}
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| {{Aufgabe|Löse nun Aufgabe 1, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die gesuchten Augensummen beim dreifachen Würfelwurf berechnest.}}
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| Lösungshilfen:
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| * Erstelle die Ergebnismenge, wie ''de Méré'' es gemacht hat. Handelt es sich mit dieser Ergebnissmenge um ein Laplaceexperiment?
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| * Stelle dir vor die Würfel wären unterschiedlich. (Bild!)
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| * Mit Hilfe dieser Urnensimulation kannst du unter anderem einen dreifachen Würfelwurf simulieren. Führe dies mit und ohne Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf?
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| {{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation]
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| (→ Wie geht das?) {{versteckt|6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge.}}
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| *Erstelle nun die Ergebnismenge, sodass es sich um ein Laplace-experiment handelt! Jetzt kannst du unter der Voraussetzung der Gliechwahrscheinlichkeit die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen.
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| {{Lösung versteckt|}}
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| {{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Efron| <big> → Weiter zu den </big><colorize>Würfeln von Efron!</colorize>]] [[File:Efron_dice.png|200px]]}}
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