Sinus- und Kosinusfunktion/2.2 Kosinusfunktion und Integralrechnung/Vorüberlegungen: Unterschied zwischen den Seiten
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Main>Florian Ferstl |
Main>Dickesen Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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{{ | {{Kasten_blau|Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist, gleich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.}} | ||
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{{Frage|Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?}} | |||
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Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades! | |||
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Um der Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten! | |||
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{| | {{Aufgaben-M|2| | ||
Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br> | |||
| | Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise! | ||
}} | |||
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a) Konstante Funktion: <math>f(x)=5</math> in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> | |||
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[[Bild:const_fkt.png|zentriert|500px]] | |||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|Flächeninhalt: <math>A = 20.</math> <br> | |||
Die Fläche ist rechteckig, also berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel <math>A = </math> Breite <math>\cdot</math> Höhe. <br> | |||
Die Breite ist dabei durch die Grenzen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> festgelegt, misst also | |||
< | <math>x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4.</math> <br> | ||
Die Höhe ist durch den (konstanten) Funktionswert <math>f(x)=5</math> festgelegt. <br> | |||
---- | Also: <math>A=4 \cdot 5 = 20.</math> | ||
}}}} | |||
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b) Lineare, nicht-konstante Funktion: <math>f(x)= 0,5 x + 1</math> in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math> | |||
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[[Bild:lin_fkt.png|zentriert|500px]] | |||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|Flächeninhalt: <math>A = 12.</math> <br> | |||
Die Fläche lässt sich aufteilen in einen rechteckigen Teil ( Höhe <math> = y_1 = 2,</math> Breite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=8</math> <br> | |||
und einen dreieckigen Teil ( Höhe <math> = y_2-y_1 = 2,</math> Grundseite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=4</math>. <br> | |||
Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math> | |||
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{{Merke-M| | |||
Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechtecks- und Dreiecksfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br> | |||
Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der unteren Rechtecksfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechtecksfläche (Rechteck BCEF)! <br> | |||
Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH. | |||
[[Bild:Flaeche_mittelwert.png|zentriert|350px]] | |||
}} | |||
}}}} | |||
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c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine | |||
Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen: <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> in den Grenzen -8 und 10.<br> | |||
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[[Bild:flaeche_allgemein.png|zentriert|500px]] | |||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|Man könnte die Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> in viele schmale Rechtecke aufteilen, deren Fläche berechnen und die gesuchte Fläche durch die Summe der Rechteckflächen annähern. | |||
{{Merke-M| | |||
Besonders effektiv wäre dieses Verfahren, wenn man als Rechteckflächen die Mittelwert-Rechtecksflächen aus Aufgabenteil b) benutzen würde. Dafür bräuchte man die Summe der oberen Rechtecksflächen (Obersumme) und die Summe der unteren Rechtecksflächen (Untersumme). Daraus würde man dann wieder den Mittelwert bilden! | |||
}} | |||
Das Ganze sähe dann mit <math>n = 10</math> schmalen Rechteckstreifen folgendermaßen aus: <br> | |||
[[Bild:flaeche_allgemein_summen.png|zentriert|450px]] <br> | |||
Dabei sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nur die oberen und unteren Rechtecksflächen der eingezeichnet, nicht aber die Mittelwert-Rechtecksflächen. Deren Wert ist jedoch angegeben. | |||
}}}} | |||
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[[Benutzer:Dickesen/Integral|<<Zurück<<]] [[Benutzer:Dickesen|Home]] [[Benutzer:Dickesen/Integral3|>>Weiter>>]] | |||
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Version vom 16. Oktober 2009, 14:47 Uhr
Frage
Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?
Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades!
Um der Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
Vorlage:Aufgaben-M
a) Konstante Funktion: in den Grenzen und
b) Lineare, nicht-konstante Funktion: in den Grenzen und
c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine
Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen: in den Grenzen -8 und 10.
