Ziegen: Unterschied zwischen den Versionen

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(. Lösungsvorschlag von --Vincent97 (Diskussion) 22:03, 3. Jul. 2014 (CEST))
 

Aktuelle Version vom 21. August 2015, 13:43 Uhr

Soll der Kandidat seine Entscheidung ändern?

Inhaltsverzeichnis

1. Lösungsvorschlag von --Marius95 (Diskussion) 13:07, 31. Mai 2014 (CEST)

Bezug auf: https://www.uni-due.de/~mat903/ESAGAVortrag/wtvortrag.pdf/

Voraussetzung ist, dass der Moderator eine Tür geöffnet hat, hinter der eine Ziege steht und der Spieler vor einer geschlossenen Tür seiner Wahl steht. Nun stellt sich die Frage, ob er zur anderen verschlossenen Tür wechseln sollte oder nicht - ob die Wahrscheinlichkeit für das Auto bei einem Wechsel höher ist!

Zur Berchnung benutzen wir den Satz von Bayes: P_G(B)= \frac{P(G \cap B)}{P(B)}


gegeben:

P(G): \big\{Wkeit, \ dass \ hinter \ einer \ der \ 3 \  \ Tueren \ \ 1 \ Auto \ steht\big\}= \frac{1}{3}

P(B): \big\{Wkeit, \ dass \ eine \ Tuer \ nach \ der \ Wahl \ des \ Moderators \ verschlossen \ bleibt \big\}= \frac{1}{2}

P_{G}(B): \big\{Wkeit, \ dass \ hinter \ der \ vom Moderator \ geschlossen \ gehaltenen \ Tuer \ das \ Auto \ steht \big\}= 1


gesucht:

P_{B}(G): \big\{Wkeit, \ dass \ sich \ hinter \ den \ vom \ Moderator \ geschlossen \ gehaltenen \ Tueren \ das \ Auto \ befindet \big\}= ?


Lösung:

P_{B}(G)= \frac{P(G \cap B)}{P(B)}= \frac{P_{G}(B) \cdot P(G)}{P(B)}= \frac{1 \cdot  \frac{1}{3} }{ \frac{1}{2} }= \frac{2}{3}= 66,66%


Fazit: Wenn der Spieler zu der anderen verschlossenen Tür wechseln würde, wäre seine Chance zu gewinnen ca 33,33% höher, also 66,66%. Wenn er an seiner ersten Wahl stehen bleibt bleibt seine Chance bei 33,33%!

. Lösungsvorschlag von --Hellmann (Diskussion) 15:21, 3. Jun. 2014 (CEST)

Ziegenproblem mit Wechsel

Für diesen Baum ist die Vorraussetzung, dass der Spieler die zuerst gewählte Tür wechselt.

Wenn der Spieler in diesem Fall zuerst die Tür mit der Ziege gewählt hat, was eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 hat, dann wird er bei der zweiten Wahl zu 100% die Tür mit dem Auto wählen, da diese die einzige Tür ist, zu welcher der Spieler nach dem Öffnen der ersten Tür wechseln kann.

Multipliziert man dann diesen "Ast", so erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 das Auto nach einem Wechsel zu gewinnen.


Ziegenproblem ohne Wechsel

Ziegenproblem Auswertung

. Lösungsvorschlag von --Philipp95 (Diskussion) 13:19, 9. Jun. 2014 (CEST)



Angenommen die drei Türen heißen A,B und C.Hinter Tür B befindet sich das Auto.

Fall 1:
Der Spieler wählt Tür B

Der Spieler entscheidet mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{3} Tür B.
Nun sind zwei Türen noch da ,die jeweils eine Ziege haben.
Der Moderator wählt eine Ziegen-Tür ( Wahrscheinlichkeit 1).
Entscheidet sich der Spieler um so kriegt er die andere Ziegen-Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{3} .

\frac{1}{3} \longrightarrow _{Moderator} 1 \longrightarrow _{Spieler}  \frac{1}{2}

Wahrscheinlichketi: \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot  \frac{1}{2}= \frac{1}{6}= 16,67 %



Fall 2:
Der Spieler wählt eine Ziegen-Tür z.B A

Nun entscheidet der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{2}{3} eine Ziegen-Tür.
Das bedeutet der Moderator ist gezwungen die andere Ziegen-Tür zu öffnen.
Würde der Spieler sich nun umentscheiden so kriegt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 das Auto.

\frac{2}{3} \longrightarrow _{Moderator} 1 \longrightarrow _{Spieler}  1

\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot  1= \frac{1}{6}= 66,67 %




Man sieht ,dass es keine 50-50 Chance ist und Fall 2 eine Mathematisch höhere Gewinnchance hat.

. Lösungsvorschlag von --Vincent97 (Diskussion) 22:03, 3. Jul. 2014 (CEST)

Ziege1neu.JPG

Man geht davon aus, dass der Kandidat in diesem Fall Tür 1 gewählt hat. Man hat die Anfangswahrscheinlichkeit von \frac{1}{3} für diese Tür. Nun wählt der Moderator zum Beispiel Tür 2 aus. Die Tür 2 hat nun eine Wahrscheinlichkeit von 0, während die dritte Tür durch die geänderte Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Wahrscheinlichkeit von \frac{2}{3} aufweist. Diese \frac{2}{3} bleiben ja für Tür 2 und 3 erhalten und da Tür 3 eine Wahrscheinlichkeit von 0 hat, muss die andere Tür eine Wahrscheinlichkeit von \frac{2}{3} haben.

\frac{2}{3}=0+\frac{2}{3}

Ziege2neu.JPG

Daraus folgt, dass es besser ist zu wechseln, da dort die Wahrscheinlichkeit für das Auto höher ist. Dieses Grundprinzip, das jetzt nur für einen Fall gezeigt ist, lässt sich auf alle anderen Fälle und Türen übertragen.


. Lösungsvorschlag von

. Lösungsvorschlag von