Flächeninhalt eines Rechtecks - Aufgaben und Trigonometrische Funktionen/Zum Nachschlagen: Unterschied zwischen den Seiten

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{{TOCright}}
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
{{Box|Aufgabensammlung|
[[Trigonometrische_Funktionen 2|Einführung]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Einfluss der Parameter|Station 1: Einfluss der Parameter]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr]] - [[Trigonometrische Funktionen 2/Anwendungen|Anwendungen]]
*Aufgaben rund um den Flächeninhalt
</div>
*Arbeitsblatt
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|center|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}




===Zum Nachschlagen===


{{Box|Färbe alle Rechtecke gelb|
:* [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/i.html#WfunInv Steckbrief der Sinus- und Kosinusfunktion]
*Drucke das Arbeitsblatt aus.
*Wie viele Rechtecke hast du gefunden?
[[Datei:Wimmelbild.jpg|300px|center]]
|Arbeitsmethode}}


:* allgemeine Kosinusfunktion {{versteckt|::<math> x\rightarrow a\cdot\cos\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math> mit <math>\ a,b,c,d \in \R </math> und <math>a,b\neq 0</math>}}


:* allgemeine Sinusfunktion {{versteckt|::<math> x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math> mit <math>\ a,b,c,d \in \R </math> und <math>a,b\neq 0</math>}}


<span> </span>
:* allgemeine quadratische Funktion {{versteckt|:: Scheitelform: <math>x\rightarrow a \cdot \left(x+c\right)^2 +d</math> mit <math>\ a,c,d \in \R </math> und <math>a\neq 0</math>  


<span></span><div id="ggbContainerfc7e2e73eba61ce4879cc38a2b9e881d"></div><span></span>
::Scheitelpunkt bei <math>\ S(-c|d)</math>
{{Lösung versteckt|
::<ggb_applet height="450" width="380" filename="Parabel_3.ggb" />}}
:Es gibt zwei Rechtecke
[[Datei:Wimmelbild Lösung.jpg|300px|center]]
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


:* Amplitude <math>\ A</math> {{versteckt|::Die Amplitude gibt die maximale Auslenkung aus der Ruhelage an.}}


== Wir merken uns==
:* Extremum {{versteckt|::Ein lokales Extremum einer Funktion <math>\ f</math> ist eine Stelle <math>\ x</math>, an der <math>\ f</math> größere oder kleinere Werte besitzt als an allen anderen Stellen einer kleinen Umgebung von <math>\ x</math>.}}


{{Box|1=Merke|2=
:* Frequenz <math>\ f</math> {{versteckt|::Als Frequenz <math>\ f</math> bezeichnet man die Anzahl der durchlaufenen Schwingungsperioden pro Zeitintervall. Ihre Einheit ist Hertz (abgekürzt Hz). Werden beispielsweise 50 Schwingungsperioden pro Sekunde durchlaufen, so sagt man, die Schwingung hat 50 Hz.
[[File:Prostokat-rectangle.svg|100px|right]]
::Es gilt: <math>f = \frac{1}{T}</math>
::( <math>\ T </math> Schwingungsdauer)}}


*<big>Flächeninhalt</big> <math>A =a\cdot b</math>  
:* Hochpunkt {{versteckt|::Ein Hochpunkt einer Funktion <math>\ f</math> ist eine Stelle <math>\ x</math>, an der <math>\ f</math> größere Werte besitzt als an allen anderen Stellen einer kleinen Umgebung von <math>\ x</math>.}}
*<big>Umfang</big> <math>U = 2\cdot a + 2 \cdot b = 2\cdot(a + b)</math>
|3=Merksatz}}


Bei dieser Aufgabe sind abwechselnd die Länge, die Breite, der Umfang oder der Flächeninhalt eines Rechtecks gegeben. Du sollst jeweils die fehlenden Werte ermitteln. [http://www.realmath.de/Neues/Klasse6/grundwissen/rechteck.html Hier gehts zu den Übungen mit Highscore-Liste].  
:* Kosinusfunktion {{versteckt|::Die Funktion <math>x \rightarrow \cos (x) </math> mit <math>x\in \R</math> heißt Kosinusfunktion.}}


:* Kosinuskurve {{versteckt|::Der Graph der Kosinusfunktion wird Kosinuskurve genannt.}}


== Was stimmt hier nicht? ==
:* Monotonie {{versteckt|::Eine Funktion heißt streng monoton wachsend, wenn sie an größeren Stellen größere Werte besitzt. Eine Funktion heißt streng monoton fallend, wenn sie an größeren Stellen kleinere Werte besitzt. Eine Funktion kann in manchen Intervallen streng monoton wachsend und in anderen Intervallen streng monton fallend sein - beispielsweise bei Schwingungen!}}


Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.  
:* Nullstelle {{versteckt|::Ein Wert <math>\ x</math> heißt Nullstelle der Funktion <math>\ f</math>, wenn <math>\ f(x) = 0</math> gilt.}}


Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.  
:* Periode {{versteckt|::Der Abstand zweier Orte im gleichen Schwingungszustand wird als Periode bezeichnet. Die Periode der Sinus- und Kosinusfunktion beträgt jeweils <math>2\pi</math>.}}


Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."
:* Periodendauer <math>\ T</math> {{versteckt|::Die Periodendauer oder Schwingungsdauer gibt die Zeit an, die vergeht während ein schwingungsfähiges System eine Schwingungsperiode durchläuft.}}


Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.
:* Phasenverschiebung {{versteckt|::Als Phase wird jene Zahl bezeichnet, auf die die Sinus- und die Kosinusfunktion angewandt wird. Zwei Funktionen, deren Phasen sich um einen konstanten Wert unterscheiden, beispielsweise <math>x \rightarrow \sin(2x)</math> und <math>x \rightarrow \sin(2x+3)</math> heißen zueinander phasenverschoben. In diesem Beispiel ist die Phasenverschiebung 3.}}


{{Lösung versteckt|1=
:* Schieberegler {{versteckt|::In den GeoGebra-Applets werden häufig Schieberegler verwendet. Diese werden als Linie mit einem Punkt dargestellt. Der Punkt lässt sich mit gedrückter linker Maustaste bewegen.}}
Noras Lösung ist falsch. Sie addiert die Länge und Breite anstatt den Flächeninhalt zu berechnen.


1. Zimmer:   5cm * 4cm = 20cm<sup>2</sup>
:* Schwingungsdauer <math>\ T</math> {{versteckt|::Die Schwingungsdauer oder Periodendauer gibt die Zeit an, die vergeht während ein schwingungsfähiges System eine Schwingungsperiode durchläuft.}}


2. Zimmer:   6cm * 3cm = 18cm<sup>2</sup>
:* Sinusfunktion {{versteckt|::Die Funktion <math>x \rightarrow \sin (x) </math> mit <math>x\in \R</math> heißt Sinusfunktion.}}


|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
:* Sinuskurve {{versteckt|::Der Graph der Sinusfunktion wird Sinuskurve genannt.}}


:* Schwingungsperiode {{versteckt|::Eine vollständige Schwingungsperiode ist ein Intervall, in dem alle Schwingungszustände einmal durchlaufen werden. Die gesamte Schwingung besteht darin, dass eine Schwingungsperiode nach der anderen durchlaufen wird. Bei der Sinus- und der Kosinusfunktion ist eine Schwingungsperiode ein beliebiges Intervall der Länge <math>\ 2 \pi</math>.}}


==Wie groß ist die gelbe Fläche?==
:* Tiefpunkt {{versteckt|::Ein Tiefpunkt einer Funktion <math>\ f</math> ist eine Stelle <math>\ x</math>, an der <math>\ f</math> kleinere Werte besitzt als an allen anderen Stellen einer kleinen Umgebung von <math>\ x</math>.}}
<quiz display="simple">


{ <span style="background:yellow">Wie groß ist die gelbe Fläche?</span> [[Bild:Zusammengesetzte_Figur_Kropatschewa.jpg|400px]]}
:* Wellenlänge <math>\ \lambda</math> ("lambda") {{versteckt|::Die Wellenlänge gibt den Abstand zweier Orte im gleichen Schwingungszustand (z.B. Maxima) an. Achtung: Der Abstand zweier benachbarter Nullstellen ist nur die halbe Wellenlänge! }}


- 20 m²
:* Wertemenge {{versteckt|::Als Wertemenge bezeichnet man die Menge aller Werte, die eine Funktion annimmt. Beispielsweise besteht die Wertemenge der Sinusfunktion aus allen Werten <math>\ y</math>, die <math>-1 \le y \le 1</math> erfüllen.}}
- 19 m²
+ 19,6 m²
- 18,6 m²


</quiz>
:* Winkelgeschwindigkeit <math>\ \omega</math> ("omega") {{versteckt|::Ihre Einheit ist <math>\frac{1}{s}</math>. Es gilt: <math>\omega = 2 \pi f = \frac{2\pi}{T}</math>
 
::( <math>\ f</math> Frequenz, <math>\ T</math> Schwingungsdauer)}}
 
== Fußballfeld der Allianz Arena ==
[[Bild:Allianzarenapano.jpg|750px|center]]
 
 
#Schätze die Größe des Feldes.
#Suche dir nun die entsprechenden Maße im Internet und berechne die Fläche des Fußballfeldes genau.
#Die Größe eines Rasenstücke vom Typ "Powerrasen" beträgt: 2 m x 10 m. Wie viele Rasenstücke wurden etwa verlegt?
{{Lösung versteckt|1=
#ungefähr 8000 m<sup>2</sup>
#'''netto''' (Fußballfeld): 68 m x 105 m = 7140 m<sup>2</sup>; '''brutto''' (gesamte Rasenfläche): 72 m x 111 m = 7992 m<sup>2</sup>
#8000m<sup>2</sup> : 20 m<sup>2</sup> = 400
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
==Oberfläche des Würfels ==
[[Bild:Viereck7.jpg|400px|right]]
#Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 1 cm?
#Wie groß ist die Oberfläche wenn man die Kantenlänge verdoppelt?
#Weißt du auch, wie lange alle Kanten zusammen sind?
{{Lösung versteckt|1=
#6cm<sup>2</sup>
#24cm<sup>2</sup>
#12 cm
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
 
==Das Rechteck Quiz==
<quiz display="simple">
{Welche Aussagen treffen zu? Kreuze an:}
+ In einem Rechteck sind alle Diagonalen gleich lang.
- In einem Rechteck stehen die Diagonlane immer senkrecht aufeinander.
- Jedes Rechteck ist ein Quadrat.
+ In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.
+ In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten parallel.
- Wenn sich in einem Rechteck der Umfang verdoppelt, verdoppelt sich auch der Flächeninhalt.
- Jedes Rechteck hat 4 Symmetrieachsen.
+ In einem Rechteck sind benachbarte Seiten zueinander senkrecht.
+ In einem Rechteck sind alle Winkel gleich groß.
</quiz>
 
 
==Rechteck und Quadrat==
{{LearningApp|app=pudtybsy3|width=100%|height=500px}}
 
==Flächeninhalt und Umfang==
{{LearningApp|app=102321|width=100%|height=500px}}
 
 
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Rechteck]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Sekundarstufe_1]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
[[Kategorie:LearningApps]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]

Version vom 18. Januar 2011, 13:45 Uhr


Zum Nachschlagen

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