Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen und Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen: Unterschied zwischen den Seiten

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-{{Kurzinfo-1|M-digital}}
+== Zufallsexperiment ==
-{{Lernpfad-M float|[[Datei:Zufall.jpg|left]]<big>'''Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen'''</big>
-In diesem Lernpfad, geht es um die Wiederholung und Vertiefung der Laplace-Wahrscheinlichkeit. Zu Beginn wird an das Vorwissen über Zufallsexperimente angeknüpft. Im weiteren Verlauf machen die SchülerInnen erste Erfahrungen mit mehrstufigen Zufallsversuchen und den Pfadregeln.
+{{Aufgaben-M|1|Weißt du noch, was genau ein '''Zufallsexperiment''' ist? Schreibe es in dein Heft.}}
+Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
+{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
+;Zufallsexperiment
+:Ein realer, stochastischer Vorgang heißt {{Hintergrund_gelb|ideales Zufallsexperiment}}, wenn:
+:* das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt wird,
+:* die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
+:* das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.
+}}
+}}
-*'''Voraussetzungen:''' erste Kenntnisse über die Laplace-Wahrscheinlichkeit
-*'''Zeitbedarf:''' [[Bild:Uhr20px.gif]] noch in der Erprobung
+{{Aufgaben-M|2|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“}}
-*'''Material:''' Stift und Papier
-* Internet Explorer kann zu Problemen bei der Darstellung führen. Bitte Mozilla Firefox verwenden!
+<div class="multiplechoice-quiz">
+(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels)  (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch)  (!Benotung deiner Klassenarbeit)  (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)
+</div>
+{{Aufgaben-M|3|Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment Münzwurf fest.
 }}
-__NOTOC__
+''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>
-__NOEDITSECTION__
-== Übersicht ==
-{{Kasten Mathematik|{{Schrift_grün|'''Hast du Lust, deinen Spürsinn für stochastische Zufalls-Situationen ein wenig zu verbessern?'''
-'''Dann mach doch bei meinem Lernpfad über Laplace-Experimente mit!'''
+== Ergebnis und Ereignis ==
-'''Lass dich in die „Welt des Zufalls“ entführen ...''' }}
+an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen
+*Baumdiagramm (mehrstufig, Vereinfachung)
+*Zählprinzip (Produktregel)
+*Begriffe und Schreibweisen (Ereignis, Ergebnis, Ergebnisraum, Gegenereignis)-->
+Zur mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.
+In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
+{{Aufgaben-M|4|Ziehe die grünen Kästchen mit den mathematischen Schreibweisen in die Zeile des zugehörigen Begriffs! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
+''(Sollte dieses Quiz auf deinem Computer nicht funktionieren, musst du unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG statt HTML als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen einstellen!)''
+hier evtl. an konkretem Bsp. durchführen. Falsche Vorschläge „falsch“ zuordnen. }}
-[[Datei:Maehnrot.jpg|links|180px]]
+<div class="zuordnungs-quiz">
-Beginne den Lernpfad von vorne! Punkt 1 ist auch der leichteste Teil.
+{|
+| Ergebnis || <math>\omega_i</math> || <math>6</math>
+|-
+| Ereignis || <math>E</math> || <math>\left\{2,4,6\right\}</math>
+|-
+| Elementarereignis ||<math>\left\{6\right\}</math> || <math>\left\{\omega\right\}</math>
+|-
+| Ergebnismenge || <math>\Omega</math> || <math>\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math>
+|-
+| Gegenereignis || <math>\overline{E}</math>
+|-
+| unmögliches Ereignis || <math>\emptyset</math>
+|-
+| Mächtigkeit des Ergebnisraums || <math>\left| \Omega \right|</math>
+|-
+|}
+</div>
-Versuche alle Aufgaben zuerst ohne Hilfestellung zu lösen.
-Wenn nötig, kannst du dir oftmals Lösungshilfen anzeigen lassen.
+''Lösungshinweise:''
+{{versteckt|{{Kasten_grün|
+*;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen {{Hintergrund_gelb|Ergebnisse}} (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
-Bearbeite alle Aufgaben sorgfältig und der Reihe nach!
+*;Ergebnismenge:Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum)<math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
-Führe Rechnungen schriftlich und in sauberer Form auf dem Papier aus.
+*;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als {{Hintergrund_gelb|Ereignis}} bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
+*;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein {{Hintergrund_gelb|Elementarereignis}}.
+*;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.)
-[[/Vorwissen|<colorize>Los geht's!!!</colorize>]]
+*;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\emptyset</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega</math>.)
+*;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das {{Hintergrund_gelb|Gegenereignis}} <math>\overline{E}=\Omega\setminus E</math>.
+*;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: <math>\left| E \right|</math>
+}}
+}}
-# [[/Vorwissen|Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis, Laplace-Wahrscheinlichkeit]]
-# [[/Glücksspiel|„Gustavs Glücksspiel“]]
+{{Aufgaben-M|5|Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge <math> \Omega </math>.
-# [[/Drei-Würfel-Problem|Das „Drei-Würfel-Problem“]]
-# [[/Efron|Die „Würfel von Efron“]]
+Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math> an.}}
-# [[/Ziegen|Das „Ziegenproblem“]]
+<quiz display="simple">
+{ Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. }
+- 8
++ 12
+- 36
+{ Es wird dreimal gewürfelt. }
+- 18
+- 56
++ 216
+{ Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.}
+- 72
+- 216
++ 288
+{ Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen. }
+- 9
++ 27
+- 72
+</quiz>
+''Lösungshinweise:''
+{{versteckt|
+* <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
+* <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
+* <math>\left|\Omega_3\right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 6=2^3\cdot 6^2</math>
+* <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
+}}
+{{Aufgaben-M|6|a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
+:<math>\quad \Omega_1=\emptyset,\qquad \Omega_2=\left\{1\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_5=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
+b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
+}}
+''Lösungshinweise:''
+{{versteckt|a)
+* <math>\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 1=2^0\ \mathrm{Ereignis.}</math>
+* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 2=2^1\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4=2^2\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 8=2^3\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 16=2^4\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
+Das vermutete Gesetz lautet: {{Kasten_grün|<math>\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\left|\Omega\right|}\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.}  </math>}}
+b) <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ Ereignisse.</math>
 }}
-{{mitgewirkt|[[Benutzer:Florian Bogner|Florian Bogner]]}}
+== Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
+[[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|200px]]
+{{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace|Pierre-Simon Laplace}} (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.
+{{Aufgaben-M|7|Schreibe auf, was man unter den Begriffen '''Laplace-Experiment''', '''Laplace Würfel''' und '''Laplace-Wahrscheinlichkeit''' versteht!}}
+{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
+;Laplace-Experiment
+:Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}.
+:Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.
+;Laplace-Würfel
+:Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit  <math>\frac{1}{6}</math>  gewürfelt.
+:Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.
+;Laplace-Wahrscheinlichkeit
+:Die {{Hintergrund_gelb|Laplace-Wahrscheinlichkeit}} eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten
+:<math> p(E) = \frac { \mathrm {Anzahl\ der\ f\ddot u r\ E\ g\ddot u nstigen\ Ergebnisse}} { \mathrm {Anzahl\ der\ m\ddot o glichen\ Ergebnisse}} = \frac {\left| E \right| } {\left| \Omega  \right| }\ .</math>
+:Beispiel:  Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine 6 zu würfeln beträgt  <math>\frac{1}{6}\ .</math>
+}}
+}}
+{{blau|Hast du Lust auf eine kurzes Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?
+----
+'''„Racing Game with One Dice“''' ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite. Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.
+* Öffne den Link in einem neuen Fenster.
+* Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
+* Klickt nun im oberen Kasten so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br> Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
+* Wenn ihr auf „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen. <br> Jetzt könnt ihr die „Versuchsbedingungen“ nach euren Wünschen verändern:
+** Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
+** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
+** Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
+Los geht's! (dazu benötigst du Java)
+{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice]
+}}
+{{Aufgaben-M|8|Anna würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?}}
+{{Lösung versteckt|
+<math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36 </math>
+<math>E_{Pasch} =  \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad  \left| E_{Pasch} \right| = 6 </math>
+<math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .</math>
+}}
+{{Aufgaben-M|8|Pia spielt Kniffel. Dabei wirft sie fünf Würfel. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender
+Ereignisse:
+a) E1: nur Sechsen liegen oben
+b) E2: keine Sechs liegt oben
+c) E3: mindestens eine Sechs liegt oben
+d) E4: jede der Zahlen von eins bis sechs liegt oben
+}}
+Dazu Bild einfügen (Wiki: Kniffel) oder Aufgabe weglassen!
+----
-[[Kategorie:Stochastik]]
+[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Glücksspiel| <big> → Weiter zu </big> ]] <colorize>Gustavs Glücksspiel!</colorize>

Version vom 3. September 2009, 12:33 Uhr

Zufallsexperiment

Vorlage:Aufgaben-M

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Vorlage:Kasten grün

Vorlage:Aufgaben-M

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)

Vorlage:Aufgaben-M

Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar: Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.

Ergebnis und Ereignis

an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen

Baumdiagramm (mehrstufig, Vereinfachung)
Zählprinzip (Produktregel)
Begriffe und Schreibweisen (Ereignis, Ergebnis, Ergebnisraum, Gegenereignis)-->

Zur mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache. In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.

Vorlage:Aufgaben-M

Ergebnis	$\omega_i$	$6$
Ereignis	$E$	$\left\{2,4,6\right\}$
Elementarereignis	$\left\{6\right\}$	$\left\{\omega\right\}$
Ergebnismenge	$\Omega$	$\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
Gegenereignis	$\overline{E}$
unmögliches Ereignis	$\emptyset$
Mächtigkeit des Ergebnisraums	$\left\| \Omega \right\|$

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

1 Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.

	8
	12
	36

2 Es wird dreimal gewürfelt.

	18
	56
	216

3 Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.

	72
	216
	288

4 Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.

	9
	27
	72

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt