Main>Florian Bogner |
Main>Florian Bogner |
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| == Zufallsexperiment == | | == Das „Drei-Würfel-Problem“ == |
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| {{Aufgaben-M|1|Weißt du noch, was genau ein '''Zufallsexperiment''' ist? Schreibe es in dein Heft.}}
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| Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
| | {{Kasten Mathematik|Das „Drei-Würfel-Problem“ stammt von {{wpde|Chevalier_de_Mere|Chevalier de Méré}} (1607 - 1684), einem französischen Edelmann im Zeitalter des Barocks. Er behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind. |
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| {{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
| | [[Datei:Augensumme11.JPG|rechts|200px]] |
| ;Zufallsexperiment
| | Für die Augensumme 11 gibt es nämlich sechs verschiedene Möglichkeiten: |
| :Ein realer, stochastischer Vorgang heißt {{Hintergrund_gelb|ideales Zufallsexperiment}}, wenn: | |
| :* das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt wird,
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| :* die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
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| :* das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.
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| }}
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| {{Aufgaben-M|2|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“}}
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| (Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)
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| </div>
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| {{Aufgaben-M|3|Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment Münzwurf fest.
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| ''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>
| | <math>\left\{ 1,4,6 \right\}, \left\{ 1,5,5 \right\}, \left\{ 2,3,6 \right\}, \left\{ 2,4,5 \right\}, \left\{ 3,3,5 \right\}, \left\{ 3,4,4 \right\}</math> |
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| == Ergebnis und Ereignis ==
| | Für die Augensumme 12 gibt es ebenfalls sechs verschiedene Möglichkeiten: |
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| an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen
| | <math>\left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\}</math> |
| *Baumdiagramm (mehrstufig, Vereinfachung)
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| *Zählprinzip (Produktregel)
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| *Begriffe und Schreibweisen (Ereignis, Ergebnis, Ergebnisraum, Gegenereignis)-->
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| Zur mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.
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| In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
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| {{Aufgaben-M|4|Ziehe die grünen Kästchen mit den mathematischen Schreibweisen in die Zeile des zugehörigen Begriffs! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
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| ''(Sollte dieses Quiz auf deinem Computer nicht funktionieren, musst du unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG statt HTML als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen einstellen!)''
| | In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme 12. <br!> Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein.}} |
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| hier evtl. an konkretem Bsp. durchführen. Falsche Vorschläge „falsch“ zuordnen. }}
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| <div class="zuordnungs-quiz">
| | {{Aufgaben-M|3.1|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}} |
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| | Ergebnis || <math>\omega_i</math> || <math>6</math>
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| |-
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| | Ereignis || <math>E</math> || <math>\left\{2,4,6\right\}</math>
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| |-
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| | Elementarereignis ||<math>\left\{6\right\}</math> || <math>\left\{\omega\right\}</math>
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| |-
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| | Ergebnismenge || <math>\Omega</math> || <math>\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math> | |
| |-
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| | Gegenereignis || <math>\overline{E}</math>
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| |-
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| | unmögliches Ereignis || <math>\emptyset</math>
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| |-
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| | Mächtigkeit des Ergebnisraums || <math>\left| \Omega \right|</math>
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| |-
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| |}
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| </div>
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| | Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen! |
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| ''Lösungshinweise:''
| | Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen: |
| {{versteckt|{{Kasten_grün|
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| *;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen {{Hintergrund_gelb|Ergebnisse}} (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
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| *;Ergebnismenge:Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum)<math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
| | {{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation] |
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| *;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als {{Hintergrund_gelb|Ereignis}} bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
| | Lösungshilfen: {{versteckt| |
| | :*Mit Hilfe einer Urnensimulation kannst du unter anderem auch diesen dreifachen Würfelwurf simulieren. (Wie geht das? → 6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit zurücklegen) Führe dies <u>mit</u> und <u>ohne</u> Beachtung der Reihenfolge durch. |
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| *;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein {{Hintergrund_gelb|Elementarereignis}}. | | :*Was fällt dir auf? |
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| *;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.) | | :*Denke nochmal an „Gustavs Glücksspiel“. Wenn er dir das Spiel mit zwei gleichartigen Würfeln angeboten hätte, hätten sich die Wahrscheinlichkeiten deswegen geändert? |
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| *;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\emptyset</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega</math>.) | | :*Das Glücksspiel von Gustav war ein Laplace-Experiment. Ist das „Drei-Würfel-Problem“ von ''de Méré'' auch eines? |
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| *;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das {{Hintergrund_gelb|Gegenereignis}} <math>\overline{E}=\Omega\setminus E</math>. | | :*Stell dir vor, die Würfel von ''de Méré'' wären unterscheidbar. Was ist nun für die Ergebnismenge wichtig? |
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| *;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: <math>\left| E \right|</math>
| | :[[Datei:Augensumme11bunt.JPG|200px]] [[Datei:Augensumme11bunt2.JPG|200px]] |
| }}
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| }} | | }} |
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| {{Aufgaben-M|5|Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge <math> \Omega </math>. | | {{Lösung versteckt|:*Die angegebenen '''Ergebnisse''' von ''de Méré'' sind <u>nicht</u> gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten der '''Ereignisse''' „Augensumme 11“ und „Augensumme 12“ mit der Behauptung der Gleichwahrscheinlichkeit berechnen. |
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| Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math> an.}}
| | :*Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich ja auch nicht geändert, nur weil die Würfel gleichfarbig gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte. |
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| <quiz display="simple">
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| { Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. }
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| - 8
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| + 12
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| - 36
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| { Es wird dreimal gewürfelt. }
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| - 18
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| - 56
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| + 216
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| { Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.}
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| - 72
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| - 216
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| + 288
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| { Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen. }
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| - 9
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| + 27
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| - 72
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| </quiz>
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| ''Lösungshinweise:''
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| {{versteckt|
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| * <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
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| * <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
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| * <math>\left|\Omega_3\right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 6=2^3\cdot 6^2</math>
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| * <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
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| }} | | }} |
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| {{Aufgaben-M|6|a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
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| :<math>\quad \Omega_1=\emptyset,\qquad \Omega_2=\left\{1\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_5=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
| | {{Aufgaben-M|3.2|Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.}} |
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| b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
| | {{Lösung versteckt|:<math>\Omega = \{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,2,1),...,(6,6,4),(6,6,5),(6,6,6)\} </math> |
| }}
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| ''Lösungshinweise:''
| | :<math>\left|\Omega\right|=6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216</math> |
| {{versteckt|a)
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| * <math>\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 1=2^0\ \mathrm{Ereignis.}</math>
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| * <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 2=2^1\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
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| * <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4=2^2\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
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| * <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 8=2^3\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
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| * <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 16=2^4\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
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| Das vermutete Gesetz lautet: {{Kasten_grün|<math>\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\left|\Omega\right|}\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.} </math>}}
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| b) <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ Ereignisse.</math>
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| }}
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| == Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
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| [[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|200px]]
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| {{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace|Pierre-Simon Laplace}} (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.
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| {{Aufgaben-M|7|Schreibe auf, was man unter den Begriffen '''Laplace-Experiment''', '''Laplace Würfel''' und '''Laplace-Wahrscheinlichkeit''' versteht!}}
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| {{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
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| ;Laplace-Experiment
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| :Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}.
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| :Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.
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| ;Laplace-Würfel
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| :Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{6}</math> gewürfelt.
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| :Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.
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| ;Laplace-Wahrscheinlichkeit
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| :Die {{Hintergrund_gelb|Laplace-Wahrscheinlichkeit}} eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten
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| :<math> p(E) = \frac { \mathrm {Anzahl\ der\ f\ddot u r\ E\ g\ddot u nstigen\ Ergebnisse}} { \mathrm {Anzahl\ der\ m\ddot o glichen\ Ergebnisse}} = \frac {\left| E \right| } {\left| \Omega \right| }\ .</math>
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| :Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine 6 zu würfeln beträgt <math>\frac{1}{6}\ .</math>
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| }}
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| {{blau|Hast du Lust auf eine kurzes Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?
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| '''„Racing Game with One Dice“''' ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite. Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.
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| * Öffne den Link in einem neuen Fenster.
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| * Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
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| * Klickt nun im oberen Kasten so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br> Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
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| * Wenn ihr auf „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen. <br> Jetzt könnt ihr die „Versuchsbedingungen“ nach euren Wünschen verändern:
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| ** Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
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| ** Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
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| ** Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
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| Los geht's! (dazu benötigst du Java)
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| {{Rechtsklick Fenster}} [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice]
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| }} | | }} |
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| | | {{Aufgaben-M|3.3|Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse '''E<sub>1</sub>''': „Augensumme 11“ und '''E<sub>2</sub>''': „Augensumme 12“ beim dreifachen Würfelwurf.}} |
| {{Aufgaben-M|8|Anna würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?}} | |
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| {{Lösung versteckt| | | {{Lösung versteckt| |
| <math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36 </math>
| | :*Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip). |
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| <math>E_{Pasch} = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad \left| E_{Pasch} \right| = 6 </math> | | ::Beispiel:<math>\{1,4,6\}\ \rightarrow \{(1,4,6),(1,6,4),(4,1,6),(4,6,1),(6,1,4),(6,4,1)\}</math> |
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| <math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .</math>
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| }}
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| | :*Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschieden Ergebnisse beachten. |
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| {{Aufgaben-M|8|Pia spielt Kniffel. Dabei wirft sie fünf Würfel. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender | | :*Für Ergebnisse wie <math>\{3,3,3\}</math> gibt es nur ein Ergebnis. |
| Ereignisse:
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| a) E1: nur Sechsen liegen oben
| | :<math>\Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %</math> |
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| b) E2: keine Sechs liegt oben
| | :<math>\Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %</math> |
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| c) E3: mindestens eine Sechs liegt oben
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| d) E4: jede der Zahlen von eins bis sechs liegt oben
| | :Da der Unterschied nicht sehr groß ist, müssen ''de Méré'' und seine Freunde sehr oft gewürfelt haben, damit ihnen das Problem aufgefallen ist! |
| }} | | }} |
| Dazu Bild einfügen (Wiki: Kniffel) oder Aufgabe weglassen!
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| Zeile 221: |
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| [[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Glücksspiel| <big> → Weiter zu </big> ]] <colorize>Gustavs Glücksspiel!</colorize> | | {{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Efron| <big> → Weiter zu den </big><colorize>Würfeln von Efron!</colorize>]] [[File:Efron_dice.png|center|175px]]}} |
