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(Der Kathetensatz)
 

Aktuelle Version vom 21. August 2015, 13:46 Uhr

Der Kathetensatz

von --Jugu5797 (Diskussion) 20:10, 17. Dez. 2014 (CET)

In einem rechtwinkligen Dreieck soll das Quadrat einer Kathete so groß wie das Produkt aus Hypotenuse und dem jeweiligen Hypotenusenabschnitt sein.

Damit wäre die Behauptung: (\vec{a})^2 = \vec{c} \cdot \vec{p}

Um dies zu verdeutlichen benötigt man eine Skizze.

Skizze K

Voraussetzungen müssen bei diesem Dreieck die Folgenden sein:

1. \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{q}= \vec{c} \cdot \vec{p} = 0

\rightarrow dies muss gelten da die beiden Vekotrenpaare jeweils orthogonal zueinander stehen.

2. \vec{p} + \vec{q}= \vec{c}= \vec{a} - \vec{b}

\rightarrow \vec{c} ist auf zwei verschiedene Arten darstellbar.

3. \vec{q} + \vec{b} = \vec{h} = \vec{a} - \vec{p}

\rightarrow \vec{h} ist ebenfalls auf zwei Arten darstellbar.

______________________________________________________________

Der Beweis:

(\vec{a})^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}

(\vec{a})^2 = (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{h} + \vec{p})

(\vec{a})^2 = \vec{b} \vec{h} + \vec{b} \vec{p} + \vec{c} \vec{h} + \vec{c} \vec{p}

(\vec{a})^2 = \vec{b} \cdot ( \vec{h} + \vec{p}) + \vec{c} \vec{h} + \vec{c} \vec{p}

(\vec{a})^2 = \vec{b} \vec{a} + \vec{c} \vec{h} + \vec{c} \vec{p}

(\vec{a})^2 = 0 + 0 + \vec{c} \vec{p}

(\vec{a})^2 = \vec{c} \vec{p}

Als erste Zeile setzen wir in jedem Fall eine Tatsache, die wir wissen. Dadurch das wir zwei Möglichkeiten kennen, wie wir \vec{a} darstellen können, ergibt sich eine erweiterte Gleichung, welche unsere "brauchbaren" Vektoren beinhaltet.

Nach dem Auflösen der Klammern, können wir zunächst \vec{b} ausklammern damit wir aus den Summanden wieder den \vec{a} herausbekommen.

Für sämtliche Produktpaare kennen wir ihren Wert (=0). Nun bleibt lediglich unsere Behauptung stehen.

Mit (\vec{b})^2 geht dieser Beweis ebenfalls, jedoch würde dann als Lösung \vec{c} \cdot \vec{q} herauskommen.

Somit ist dieser Beweis:

q.e.d.