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Version vom 29. September 2012, 14:55 Uhr von Cspannagel (Diskussion | Beiträge)

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Binäre Zahldarstellung

Stellenwertsysteme - allgemein

Wer Lust hat, darf auch mal eine andere Basis verwenden, z.B. g. Dadurch erhält man ein g-adisches Ziffernsystem mit g verschiedenen Ziffern. Beispiel: Wählt man g=2, dann hat man das Binärsystem mit zwei Ziffern, nämlich mit 0 und 1.

Man schreibt dann eine Zahl mit n Ziffern so auf: [a_{n-1}...a_2a_1a_0]_{g} = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i}\cdot g^i.

  • Beispiel 1: [1010]_{2}=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0 = 8+2=10.
  • Beispiel 2: [273]_{8}=2\cdot 8^2+7\cdot 8^1+3\cdot 8^0 = 128+56+3=187.
  • Beispiel 3: [1C]_{16}=1\cdot 16^1+12\cdot 16^0=16+12=28

Binaer.jpg

Die schriftlichen Algorithmen funktionieren auch in beliebigen g-adischen Stellenwertsystemen - probieren Sie's mal aus!

Wie ermitteln man nun aber die Darstellung einer Zahl in einem g-adischen Stellenwertsystem? Beispiel: Wie wird 478 im Stellenwertsystem zur Basis 8 dargestellt? Umständlicher Weg: Überlegen, welches die größte 8er-Potenz ist, die kleiner ist als 478. Dann ausrechnen, wie oft diese 8er-Potenz hineingeht (Division mit Rest). Dann mit dem Rest so verfahren...

Ein einfacheres Verfahren wird im Folgenden demonstriert:

  • 478 = 59\cdot 8 + 6
  • 59 = 7\cdot 8 + 3
  • 7 = 0\cdot 8 + 7

Die Darstellung der 478 im Stellenwertsystem zur Basis 8 ergibt sich nun aus den Resten, von unten nach oben gelesen: [736]>_8.

Warum das? Das macht man sich leicht klar, in dem man die einzelnen Gleichungen ineinander einsetzt (die letzte nicht mehr):

478 = 59\cdot 8 + 6 = (7\cdot 8 + 3)\cdot 8 + 6 = 7\cdot 8^2 +3\cdot 8 +6

Hier wird das Hornerschema (für Polynome) verwendet, wenn man Polynome über der Basis g betrachtet. Allgemein sieht's kompliziert aus, daher hier nochmal am Beispiel:

[a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}]_{g}= a_3\cdot g^3+a_2\cdot g^2+a_1\cdot g^1 + a_0 = (a_3\cdot g^2 + a_2\cdot g^1 +a_1)\cdot g + a_0 = ((a_3\cdot g + a_2)\cdot g +a_1)\cdot g + a_0


usw. usw.

Aufgabe

usw