Hüllkurve

Hüllkurven (1)

Beispiel

Begriffserklärung

Bearbeite zunächst folgendes Applet und versuche herauszufinden, was eine Hüllkurve ist, indem du die einzelnen Anweisungen des Applets befolgst. Fahre erst danach mit diesem Artikel fort.

Am Applet kann man sehen, dass es für jeden x-Wert der Hüllkurve, in unserem Beispiel der Parabel, eine Gerade der Geradenschar gibt, die die Hüllkurve in einem Punkt berührt und dass die Hüllkurve an jeder Stelle ein Element der Geradenschar berührt. Eine weitere Eigenschaft einer Hüllkurve, die man jedoch nur bei starker Vergrößerung der Hüllkurve sieht, ist, dass sich zwei benachbarte Geraden der Schar an einer bestimmten Stelle $x\$ schneiden. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist dann ein Element der Hüllkurve. Jeder Punkt der Hüllkurve ist also ein Schnittpunkt zweier Elemente $k\$ der Geradenschar, die ganz nah beieinander liegen. Diese dritte Beobachtung kannst du besonders gut in der Zeichnung (stark vergrößerte Aufnahme einer Hüllkurve) , die sich rechts neben diesem Text befindet sehen. $(Grenzwert:\ \lim_{\Delta k}\to 0 )$

Wichtige Angaben

Gegeben sind die Punkte $P=(-a/a)\$ und $Q=(1-a/1-a)\$. Da wir aber die Geradenschar mit dem Scharparameter $a\$ brauchen, müssen wir zuerst die Geradenschar, die durch diese beiden Punkte bestimmt wird, bestimmen.

Gleichung der Geradenschar

Dazu muss man ein Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten $m\$ (Steigung) und $t\$(y-Abschnitt) und dem Parameter $a\$ aufstellen. Um dieses Gleichungssystem zu erhalten, muss man die beiden Punkte jeweils in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+t\$ einsetzen. Man erhält:
$(I)\ a=-am+t\$
und:
$(II)\ 1-a=m-am+t\$
Nun zieht man die erste Gleichung von der zweiten Gleichung ab um die Unbekannte $t\$ zu eliminieren. Es bleibt nur noch die Unbekannte $m\$ und der Parameter $a\$ übrig:
$(II-I)\ m=1-2a\;$
Jetzt kann das $m\$ in der oberen Gleichung durch $a\$ ausgedrückt werden:
$a=-a+2a^2+t\$
Für die Unbekannte $t\$ ergibt sich nun:
$t=2a-2a^2\$
Da man nun die beiden Unbekannten $m\$ und $t\$ durch den Parameter $a\$ ausgedrückt hat, kann man diese Ergebnisse nun in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und erhält die Schargleichung der Geradenschar, die durch die Punkte $P=(-a/a)\$ und $Q=(1-a/1-a)\$ bstimmt wird:
$g_a(x)=\left(1-2a\right)x+2a-2a^2$

Ableitung nach a

Nun soll für jede Stelle $x\$ der Scharparameter $a\$ so bestimmt werden, dass der Funktionswert $g_a(x)\$ möglichst groß (Maximum) oder möglichst klein (Minimum) wird. Dank dem Applet sehen wir zwar, dass in unserem Fall möglichst große Funktionswerte gesucht werden, doch eigentlich müssen wir auch überprüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt. Erstmal müssen wir aber auf jeden Fall die Ableitung nach dem Scharparameter $a\$ bestimmen. Dazu ist es sinnvoll die Gleichung der Geradenschar so umzustellen, dass man eine Parabelgleichung der Form $ax^2+bx+c\$ hat (man beachte, dass $x\$ in diesem Fall $a\$ ist und nicht $x\$)
$g_x(a)=-2a^2+\left(2-2x\right)a+x$
Nun ist die Ableitung nach a nicht mehr so schwer:
$g_x^\prime(a)=-4a+2-2x\;$

Bestimmung des Scharparameters a

Wir haben jetzt zwar schon die Ableitung nach $a\$, doch um das Extremum zu bestimmen müssen wir die Ableitung wie sonst auch gleich Null setzen, doch man muss aufpassen, dass man nach $a\$ auflöst und nicht wie gewöhnlich nach $x\$.
Man setzt die Ableitung nach $a\$ also gleich Null:
$g_x^\prime(a)=0\$
$-4a+2-2x=0\$
Löst nach $a\$ auf:
$a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$
und muss jetzt die Art (Maximum oder Minimum) dieses Extremums bestimmen. Dazu kann man zum Beispiel die 2. Ableitung nach $a\$ bestimmen und anschließend das Krümmungsverhalten ermitteln. Man könnte aber auch mit Hilfe der 1.Ableitung das Monotonieverhalten bestimmen. Da man gewöhnlich mit Hilfe der 2.Ableitung das Krümmungsverhalten bestimmt und dann auf die Art der Extrema schließt und das Verfahren mit der 1.Ableitung in der Regel nur dann verwendet wird, wenn die 2.Ableitung sehr schwer zu bestimmen ist, verwende ich hier auch die 2.Ableitung:
$g_x''(a)=-4\$
Die zweite Ableitung ist also immer negativ. Daraus folgt, dass $g_x(a)\$ rechtsgekrümmt ist. Somit haben wir für alle $x\$ ein Maximum in $a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$.

Einsetzen des Scharparameters in die Geradenschar

Wir sind jetzt fast fertig. Wir haben schon den Scharparameter $a\$ in Abhängigkeit von $x\$ bestimmt, für den $g_a(x)\$ maximal wird. Wenn wir diesen Scharparameter also jetzt in die Gleichung der Geradenschar $g_a(x)=-2a^2+\left(2-2x\right)a+x$ einsetzen, erhalten wir die maximalen Funktionswerte der Geradenschar $g_a(x)\$ in Abhängigkeit von $x\$ und somit die gesuchte Hüllkurve, die wir schon im Applet gesehen haben:
$g(x)=-2\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)^2+(2-2x)\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)+x$
Diese Gleichung ist zwar schon richtig, doch leider noch ziemlich unübersichtlich. Man muss diese Gleichung noch etwas umstellen, um zu erkennen, dass es mit der Hüllkurve im Applet übereinstimmt. Dazu sollte man erst die Binomische Formel anwenden und anschließend ausklammern, um auf folgendes Zwischenergebnis zu kommen:
$g(x)=-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}x^2+1-2x+x^2+x$
Wenn man jetzt noch jeweils gleiche Exponenten von $x\$ addiert oder subtrahiert, erhält man dieses Endergebnis und somit die Hüllkurve aus dem Applet:
$g(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$
Wir haben es geschafft. Das ist also die Gleichung der gesuchten Hüllkurve.

Alternativer Lösungsweg (mit Grenzwert)

Allgemeinen Schnittpunkt zweier Geraden der Geradenschar bestimmen

Um den allgemeinen Schnittpunkt zweier beliebiger Geraden der Schar zu bestimmen, braucht man zwei verschiedene Geraden der Schar. Dazu wählt man für die eine Gerade den Parameter $a\$, für die andere den Paramter $a'\$ und setzt voraus, dass $a\ne a'$. Jetzt bestimmet man den Schnittpunkt dieser beiden unterschiedlichen Geraden, indem man die Gleichungen dieser beiden Geraden gleich setzt und nach $x\$ auflöst:
$g_a(x)=g_{a'}(x)\$
$-2a^2+(2-2x)\cdot a+x=-2a'^2+(2-2x)\cdot a'+x$
Jetzt bringt man die Ausdrücke, in denen $x\$ vorkommt auf die eine und die anderen auf die andere Seite:
$2ax-2a'x=-2a^2+2a'^2+2a-2a'\$
Jetzt klammert man $x\$ aus:
$x\cdot (2a-2a')=-2a^2+2a'^2+2a-2a'$
und teilt durch $(2a-2a')\$ damit $x\$alleine auf der rechten Seite stehen bleibt:
$x=\frac{-2a^2+2a'^2+2a-2a'}{2a-2a'}$

Schnittpunkt zweier benachbarter Geraden

Jetzt hat man den allgemeinen Schnittpunkt zweier beliebiger Geraden der Schar, doch da wir zwei benachbarte Schargeraden brauchen, müssen wir nun $a\$ gegen $a'\$ gehen lassen:
$x_0=\lim_{a\to a'}\frac{-2a^2+2a'^2+2a-2a'}{2a-2a'}$
Hier verwendet man am besten die H-Methode, das heißt man setzt $a=a'+h\$ und lässt $h\$gegen Null gehen:
$x_0=\lim_{h\to 0}\frac{-2(a'+h)^2+2a'^2+2(a'+h)-2a'}{2(a'+h)-2a'}$
Wenn man das noch etwas vereinfacht, erhält man:
$x_0=\lim_{h\to 0}\frac{-4a'h-2h^2+2h}{2h}$
Jetzt klammert man im Zähler $2h\$ aus und kürzt anschließend mit $2h\$:
$x_0=\lim_{h\to 0}\frac{2h\cdot (-2a'-h+1)}{2h}$
$x_0=\lim_{h\to 0}-2a'-h+1$
Da $h\$ gegen Null geht, kann man $h\$ weglassen:
$x_0=-2a'+1\$
oder nach a' aufgelöst:
$a'=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$
Und dieses Ergebnis hatten wir im oberen Beispiel schon bei der Bestimmung von $a\$ über die 1.Ableitung nach $a\$. Jetzt muss man es nur wie vorher schon in die Geradenschar einsetzen und erhält als Endergebnis:
$g(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$

Übungsaufgabe

Übung Die nächste Aufgabe kannst du alleine rechnen, wenn du willst. Ich werde dir aber trotzdem helfen, indem ich dir sage, was du machen sollst. Natürlich kannst du auch jederzeit in der Lösung schauen, wenn du nicht weißt, wie du weitermachen sollst, doch ich würde dir empfehlen es erst mal selbst zu versuchen. Keine Angst auch wenn die einzelnen Schritte (Quotientenregel bei der Ableitung, etc.) etwas schwieriger sind, läuft diese Aufgabe nach demselben Schema wie das Beispiel ab.

Angaben

Du sollst im Folgenden die Hüllkurve der Geradenschar, die durch die Punkte $P=(0/1-a)\$ und $Q=(a/0)\$ festgelegt ist, bestimmen. Wenn du willst, kannst du dir die fertige Hüllkurve vorher im Applet oder in der Zeichnung, die sich rechts neben der Aufgabe befindet, ansehen.

Aufgabe 1 (Gleichung der Geradenschar)

Du solltest zunächst wie oben die Gleichung der Geradenschar bestimmen. Stelle dazu mit Hilfe der Punkte ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und dem Parameter $a\$ auf. Keine Angst es nicht so schwer. Falls du es dennoch nicht schaffen solltest, steht dir die Lösung trotzdem jederzeit zur Verfügung.
(Zur Kontrolle: $g_a(x)=\frac{a-1}{a}x+1-a$)

Aufgabe 2 (Ableitung nach a)

Jetzt kommt eigentlich der schwerste und wichtigste Teil der Aufgabe, die Ableitung nach $a\$. Versuche zunächst die Gleichung der Geradenschar etwas umzustellen und dann die Quotientenregel anzwenden. Wenn du geschickt vorgehst, kannst du die Geradenschar auch so umformen, dass du keine Quotientenregel brauchst. Falls es dir trotzdem nicht gelingen sollte auf das unten angegebene Ergebnis zu kommen, kannst du in der Lösung schauen und versuchen die einzelnen Zwischenschritte zu verstehen.
(Zur Kontrolle: $g_x'(a)=\frac{x}{a^2}-1$)

Aufgabe 3 (Bestimmung des Scharparameters a)

Dieser Schrit ist jetzt wieder deutlich leichter. Setze die in Aufgabe 2 ermittelte Ableitung nach $a\$ gleich $0\$ und löse nach $a\$ auf. Natürlich kannst du auch die Lösung verwenden, trotzdem empfehle ich dir, es erst selbst auszuprobieren. Beachte, dass du mit der 2.Ableitung über das Krümmungsverhalten oder mit der 1.Ableitung über das Monotonieverhalten die Art des Extremums bestimmen musst. (Zur Kontrolle: $a=\sqrt{x})$)

Aufgabe 4 (Einsetzen des Scharparamaters in die Geradenschar)

Jetzt kommt eigentlich der letzte Schritt zur Bestimmung der Hüllkurve. Das Einsetzen des Scharparameters in die Geradenschar. Versuche es zunächst wieder selbst und schau dann in der Lösung nach.
(Zur Kontrolle: $g(x)=x-2\sqrt{x}+1$)

Aufgabe 5 (Kurvendiskussion der Hüllkurve)

Bestimme im Folgenden die Nullstelle, den y-Abschnitt, den Definitionsbereich, das Monotonieverhalten, das Extremum, den Wertebereich, das Krümmungsverhalten und falls erforderlich den Wendepunkt. Natürlich steht dir die Lösung auch diesmal wieder zur Verfügung.

Falls du immer noch nicht genug hast, ist hier nochmal ein Applet, mit dem du gleichzeitig beide Hüllkurven erzeugen kannst.

Anwendung von Hüllkurven

Hüllkurven werden oft verwendet, um Bewegungen zu simulieren. So kann man mit Hilfe von Hüllkurven überprüfen, ob das Auto in die Garage passt oder ob man einen Schrank um eine Ecke bringt.