Mathematik-digital und Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Roland Weber
 
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<div class="rahmen">
Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
[[Datei:Mathematik-digital Logo4.png|100px|left|link=]]
<span style="font-size:28pt;">Lernpfade</span>


<span style="font-size:14pt;">'''Interaktive Unterrichtseinheiten'''</span>
== Einstieg ==
[[Datei:OER-Award 2017 - Nominiert.png|rechts|mini|120px|link=https://open-educational-resources.de/veranstaltungen/17/award/ OER-Award 2017|Nominiert für den OER-Award 2017 in der Kategorie "'''Qualität für OER'''".]]
Die Lernpfade sind im Wiki erstellt und daher leicht veränderbar. Sie können jederzeit der individuellen Unterrichtssituation angepasst werden.


Wiki-Lernpfade eignen sich hervorragend zum computergestützten eigenverantwortichen Lernen. Inhalte können selbst erarbeitet oder geübt und gefestigt werden, sowohl im Unterricht als auch zu Hause. Die in die Lernpfade eingebauten automatisierten Auswertungen der Schülereingaben bieten diesen die Möglichkeit der Selbstkontrolle.
''Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.''<br />


Die  [http://www.mathematik-digital.de/ '''Linkdatenbank von Mathematik-digital.de''']  ist nach Klassenstufen und Lehrplanthemen geordnet. Damit soll  zu jedem Thema des Lehrplans eine Art „Best of“-Liste von Materialien im Internet zur Verfügung stehen.
''Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen.''


<small><center>[[Mathematik-digital/Informationen|Informationen]] | [[{{BASEPAGENAME}}/Lernpfade erstellen|Lernpfade erstellen]]  </center></small>


</div>
{{Mathematik|
[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]] <br>
Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. Ihre Aufzeichnungen werden am Ende der Unterrichtssequenz eingesammelt.
}}
 
 
==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.
 
{{Aufgaben-M|1|
a) Skizzieren Sie zunächst einen möglichen Verlauf des Füllgraphen für die Gefäße in ein Koordinatensystem. Verlgeichen Sie ihre Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründen ihre Skizze.<br />
 
Mit dem folgenden Experiment können Sie ihre Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollen Sie gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit übertragen Sie danach vom Arbeitsblatt in die untenstehende GeoGebra-Tabelle.
<popup name="Versuchsaufbau">
{{Kasten_blau|
'''Benötigte Materialien:'''
* Messbecher
*Einfülltrichter
*Höhenskala
*Stoppuhr (z.B. App im Smartphone)
*leere Plastikflasche 500ml
}}
 
Im Bild sehen Sie den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Teil des Trichters muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.
 
''Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.''
 
[[Datei:LP_Messbecher.jpg|200px]]
</popup>
 
 
<popup name="GeoGebra Tabelle">
Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, können Sie sich die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markiere als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü ''Erzeuge - Liste von Punkten'' ausgewählt werden, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.
 
 
<ggb_applet width="837" height="486"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
</popup>
 
 
b) Vergleichen Sie die Versuchsdaten mit ihren Skizzen aus Aufgabenteil a) und beschreiben den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen?<br />
c) Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es  möglich, die Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t = 3s</math> zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.<br />
}}
 
<br />
<br />
 
==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
 
[[Datei:Meteor.jpg|400px]]
 
 
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
 
Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden:
<math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0 \leq x \leq 300</math>
 
 
[[Datei:LP_Krater.png]]
 
 
{{Aufgaben-M|2|
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
<popup name="Was bedeuten 115% Steigung? Hilfe">
Wird eine Steigung, wie z.B. bei einem Verkehrschild [[Datei:LP_Steigungsschild.png|100px]] angegeben, so bedeutet die Prozentangabe eine Höhenveränderung von 20m je 100m horizontaler Strecke. Im nachstehenden Bild finden Sie die genauen Angaben. Beachten Sie insbesondere auch die Länge der tatsächlich zurückgelegten Strecke je 100m, sowie den realen Winkel der Höhenänderung.
 
[[Datei:LP_Steigungsdreick_10P.png|400px]]
 
</popup>
}}
 
== Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
 
===== Blumenvase =====
 
[[Datei:VaseFuellvorgang.jpg|130px]]
 
In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig  Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.
 
:{| class="wikitable"
!'''Zeit (Sekunden)''' !! '''Höhe (cm)'''
|-
| 0 || 0,51
|-
| 3 || 1,33
|-
| 6 || 2,74
|-
| 9 || 4,91
|-
| 12 || 8,00
|-
| 15 || 12,17
|-
| 18 || 17,58
|}
 
'''Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.'''
 
''Bsp.''<br /> In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)<br /><br />


'''Klasse 5 '''
{{Aufgaben-M|3|  
{{Box-spezial
Berechnen Sie anhand der obigen Tabelle und mit dem Taschenrechner oder PC die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:<br />
|Titel=
a) in den ersten drei Sekunden<br />
|Inhalt=
b) zwischen Sekunde 3 und 6<br />
<div class="grid">
c) zwischen Sekunde 12 und 15<br />
<div class="width-2-3">
d) zwischen Sekunde 3 und 12<br />
#[[Römische Zahlen|Römische Zahlen ]]  <small>{{pdf|Infoblatt Lernpfad Roemische Zahlen.pdf|Infoblatt Lernpfad Römische Zahlen}}] </small>
e) in den ersten 18 Sekunden<br />
#[[Einführung in die Negativen Zahlen]]
}}
#[[Figuren im Koordinatensystem]]
#[[Achsensymmetrie]]
#[[Rechteck - Flächeninhalt und Eigenschaften]]
#[[Umfang und Flächeninhalt vom Rechteck]]
#[[Flächeninhalt des Rechtecks]] <small>{{pdf|Infoblatt Lernpfad Rechteck.pdf|Infoblatt Lernpfad (Rechteck)}}</small>
#[[Flächeninhalt eines Rechtecks - Aufgaben]]


</div>
<popup name="Lösung">
<div class="width-1-3">
a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 0,273 cm/s.<br />
'''Im Blick ''':
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,47 cm/s.<br />
[[Figuren im Koordinatensystem]]
c) Zwischen Sekunde 12 und 15 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 12,17 cm - 8 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,39 cm/s zu.<br />
[[Datei:Schatzkarte.jpg|180px]]
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.<br />
e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.<br />
</popup>


</div>
<br /><br />
</div> <!-- End .grid -->
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in Aufgabe 2.
|Farbe= #f19a50         
<br /><br />
{{Aufgaben-M|4|
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt <math>t = 12</math> Sekunden  zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...<br />
a) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 13</math> Sekunden<br />
b) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,5</math> Sekunden<br />
c) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,1</math> Sekunden<br />
d) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,05</math> Sekunden<br />
e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - d), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.<br />
}}
}}


<popup name="Applet">


'''Klasse 6 '''
<ggb_applet width="559" height="590" version="4.2" 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{{Box-spezial
</popup>
|Titel=  
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
#[[Grundwissen - Brüche]]
#[[Bruchteile bestimmen]]
#[[Kürzen von Brüchen]]
#[[Erweitern von Brüchen]]
#[[Größenvergleich von Brüchen]]
#[[Teilbarkeitsregeln]]
#[http://dmuw.zum.de/wiki/Lernpfade/Achsenspiegelung Achsenspiegelung] <small> im DMUW-Wiki</small>
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''':
[[Erweitern von Brüchen]]
[[Datei:Comic Frage.gif|180px]]


</div>
<br />
</div> <!-- End .grid -->
<popup name="Lösung">
|Farbe= #f19a50       
a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 13 die Höhe 9,261 cm hat. In der einen Sekunden ist es also um 9,261 - 8 cm = 1,261 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 1,261 cm/s.<br />
b) 8,6151 cm - 8 cm = 0,6151 cm => 0,6151 cm : 0,5 s = 1,2302 cm/s<br />
c) 1,206 cm/s<br />
d) 1,204 cm/s<br />
e) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.<br />
</popup>
 
<br /><br />
{{Aufgaben-M|5|
Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> beschrieben werden. Hierbei gibt <math>w(t)</math> die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt <math>t</math> (in Sekunden) an.<br />
a) Bestimmen Sie den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem Sie mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12,001 bestimmen.<br />
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.<br />
}}
}}
<popup name="Lösung">
a)<br />
<math>w(12)=0,001(12+8)^3=8</math><br />
<math>w(12,001)=0,001(12,001+8)^3=8,00120006</math><br />
=> Höhenzunahme: <math>8 cm - 8,00120006 cm = 0,00120006 cm</math><br />
=> mittlere Änderungsrate: <math>0,00120006 cm : 0,001 s = 1,20006 cm/s</math><br />
b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.<br />
</popup>
<br />


== Von der Sekanten- zur Tangentensteigung ==


'''Klasse 7 '''
===== Barringer-Krater =====
{{Box-spezial
Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
|Titel= 
 
|Inhalt=
<br>  
<div class="grid">
 
<div class="width-2-3">
Die ''durchschnittliche'' Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A(x<sub>0</sub>|k(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|k(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man '''Sekante'''. <br /><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
#[[Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Lot]]
 
#[http://rmg.zum.de/wiki/Lernpfad_Terme Lernpfad Terme]<small> im RMG-Wiki</small>
{{Aufgaben-M|6|  
#[[Textaufgaben|Textaufgaben - Textgleichungen mit einer Variablen]]
Überlegen Sie, wo  in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind:
</div>
<math>x_1-x_0</math> und <math>k(x_1)-k(x_0)</math>
<div class="width-1-3">
 
'''Im Blick ''':
''Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)''
[[Textaufgaben|Textaufgaben]]
[[Datei:KatharinaP Agent Tafel.jpg|180px]]
</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #f19a50       
}}
}}


<popup name="Applet">
<ggb_applet width="650" height="500"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
</popup>
<br>
<popup name="Lösung">
<ggb_applet width="650" height="500"  version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAImuYUMAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICACJrmFDAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1ceXPaSBb/O/MpuqiprWTXgFpqSSgLMwW+U85kap3dmtokOyWkBisWEpGEjZPJd9/X3RIIdIBkY+O4bOvo8/3e2a8bur/OJy66oUHo+F6vgVtSA1HP8m3HG/cas2jU7DR+/eWn7pj6YzoMTDTyg4kZ9RqE1XTsXsPUiKEQddTULdtoEkuzm4Zu6U0by1iWRqZBNKWB0Dx0Xnv+b+aEhlPTopfWFZ2YF75lRnzgqyiavm63b29vW8lQLT8Yt8fjYWse2g0E0/TCXiO+eQ3drTS6VXh1WZJw+4+3F6L7puOFkelZtIEYCTPnl59edG8dz/Zv0a1jR1dAsNwBOq6oM74Cogxda6A2qzUFRKbUipwbGkLb1CMnOppMG7ya6bHyF+IOuQt6Gsh2bhybBr2G1JIVouhqA/mBQ70oroHjkdpJH90bh96KztgdH4c0UOT77tBk/aC//kKyJEvogF2wuMhw0TRRJIl3kiIusrgQcVFFHSKaE1GViDpE1CHAqBsndIYu7TVGphsCcI43CoBpi+cwunMpn0/8YkkzPgCaQucrVFYkQFUgDe8l6YD9afBHWEF7lUicGjUKZhUHTYbEsiZvP6Z8L0qVUjpltYBOrWRQQfhWhKqpMWEo/sv/MiMqZWSujyie7zegRh6FxG470ZVurB4ovGJ1Y/GJ6CRkCqMYSDWY3GOkgnJoOoi5irABF11GoA4Iq4io8Ig7SGNXHSk6FBCkoA5i9bCCuHaoHfhHdN6ZhlTojL3VQSkRhoEIUhWEuVIRBKqEuGKCksoK1FBVpEIjNjyWWReKhogGT0oHEZgj00kdQ0UFGsIzDC8jBSOFNcY6kjWksf4wYbquddjUoUsZaRLSMOsQ1BpUWqgz1O8ghVGTWDPHm86iFYisiZ3cRv50wQuoDQZpaeyEgVqxhS+6rjmkLviHS8ZJhG5Ml2kEH2jkexFaKKR4Nw7M6ZVjhZc0iqBViD6bN+aFGdH5CdQOk7F5Xcv3wt8DPzr03dnECxGyfFdazNl3cepeXswaHpRUAUkXqKkCLXWv547rQwmahRTG94MwqW7a9jmrsTQNgOQ7z70bBNS8nvrOKhndNnc1XTqzXMd2TO8/IKxsFIYLWnoeZq8Sz6MbRjITP7Av70IQYTT/Lw18ZldwS5M7qiYpqoFlIkG7O1GkaUZLktWORHTVIKoOJaFlMuXDLSwZZNmItVkUqUTqSDrWdNyRVBKPTG8WHDLndEH8OGCKHRPOHs7Dge8uX3HyD81pNAt4zAC2MWA09b2xS7mIcGsLDtm6HvrzSyEbiujr/d0UniQxgeGYw47ANMgquMtxfB2KK6/DZraoJfE6Eq8hJcLm2ItybMi8Br8OxZXXAukVU4spxQmZWEqGcUJu0KTGitpw0WfefeY50UXyEDnWdUwpFvV/m02GdCFAq13iB+qy214TsO41DTzqxvIMnJz5s1CoZ0rUbWo5E3gUBTEgJmPWv2EC4q1NxwFN5u3yaEzAxUultKRmXvOuTgJ/cu7dvAdJWJtAt53MshtagTNlAoeG4AOu6VKmbCc0wYXY6XZMAYF0i7kKgCdi0IBqzqIrP+DxFlgUuDK9m08DGrKAVoCLoBuIaufMzL2cv0I9JLVYdPR3NP/fS/kV7526dAKxGYq4QI5mHh9nwZ0Rj/YYG5A//Ay2cI17KXyhvEBAkelOr0wWEMZQueYdDVbA49299e11SIFjnG4wC1MhEVNKhSxFsQqhKXTHNTA1maWgR2CCryHQDLk2ikYg7fzuzLFtyv2vECuBBcd8MjE9G3ncf//ONL2x9CemxIARRM+i5E1fdBI3zUDLzcUCt/4GXJfqk4YVy8I68GtsHXYJLs4HlytAiOY8DGTLoTuo2uF3X8VSSiwlGMXM7K14SvF2TXvui/2gCvaDHwN7ssBekXeD/QUo0Rr0faAZx3ivcMAs5wDTxwXAZj2jouIV18ge6+K/RLGJyUKEpQRGCDWkZZ95poSk7E/GkkBI8cUTTULhypzJ1HUsJyrH+9L1p+uAmxmkJ+VIe7MJDRxrAeaEdwjEz2IIcIuIPlcYkKxJSlVAVTgHGPJrhh2X4v9uNAppxIVW4VA3ZTmXPZkwJc96VzPe7wJwlGPfM90ccR4IcZ73IUbJAD2sINLDrEivIrpbR5mW51iaE1kmGyS5FNa6klwKer8MdKsC6Nbegq48BejnXgRxMsCwhrdVhvf8T6mK72TV63hPlh8Zi8tQXO6P+jL4aO7G/xUBOiwHFFcDFO8NoGTXgG5jFu5yUbUrmAV7X8zCAk2coNnZN1s8KAOdVgCd7i3oIjreE1tMy/A+rmI4jp/KbChFiN9vGQI9mlO+JOLvrl+CZXxVD2SBLgfazoB8UgXkk70D+X7r7ByQpZogD4sAPq0C8Okms/EU3m9XuYwjJ96VzXV8p9k19ZDVt/sbEF1f8S2bra/8llHpNiZ4w8KqgJrTwgyBmNbphlxNATWngww15H7UrGdLWfbXjcy7OGO6HJdvDpVPMm75ODOcr84Q+LztDOcPLRE5M3RGIxpQ7yv1vsz8iO37x9MVGKE2SojYYtI5nRVlMx5Aoi/peEIz2cZBkXqOywU5jHtLiBnfK+sV51yqZB2XWRfW+I41Lku6LC3hMiWW2MGmqm3KiCU59TpxFIfVZbnOhbcBkcpu4VxTOmU7Z++894HphexIjqiT2hqqxNvYWMVrthXuXlXj7tVjc7fEk8X+K80/Xd7Ev0UYLD8j/iWppD+lDP+cavxz9pt/6saM9HPmX9a2fq7Gvc/1uJfstsfsw+yAwcOtQJf7CU3g6Ab2Gc/Qep4I7vUz3Luuxr3rmrmD3bJPkX507TsuCtXdavxz91H7SEr75I3qt3f8y0bW7+k8YqsRHkz/jcXD//x4xEJpdPfxoPfxYMQzJs0RX9Ojjweox/6Jiugf6OWF+Z7+8WGxrPn0Cl6KUvE/LyCPYMzG2gTq6eoDOkon5KSsYhcfwQth/TBaHlfjZ66kRsK1uANAIIj4wQIB5lvH5iv5D6cHaPCpjiaxAKQwkvSqaZP3hNqUWQpkfVm5HinP0I3FZvAkw7hpNcZN9ymEzCzhnjPfClJNpVoXG7rDo1rpJmi281QJs6cwTo5Bn/cQkISaQGCpFT88qmfFY+ruHXHd5wjO7qw4oHbA8PuUmwtpqvH+kGzUErpCaxHz5HjDBkOBwB2f7D57yFgP4+RFECBmIn5ASQBRJnfHJ/Xk7jhnP+XHiR6OD9BJJnrI5wJeYcJRNs35Gv2MPo4C0/qWcOh7cjf/3hMlKwHf92/wwAzGd/Rzb51tOXnUegzMOavwmLu8W/Au/qzNRtbxtGhLIbEtAPVJ7ffs4gTDl3KzsLKZ/mVvN9Of5ARD3hngLxmAD8sBXt13PKy377h3h4BVQ2thSVN0RVUkRZbxTjcw/xXvcWVE/jDDjaCcGwHbZ4uhDvZN2uUsqDwLpMiG0cJElxWVqLqhq7tRhEcIqPM0aprh4YbQeVWjNoaUz0SjlocAQHcMSdOxpmBVg58dKFT+gvSoKK8aVluQhg+SSXiYc/brYPLP5a0lWRVZb8kSJh2D6M8pV1fllMe4aN3Q37CdXHTKY/w4C1V2yiBnocozj3HkuSHl2D+tF3P2N54ReoT88u5WDf0DdLrlqgF4XcgDtCUTxjWZUPP0wrPhwaHrhzQUpR/GB6j/qSB9oOjCPSi1rMBggxUY1LMCg4wV2IUNGKzJn39DA2ahvy2FjX3PyQextyDu0/L2PbsrsZz/NlI4yJHCPVt/1pTAQVYCB582bEUUncwcCxkLMjJ2ViWeO9ufk5m4pakdbKiagXXN6EiKcSyUUCca7sBaR8MQshOMRYhGMFFJq2PIskFkokqG+oARW7lenxXq9Qbsi/T6LDcrmP5R7qPmJfy/qMf/9Nh7FMs/wedZLsqyQVGFbFC0b+vj/csGRRmAz6vYuvMfZO2q6WqLyDKRDG4YDWOn0l/kf0ZC8AFeU15sKadY86YKa97sjxva/ZcdZPNrbwSW51m/suljhukMm7nxQ4aPbUKUNUntCNfdBAnWtZakKLqkgKvDZXmAe3wG/xGP7IALLzyyIz7k1Lze6sjO4Kze0m2QE8ltz3u+YtvfPTeIm8/yF2pYJJg2aNxJ8oU3uSZMEiaMfdnduv59Lde+zBfpfH1SBayuP2nI2umvIGLPyTdV/vJ/UEsHCJ8LMPFHDAAARlMAAFBLAQIUABQACAgIAImuYUNFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgAia5hQ58LMPFHDAAARlMAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADfDAAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
</popup>
<br>


'''Klasse 8 '''
{{Aufgaben-M|7|
{{Box-spezial
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300<nowiki>|</nowiki>180) und B(400<nowiki>|</nowiki>320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x<sub>0</sub> hinaus fortgesetzt denkt.
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
#'''Vera 8''': [[Vera 8 interaktiv/Mathematik/Test A|Test A]] - [[Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_B|Test B]] - [[Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_C|Test C]]
#'''BMT 8''': [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2011|2011]] - [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2008|2008]] - [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2007|2007]]
#[[Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
#[[Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen]]
#[[Lineare Funktionen]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''':
[[Vera 8 interaktiv/Mathematik/Test A|Vera 8 Test A]]
[[Datei:AufgabeA29 Spiegelung.jpg|180px]]
<div id="ggbContainerbf08f431cc93a1815077e8251eee0ded"></div>
</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #f19a50       
}}
}}
<popup name="Lösung">
<math>m=\frac{320-180}{400-300}=\frac{140}{100}=1,4</math>
Dieser Wert ist größer als 1,15. Das heißt, dass das Raumfahrzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interessant ist.
</popup>




'''Klasse 9 '''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
#[[Rechnen mit Quadratwurzeln]]
#[[Binomische Formeln]]
#[[Einführung in quadratische Funktionen]]
#[[Quadratische Funktionen erkunden]]
#[[Kongruenz von Dreiecken]]
#[[Inhalt und Drumherum]]
#[[Zylinder-Oberfläche]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''':
[[Quadratische Funktionen erkunden]]


[[Datei:Video-Basketballwurf.gif|rahmenlos|Basketball|180px]]
 
</div>
<br>  
</div> <!-- End .grid -->
{{Kasten_blau|
|Farbe= #f19a50       
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern '''Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A'''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.
}}
}}


In der Graphik der Lösung der  Aufgabe 3 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.


'''Klasse 10'''
{{Aufgaben-M|8|
{{Box-spezial
Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
#[[Trigonometrische Funktionen]] - <small>[http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen '''Trigonometrische Funktionen''']  im Medienvielfalts--Wiki</small>
#[[Sinus- und Kosinusfunktion]]
#[[Potenzfunktionen]] - <small>[http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Potenzfunktionen '''Potenzfunktionen'''] im Medienvielfalts--Wiki</small>
#[[Grenzwerte spezieller Funktionen]]
#[[Ganzrationale Funktionen]]
#[[Eigenschaften ganzrationaler Funktionen]]
#[[Nullstellen bestimmen]]


</div>
Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie  für <math>\Delta x </math> und <math>\Delta y</math> aus dem Applet entnehmen können.
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?
}}


</div>
<br>
</div> <!-- End .grid -->
 
|Farbe= #f19a50       
Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden.
Wenn  die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.
 
<br>
 
Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.
 
==== Verallgemeinerung ====
 
Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.
<br><br>
 
{{Aufgaben-M|9|
Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet.<br>
a) Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.<br>
b) Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und C(1,5<nowiki>|</nowiki>f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.<br>
c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
}}
}}


<popup name="Lösung">
a) Die Steigung ist (ungefähr) 3.<br>
b) Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.<br>
c) Die Steigung ist (ungefähr) 2.
</popup>




{{Box-spezial
<br><br>
|Titel= Klasse 11
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
:[[Einführung in die Differentialrechnung]]
:[[Zusammenhang zwischen Graph einer Funktion und Ableitung]]
:[[Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


{{Aufgaben-M|10|
Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math>.<br>
a) Bestimmen Sie  rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=2</math> mit Hilfe der Formel die Steigung der Sekante <math>m=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.<br>
b) Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.<br>
c) Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.
}}


</div>
<popup name="Lösung">
</div> <!-- End .grid -->
a) Die Steigung ist <math>m=\frac{4-1}{2-1}=3</math>.<br>
|Farbe= #f19a50       
b) Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>.<br>
c) Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
{{Kasten_blau|
Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.
}}
}}
</popup>


<br><br>


{{Box-spezial
|Titel= Klasse 12
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
:[[Einführung in die Integralrechnung]]
:[[Integral]]


</div>
Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.


</div>
{{Aufgaben-M|11|
</div> <!-- End .grid -->
a) Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen <math>h</math>, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>, <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.<br>
|Farbe= #f19a50       
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt  A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und den Punkt B(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)+h) gehen soll.<br>
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
}}
}}


<div class="box">
<popup name="Applet">
=== Besondere Themen ===
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:[[Mathematik für Grundschüler]]
</popup>
:[[Chaos und Fraktale]]
<br>
:[[Lernpfad Differenzialgleichungen]]


</div>
<popup name="Lösung">
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<br ><br>


{{untersuchen|}} Vollziehen sie im Applet den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?


'''Kooperationen'''
<br>


<center>
Sekantensteigung: <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
<span style="padding: 1rem">[[File:Institutlogo f.png|link=http://www.dms.uni-landau.de Institut für Mathematik]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Zum Logo Baustein2.png|link=http://www.zum.de]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Didaktik_der_MathemathikUniWürzburg.png|link=http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/aktuelles]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Medien f.png|link=http://www.austromath.at/medienvielfalt]]</span>
</center>


[[Kategorie:Mathematik]]
<br>
[[Kategorie:Mathematik-digital|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Lernpfad,Lernpfade,Mathematik,Unterrichtseinheiten,interaktive Übungen,COER13,OER,CC,BY-SA</metakeywords>


Wenn man h<nowiki>=</nowiki> 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
</popup>


[[dmuw:Lernpfade]]
<br><br>
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
 
{{Aufgaben-M|12|
Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
 
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
 
Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorherigen Aufgaben.
}}
<br>
<popup name="Lösung">
Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
<br>
{| class="wikitable"
!'''n''' !! '''h'''  !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
|-
| 0 || 1|| 2 || 3
|-
| 1 || 0,1 || 1,1 || 2,1
|-
| 2 || 0,01 || 1,01 || 2,01
|-
| 3 || 0,001 || 1,001 || 2,001
|-
| 4 || 0,0001 || 1,0001 || 2,0001
|-
| 5 || 0,00001 || 1,00001 || 2,00001
|}
</popup>
<br>
{{Differenzieren|Übungen für Fortgeschrittene}}
{{Aufgaben-M|13|
a) Bestimmen Sie wie in der vorherigen Aufgabe  einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an der Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math> im Punkt A(3<nowiki>|</nowiki> 9).<br>
b)  Bestimmen Sie wie in der vorherigen Aufgabe  einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an der Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=3 x^2+2</math> im Punkt A(2<nowiki>|</nowiki> f(2)).
}}
 
<br>
<popup name="Lösung">
a) Die Steigung ist 6.<br>
b) Die Steigung ist 14.
</popup>
 
== Differenzenquotient ==
 
{{Aufgaben-M|14|
Erläutern Sie die Vorgehensweise im Abschnitt "Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate" und im Abschnitt "Von der Sekanten- zur Tangentensteigung". Vergleichen Sie dabei die Vorgehensweisen und arbeiten Sie Gemeinsamkeiten heraus.
}}
<br>
[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]]'''Plenumsphase'''
<br>
 
== Differentialquotient ==
 
{{Kastendesign1|
BORDER = #97BF87|
BACKGROUND = #AADDAA|
BREITE =100%|
INHALT= Der Differentialquotient  f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten
 
Differentialquotient  <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
 
Der Differentialquotient  f'(x<sub>0</sub>)  wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle  x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
|
BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
ÜBERSCHRIFT=Information|
}}
 
 
Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
 
* beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle  x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen  x<sub>0</sub> und  x<sub>1</sub> den Wert  x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert  x<sub>0</sub> annnährt,
* beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt  B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt  A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
 
<br><br>
 
<popup name="Applet">
<ggb_applet width="650" height="500"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
</popup>
 
<br>
{{Protokollieren|}} Schreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
 
 
<br><br>
 
{{Aufgaben-M|15|
Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.
}} 
 
 
Andere Schreibweise des Differentialquotienten:
 
Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch jetzt wieder die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.
 
{{Aufgaben-M|16|
Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten  den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
}}
<popup name="Lösung">
<math> f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
 
 
Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
 
<br>
<ggb_applet width="650" height="500"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
<br> <br>
 
{{untersuchen|}} Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
</popup>
 
<br /><br />
 
Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) berechnen.
 
{{Aufgaben-M|17|
Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben. Schreiben Sie die Rechnungen auch in Ihr Heft.
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung1]
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2]
}}
<br>
 
== Ableitungsfunktion ==
<br>[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]] <big>'''Beispielaufgabe:'''</big><br>
Betrachtet wird die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).
<br>
* Die Ableitung an der Stelle x<nowiki>=</nowiki>100 wird wie folgt berechnet:
<popup name="Lösung">
:<math>f'(100)= \lim_{h\to\0} \frac{f(100+h)-f(100)}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to\0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4</math><br>
</popup>
 
* Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x<nowiki>=</nowiki>x<sub>0</sub> bestimmen:
<popup name="Lösung">
:<math>f'(x_0)= \lim_{h\to\0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}</math><br>
:::<math>= \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}</math> <br>
:::<math>= \lim_{h\to\0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0</math><br>
</popup>
 
<br>
{{Aufgaben-M|18|
# Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>t<sub>0</sub>.
# Welche Bedeutung haben die beiden allgemeinen Terme aus der Beispielaufgabe  und Teilaufgabe 1. jeweils?
# Variieren Sie die Stelle x<sub>0</sub> im [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Applet] und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
# Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.
<br>[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]]'''Plenumsphase'''
}}
 
<br><br>
 
 
{{Mathematik|
[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]] <big>'''Information'''</big><br>
Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x<sub>0</sub> ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man eine '''Funktion f´(x)''', die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte '''Ableitungsfunktion'''.<br>
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.
}}
 
<br>
 
{{Aufgaben-M|19|
# Bestimmen Sie mit Hilfe des Applets, wie weit das Raumfahrzeug kommt.
# Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Raumfahrzeug kommt.
 
}}
<br>
<popup name="Applet">
<ggb_applet width="650" height="500"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
</popup>
 
<br><br>
 
{{Differenzieren|Vertiefungsaufaufgaben}}
{{Aufgaben-M|20|
''Beispiel- und Vertiefungsaufgaben aus dem jeweiligen Lehrbuch zur Übung bzw. Hausaufgabe''
}}
 
<br><br>
 
{{Aufgaben-M|21|
Betrachten Sie  noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben:
* Was waren die Problemstellungen?
* Was waren die ersten Lösungsansätze?
* Wie sieht die mathematische Lösung aus?
}}


__NOTOC__ __NOEDITSECTION__
''Diagnoseinstrument''

Version vom 20. Februar 2014, 10:56 Uhr

Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung

Einstieg

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.

Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen.


Vorlage:Mathematik


Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase

Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.

Vorlage:Aufgaben-M



Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater

Meteor.jpg


In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.

Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für


LP Krater.png


Vorlage:Aufgaben-M

Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Blumenvase

VaseFuellvorgang.jpg

In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.

Zeit (Sekunden) Höhe (cm)
0 0,51
3 1,33
6 2,74
9 4,91
12 8,00
15 12,17
18 17,58

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Lösung"> a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 0,273 cm/s.
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,47 cm/s.
c) Zwischen Sekunde 12 und 15 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 12,17 cm - 8 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,39 cm/s zu.
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.
e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.
</popup>



Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in Aufgabe 2.

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>


<popup name="Lösung"> a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 13 die Höhe 9,261 cm hat. In der einen Sekunden ist es also um 9,261 - 8 cm = 1,261 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 1,261 cm/s.
b) 8,6151 cm - 8 cm = 0,6151 cm => 0,6151 cm : 0,5 s = 1,2302 cm/s
c) 1,206 cm/s
d) 1,204 cm/s
e) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.
</popup>



Vorlage:Aufgaben-M <popup name="Lösung"> a)


=> Höhenzunahme:
=> mittlere Änderungsrate:
b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.
</popup>

Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Barringer-Krater

Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.


Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A(x0|k(x0)) und B(x1|k(x1)) kann mit berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante.
ist dann die Sekantensteigung.

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>
<popup name="Lösung">

GeoGebra

</popup>


Vorlage:Aufgaben-M <popup name="Lösung">

Dieser Wert ist größer als 1,15. Das heißt, dass das Raumfahrzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interessant ist. </popup>




Vorlage:Kasten blau

In der Graphik der Lösung der Aufgabe 3 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Vorlage:Aufgaben-M


Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.


Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.

Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Lösung"> a) Die Steigung ist (ungefähr) 3.
b) Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
c) Die Steigung ist (ungefähr) 2. </popup>




Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Lösung"> a) Die Steigung ist .
b) Wählt man , so ergibt sich .
c) Wenn man x1 sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau. Vorlage:Kasten blau </popup>




Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:

Anstatt x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz klein werden lassen. Es ist dann .

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>

<popup name="Lösung">

GeoGebra



Vorlage:Untersuchen Vollziehen sie im Applet den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?


Sekantensteigung:


Wenn man h= 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern. </popup>



Vorlage:Aufgaben-M
<popup name="Lösung"> Die Sekantensteigung ist . Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)

n h x1 Sekantensteigung m
0 1 2 3
1 0,1 1,1 2,1
2 0,01 1,01 2,01
3 0,001 1,001 2,001
4 0,0001 1,0001 2,0001
5 0,00001 1,00001 2,00001

</popup>
Vorlage:Differenzieren Vorlage:Aufgaben-M


<popup name="Lösung"> a) Die Steigung ist 6.
b) Die Steigung ist 14. </popup>

Differenzenquotient

Vorlage:Aufgaben-M
Farm-Fresh plenumPlenumsphase

Differentialquotient

Vorlage:Kastendesign1


Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.



<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>


Vorlage:Protokollieren Schreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.




Vorlage:Aufgaben-M


Andere Schreibweise des Differentialquotienten:

Statt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, können wir auch jetzt wieder die Differenz der beiden Werte immer kleiner werden lassen.

Vorlage:Aufgaben-M <popup name="Lösung">


Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.


GeoGebra



Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen. </popup>



Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) berechnen.

Vorlage:Aufgaben-M

Ableitungsfunktion


Farm-Fresh plenum Beispielaufgabe:
Betrachtet wird die Funktion (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).

  • Die Ableitung an der Stelle x=100 wird wie folgt berechnet:

<popup name="Lösung">

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle f'(100)= \lim_{h\to\0} \frac{f(100+h)-f(100)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4}

</popup>

  • Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x=x0 bestimmen:

<popup name="Lösung">

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle f'(x_0)= \lim_{h\to\0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0}

</popup>


Vorlage:Aufgaben-M




Vorlage:Mathematik


Vorlage:Aufgaben-M
<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>



Vorlage:Differenzieren Vorlage:Aufgaben-M



Vorlage:Aufgaben-M

Diagnoseinstrument