Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
{{Lernpfad-M|
 
Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen.
== Einstieg ==
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[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]]
''Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.''<br />
Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. Ihre Aufzeichnungen werden am Ende der Reihe eingesammelt.
 
''Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen.''
 
 
{{Mathematik|
[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]] <br>
Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. Ihre Aufzeichnungen werden am Ende der Unterrichtssequenz eingesammelt.
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==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
{{Mathematik|
Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.
Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.
 
}}
{{Aufgaben-M|1|
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a) Skizzieren Sie zunächst einen möglichen Verlauf des Füllgraphen für die Gefäße in ein Koordinatensystem. Verlgeichen Sie ihre Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründen ihre Skizze.<br />
{{Experiment|
Skizzieren Sie zunächst einen möglichen Verlauf des Füllgraphen für die Gefäße in ein Koordinatensystem. Verlgeichen Sie ihre Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründen ihre Skizze.<br />


Mit dem folgenden Experiment können Sie ihre Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollen Sie gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit übertragen Sie danach vom Arbeitsblatt in die untenstehende GeoGebra-Tabelle.
Mit dem folgenden Experiment können Sie ihre Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollen Sie gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit übertragen Sie danach vom Arbeitsblatt in die untenstehende GeoGebra-Tabelle.
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*Stoppuhr (z.B. App im Smartphone)
*Stoppuhr (z.B. App im Smartphone)
*leere Plastikflasche 500ml
*leere Plastikflasche 500ml
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Im Bild sehen Sie den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Teil des Trichters muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.  
Im Bild sehen Sie den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Teil des Trichters muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.  
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''Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.''
''Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.''


[[Datei:LP_Messbecher.jpg|200px]]
[[Datei:LP_Messbecher.jpg|150px]]
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<ggb_applet width="837" height="486"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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</popup>
</popup>
}}


 
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b) Vergleichen Sie die Versuchsdaten mit ihren Skizzen aus Aufgabenteil a) und beschreiben den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen?<br />
{{Aufgaben-M|1|
c) Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es  möglich, die Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t = 3s</math> zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.<br />
'''a)''' Vergleichen Sie die Versuchsdaten mit ihren Skizzen und beschreiben den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen?<br />
'''b)''' Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es  möglich, die Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t = 3s</math> zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.<br />
}}
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==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
''Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.''
''Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.''
 
{{Mathematik|
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0 \leq x \leq 300</math> beschrieben werden.
}}
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[[Datei:Meteor.jpg|400px]]
[[Datei:Meteor.jpg|400px]]
 
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In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
 
Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden:
<math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0 \leq x \leq 300</math>
 
 
[[Datei:LP_Krater.png]]
[[Datei:LP_Krater.png]]
 
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{{Aufgaben-M|2|
{{Aufgaben-M|2|
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</popup>
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== Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
== Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
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Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in Aufgabe 2.
 
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{{Mathematik|
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.
}}
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{{Aufgaben-M|4|  
{{Aufgaben-M|4|  
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt <math>t = 12</math> Sekunden  zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...<br />
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt <math>t = 12</math> Sekunden  zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...<br />
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===== Barringer-Krater =====
===== Barringer-Krater =====
{{Mathematik|
Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
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Die ''durchschnittliche'' Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten <math>A\left( x_0 | k(x_0) \right)</math>  und <math>B\left( x_1 | k(x_1) \right)</math>  kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man '''Sekante'''.
<br>
<br><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
}}
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Die ''durchschnittliche'' Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A(x<sub>0</sub>|k(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|k(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man '''Sekante'''. <br /><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.


{{Aufgaben-M|6|  
{{Aufgaben-M|6|  
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}}
}}


In der Graphik der Lösung der  Aufgabe 3 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
In der Graphik der Lösung der  Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.


{{Aufgaben-M|8|
{{Aufgaben-M|8|
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Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:  
{{Mathematik|
 
<big>'''Information'''</big><br>
Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
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Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
}}
<br>


{{Aufgaben-M|11|
{{Aufgaben-M|11|

Version vom 23. Februar 2014, 21:01 Uhr

Vorlage:Lernpfad-M


Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase

Vorlage:Mathematik
{{Experiment| Skizzieren Sie zunächst einen möglichen Verlauf des Füllgraphen für die Gefäße in ein Koordinatensystem. Verlgeichen Sie ihre Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründen ihre Skizze.

Mit dem folgenden Experiment können Sie ihre Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollen Sie gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit übertragen Sie danach vom Arbeitsblatt in die untenstehende GeoGebra-Tabelle.

<popup name="Versuchsaufbau"> Vorlage:Kasten blau


Vorlage:Aufgaben-M

Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater

Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805. Vorlage:Mathematik
Meteor.jpg

LP Krater.png

Vorlage:Aufgaben-M


Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Blumenvase

VaseFuellvorgang.jpg

In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.

Zeit (Sekunden) Höhe (cm)
0 0,51
3 1,33
6 2,74
9 4,91
12 8,00
15 12,17
18 17,58

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Lösung"> a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 0,273 cm/s.
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,47 cm/s.
c) Zwischen Sekunde 12 und 15 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 12,17 cm - 8 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,39 cm/s zu.
d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.
e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.
</popup>




Vorlage:Mathematik
Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>


<popup name="Lösung"> a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 13 die Höhe 9,261 cm hat. In der einen Sekunden ist es also um 9,261 - 8 cm = 1,261 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 1,261 cm/s.
b) 8,6151 cm - 8 cm = 0,6151 cm => 0,6151 cm : 0,5 s = 1,2302 cm/s
c) 1,206 cm/s
d) 1,204 cm/s
e) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.
</popup>



Vorlage:Aufgaben-M <popup name="Lösung"> a)


=> Höhenzunahme:
=> mittlere Änderungsrate:
b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.
</popup>

Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Barringer-Krater

Vorlage:Mathematik


Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>
<popup name="Lösung">

GeoGebra

</popup>


Vorlage:Aufgaben-M <popup name="Lösung">

Dieser Wert ist größer als 1,15. Das heißt, dass das Raumfahrzeug diese Steigung nicht mehr bewältigen kann. Es ist aber auch nur die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten A und B und nicht die Steigung im Punkt A, die für das Herauskommen des Fahrzeugs interessant ist. </popup>




Vorlage:Kasten blau

In der Graphik der Lösung der Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Vorlage:Aufgaben-M


Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.


Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.

Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Lösung"> a) Die Steigung ist (ungefähr) 3.
b) Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
c) Die Steigung ist (ungefähr) 2. </popup>




Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Lösung"> a) Die Steigung ist .
b) Wählt man , so ergibt sich .
c) Wenn man x1 sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau. Vorlage:Kasten blau </popup>




Vorlage:Mathematik

Vorlage:Aufgaben-M

<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>

<popup name="Lösung">

GeoGebra



Vorlage:Untersuchen Vollziehen sie im Applet den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?


Sekantensteigung:


Wenn man h= 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern. </popup>



Vorlage:Aufgaben-M
<popup name="Lösung"> Die Sekantensteigung ist . Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)

n h x1 Sekantensteigung m
0 1 2 3
1 0,1 1,1 2,1
2 0,01 1,01 2,01
3 0,001 1,001 2,001
4 0,0001 1,0001 2,0001
5 0,00001 1,00001 2,00001

</popup>
Vorlage:Differenzieren Vorlage:Aufgaben-M


<popup name="Lösung"> a) Die Steigung ist 6.
b) Die Steigung ist 12. </popup>



Differenzenquotient

Vorlage:Aufgaben-M
Farm-Fresh plenumPlenumsphase



Differentialquotient

Vorlage:Kastendesign1


Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.



<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>


Vorlage:Protokollieren Schreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.




Vorlage:Aufgaben-M


Andere Schreibweise des Differentialquotienten:

Statt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, können wir auch jetzt wieder die Differenz der beiden Werte immer kleiner werden lassen.

Vorlage:Aufgaben-M <popup name="Lösung">


Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.


GeoGebra



Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen. </popup>



Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) berechnen.

Vorlage:Aufgaben-M

Ableitungsfunktion


Farm-Fresh plenum Beispielaufgabe:
Betrachtet wird die Funktion (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).

  • Die Ableitung an der Stelle x=100 wird wie folgt berechnet:

<popup name="Lösung">

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle f'(100)= \lim_{h\to\0} \frac{f(100+h)-f(100)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4}

</popup>

  • Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x=x0 bestimmen:

<popup name="Lösung">

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle f'(x_0)= \lim_{h\to\0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle = \lim_{h\to\0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0}

</popup>


Vorlage:Aufgaben-M




Vorlage:Mathematik


Vorlage:Aufgaben-M
<popup name="Applet">

GeoGebra

</popup>



Vorlage:Differenzieren Vorlage:Aufgaben-M



Vorlage:Aufgaben-M

Diagnoseinstrument