Induktionsbeweis

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Vor.  ???

Beh. 2^n \ge n^2

Bew.  ???


Lösungsvorschlag 1 von: --Marius95 23:40, 20. Sep. 2013 (CEST)

Vor.: n \in \mathbb{N}


Beh.: 2n\gen2

Bew.:

n \in  \{1,2,3,4,5\}

A(1): 21\ge12

A(2): 22 = 4\ge22 = 4

A(3): 23 = 8\le32 = 9 => nicht wahr

A(4): 24 = 16\ge42 = 16

A(5): 25 = 32\ge52 = 25

Die Behauptung gilt nicht für n = 3

Vor.: n \neq 3 n \in \mathbb{N}

Voraussetzung also?

Das wäre der Induktionsanfang; jetzt kommt der Beweis:--CJSchmitt 16:10, 21. Sep. 2013 (CEST)


--Marius95 17:15, 20. Sep. 2013 (CEST)

Lösungsvorschlag 2 von: --Vincent97 17:08, 1. Nov. 2013 (CET)

Beweis

2^n\ge n^2

Jetzt setzt man n+1 in die linke Seite der Ungleichung ein.

2^{n+1}=2\cdot 2^n\ge 2n^2 |\cdot 2

Nun setzt man auch in die rechte Seite n+1ein.

2n^2\ge n^2+2n+1=(n+1)^2 |-n^2-2n-1

(n-1)^2-2=n^2-2n-1\ge 0 |+2

(n-1)^2\ge 2

Man sieht das die Ungleichung erst ab n=3 wahr wird. Aus den Aussagen ergibt sich folgender Satz:

2^{n+1}=2\cdot 2^n\ge 2n^2\ge n^2+2n+1=(n+1)^2