Main>Florian Bogner |
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| = Zufallsexperiment = | | ==Kilian, Dominik== |
| | *'''Muster für Lernpfad-Kopf, Navigation, Autoren''': [[Lineare Funktionen]] |
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| {{Aufgaben-M|1|Weißt du noch, was genau ein {{Hintergrund_gelb|Zufallsexperiment}} ist? Schreibe es in dein Heft.}}
| | #'''Bilder hochladen''': [[Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]; [[UserWiki:Maria_Eirich/Test1|Liste der Bilder]] |
| | #'''Umzug''': https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Sinus-_und_Kosinusfunktion |
| | #'''Umzug''': https://wiki.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Negativen_Zahlen |
| | #'''Umzug''': https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Nullstellen_bestimmen |
| | #'''Anpassen''': [[Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_B]] analog wie hier [[Vera 8 interaktiv/Mathematik/Test A]] |
| | #'''Anpassen''': [[Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_C]] |
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| Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
| | *'''Klasse 5''' |
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Flächeninhalt eines Rechtecks - Aufgaben}} |
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| ''Hier kannst du du deine Überlegungen anhand einer sehr guten Beschreibung überprüfen:'' | | *'''Klasse 6''': Bei dem Lernpfad aus dem DMUW-Wiki müssen die Bilder müssen noch hochgeladen werden. |
| {{versteckt|{{Kasten_grün|;Zufallsexperiment (nach Henze, ''Stochastik für Einsteiger'', S.3):Ein stochastischer Vorgang heißt {{Hintergrund_gelb|''ideales Zufallsexperiment''}}, wenn folgende Gegebenheiten vorliegen: | | #{{Lernpfadlink-M-digital|Teilbarkeitsregeln}} [[Bild:120px-Vista-clean.png|20px]] |
| :* Das Experiment wird unter genau festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt.
| | #[[Achsenspiegelung]] - {{Lernpfadlink-DMUW|'''Achsenspiegelung'''}} |
| :* Die Menge der möglichen Ergebnisse (Ausgänge) ist vor der Durchführung des Experiments bekannt.
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| :* Das Experiment kann zumindest prinzipiell beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederholt werden. }}}}
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| | *'''Klasse 7 ''': Bei dem Lernpfad aus dem RMG-Wiki müssen die Bilder müssen noch hochgeladen werden. |
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Lot}} |
| | #[[Terme]] - [http://rmg.zum.de/wiki/Lernpfad_Terme '''Lernpfad Terme''']<small> im RMG-Wiki</small> |
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Textaufgaben}} (Textgleichungen mit einer Variablen) |
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| {{Aufgaben-M|2|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“}} | | *'''Klasse 8 ''' |
| | #[[Jahrgangsstufentest/BMT8_2011|BMT8 2011]] - [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2008|BMT8 2008]] - [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2007|BMT8 2007]] |
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen}} |
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| <div class="multiplechoice-quiz">
| | *'''Klasse 9 ''' |
| (Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Rechnen mit Quadratwurzeln}} |
| </div>
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Binomische Formeln}} |
| | #[[Einführung in quadratische Funktionen]][[Bild:120px-Vista-clean.png|20px]] |
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Kongruenz von Dreiecken}} |
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Inhalt und Drumherum}} |
| | #{{Lernpfadlink-M-digital|Zylinder-Oberfläche}} |
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| | | *'''Klasse 10''': Bei dem Lernpfad aus dem Medienvielfalts-Wiki müssen die Bilder müssen noch hochgeladen werden. |
| {{Aufgaben-M|3|Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment Münzwurf fest.
| | #[[Grenzwerte spezieller Funktionen]] Versionsgeschichte wurde importiert [[Bild:120px-Vista-clean.png|20px]] |
| }}
| | #[[Sinus- und Kosinusfunktion]] Vorlage für die Navigation erstellt [[Bild:120px-Vista-clean.png|20px]] |
| | | #[[Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]] auf der ersten Seite muss noch der didaktische Kommentar hochgeladen werden |
| ''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u> | | #[[Ganzrationale Funktionen]] |
| | | #[[Eigenschaften ganzrationaler Funktionen]] |
| = Ergebnis und Ereignis =
| | #[[Trigonometrische Funktionen]] - [http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen '''Trigonometrische Funktionen'''] <small> im Medienvielfalts--Wiki</small> |
| | | #[[Potenzfunktionen]] - [http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Potenzfunktionen '''Potenzfunktionen''']<small> im Medienvielfalts--Wiki</small> |
| an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen
| | == Maria == |
| *Baumdiagramm (mehrstufig, Vereinfachung)
| | #'''Links zu Geogebra-Applets fehlen''': [[Figuren im Koordinatensystem]] Birgit Lachner angefragt...[[Bild:120px-Vista-clean.png|20px]] |
| *Zählprinzip (Produktregel)
| | #'''viele Übungslinks defekt:''' [[Erweitern von Brüchen]], [[Größenvergleich von Brüchen]], [[Kürzen von Brüchen]]; Jan lädt die Dateien hoch und schickt den Link... |
| *Begriffe und Schreibweisen (Ereignis, Ergebnis, Ergebnisraum, Gegenereignis)-->
| | #'''Layout''': [[Vera 8 interaktiv]] |
| | | #Kringel auf Startseite weglassen |
| Zur mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.
| | ==ZUM== |
| In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
| | #'''Lernpfade Deutsch und Englisch überarbeiten''': [[Vera 8 interaktiv]] |
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| | ==Tipps und Feedback== |
| {{Aufgaben-M|4|Ordne den folgenden Begriffen die richtigen Schreibweisen zu! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
| | #Auf der Seite [[Benutzer:Maria Eirich/Box mit Tabelle|Box mit Tabelle]] findet man verschiedene Möglichkeiten Boxen mit Tabellen zu verbinden. |
| | | #Fehler bei [[Einführung in die Negativen Zahlen/Einführung]]: Wenn noch "iframe"-Einbindungen auf einer Seite sind, funktioniert der math-Befehl nicht. |
| ''(Dieses Quiz funktioniert leider nur, wenn unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen eingestellt und HTML ausgeschaltet ist!)''
| | #[[Benutzer:Maria Eirich/Mathematik-digital Test]] |
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| hier evtl. an konkretem Bsp. durchführen. Falsche Vorschläge „falsch“ zuordnen. }}
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| <div class="zuordnungs-quiz">
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| {|
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| | Ergebnis || <math>\omega_i</math> || <math>6</math>
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| |-
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| | Ereignis || <math>E</math> || <math>\left\{2,4,6\right\}</math>
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| |-
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| | Elementarereignis ||<math>\left\{6\right\}</math> || <math>\left\{\omega\right\}</math>
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| |-
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| | Ergebnismenge || <math>\Omega</math> || <math>\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math>
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| |-
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| | Gegenereignis || <math>\overline{E}</math>
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| |-
| |
| | unmögliches Ereignis || <math>\emptyset</math>
| |
| |-
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| | Mächtigkeit des Ergebnisraums || <math>\left| \Omega \right|</math>
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| |-
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| |}
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| </div>
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| ''Lösungshinweise:'' | |
| {{versteckt|{{Kasten_grün|
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| *;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen Ergebnisse (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
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| *;Ergebnismenge (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum):Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet man mit <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
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| *;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als Ereignis bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiment in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
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| *;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein Elementarereignis.
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| *;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.)
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| *;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\left\{\right\}</math> oder <math>\emptyset</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega</math>.)
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| *;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das Gegenereignis <math>\overline{E}=\Omega\setminus E</math>.
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| *;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: <math>\left| E \right|</math>
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| }}
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| }}
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| {{Aufgaben-M|5|Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} <math> \Omega </math>.
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| Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math> an.}}
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| <quiz display="simple">
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| { Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. }
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| - 8
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| + 12
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| - 36
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| | |
| { Es wird dreimal gewürfelt. }
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| - 18
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| - 56
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| + 216
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| | |
| { Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.}
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| - 18
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| - 54
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| - 72
| |
| + 288
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| | |
| { Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen. }
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| - 9
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| + 27
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| - 72
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| </quiz>
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| ''Lösungshinweise:''
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| {{versteckt|
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| * <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
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| * <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
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| * <math>\left|\Omega_3\right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 6=2^3\cdot 6^2</math>
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| * <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
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| }}
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| {{Aufgaben-M|6|'''(a)''' Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
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| <math>\quad \Omega_1=\emptyset,\qquad \Omega_2=\left\{1\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_5=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
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| '''(b)''' Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“? | |
| }}
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| ''Lösungshinweise:'' | |
| {{versteckt|a)
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| * <math>\Omega_1</math> besitzt <math>1=2^0</math> Ereignis.
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| * <math>\Omega_2</math> besitzt <math>2=2^1</math> Ereignisse.
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| * <math>\Omega_2</math> besitzt <math>4=2^2</math> Ereignisse.
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| * <math>\Omega_2</math> besitzt <math>8=2^3</math> Ereignisse.
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| * <math>\Omega_2</math> besitzt <math>16=2^4</math> Ereignisse.
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| Das vermutete Gesetz lautet: {{Kasten_grün|Zu jedem <math>\Omega</math> gibt es <math>2^{\left|\Omega\right|}</math> verschiedene Ereignisse.}}
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| b)
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| <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad</math> Es gibt <math>2^8=256</math> Ereignisse.
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| }}
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| = Laplace-Wahrscheinlichkeit =
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| {{blau|Hast du Lust auf eine kleines Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?
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| '''„Racing Game with One Dice“''' ist ein englischsprachiges Autorennspiel mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs. Die Augenzahl entscheidet, welches Auto nach vorne fahren darf.
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| * Öffne den Link in einem neuen Fenster.
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| * Entscheidet euch, wer das rote oder das blaue Auto „fährt“.
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| * Klickt nun so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br!> Es ist eingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
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| * Wenn ihr auf „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen. <br!> Beim nächsten Rennen könnt ihr die „Versuchsbedingungen“ nach euren Wünschen verändern:
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| ** Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
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| ** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
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| ** Im unteren Fenster könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
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| Los geht's! (dazu benötigst du Java)
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| {{Rechtsklick Fenster}} [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice]}}
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| {{Aufgabe|Um welche Art von Zufallsexperiment handelt es sich in dem Spiel?}}
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| {{Lösung versteckt|Das Zufallsexperiment, welches der Coumputer mehrmals ausführt, ist ein {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}, weil beim Würfelwurf jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.
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| Das weißt du schon: Die {{Hintergrund_gelb|Laplace-Wahrscheinlichkeit}}, dass ein Ereignis E eintritt, ist die Anzahl der für E günstigen Ergbnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse <math>p(E)=\frac{\left| E \right|}{\left| \Omega \right|}</math>
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| Wenn wir ab jetzt von einem Würfel oder Spielwürfel sprechen, meinen wir in der Regel einen {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Dieser hat sechs Seiten und ist symmetrisch. Das bedeutet, dass jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{6}</math> gewürfelt wird. Man sagt, der Würfel ist fair. | |
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| Beachte: In der Realität gibt es eigentlich keinen Laplace-Würfel! Warum?}}
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| {{Aufgaben-M|7|Anna würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?}}
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| {{Lösung versteckt|
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| <math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36 </math>
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| <math>E_{Pasch} = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad \left| E_{Pasch} \right| = 6 </math>
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| <math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}</math>.
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| }}
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| {{Aufgaben-M|8|Pia spielt Kniffel. Dabei wirft sie fünf Würfel. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender
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| Ereignisse:
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| a) E1: nur Sechsen liegen oben
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| b) E2: keine Sechs liegt oben
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| c) E3: mindestens eine Sechs liegt oben
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| d) E4: jede der Zahlen von eins bis sechs liegt oben
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| }}
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| Dazu Bild einfügen (Wiki: Kniffel) oder Aufgabe weglassen!
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| [[Benutzer:Florian Bogner/Zufallsexperimente_Bogner/Übung1| <big> → Weiter zum „Drei-Würfel-Problem“! </big> ]] | |
Teilbarkeitsregeln 
