Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Station 1: Erforsche den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!

Kompetenzen

1. Auf dieser Seite lernst du welche Bedeutung die Parameter a,b,c und d bei der allgemeinen Sinusfunktion und Kosinusfunktion haben.
2. Du erkennst die Auswirkungen auf den Graphen der durch einen Term gegebenen Funktion.
3. Du kannst zu gegebenen Funktionstermen die richtigen Graphen finden und selbst zeichnen.

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit vier Spalten für den Einfluss von $\ a,b,c$ und $\ d$ anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

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Einfluss von $\ a$ Einfluss von $\ b$ Einfluss von $\ c$ Einfluss von $\ d$ Untersuche hier den Einfluss von $\ a$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow a\cdot \sin x$ und $x \rightarrow a\cdot \cos x$. Untersuche hier den Einfluss von $\ b$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin ( b\cdot x )$ und $x \rightarrow \cos ( b\cdot x )$. Untersuche hier den Einfluss von $\ c$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin ( x + c )$ und $x \rightarrow \cos ( x + c )$. Untersuche hier den Einfluss von $\ d$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin x + d$ und $x \rightarrow \cos x + d$.

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Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Aufgabe 1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen $\,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ und $\,\!x \rightarrow \cos(x)$ in dein Heft oder mit Hilfe von diesem Applet und betrachte sie! Was fällt dir auf?

Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Merke

Die allgemeine Sinusfunktion lautet

 $x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d$ .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

 $x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d$ .

Dabei sind $\ a,b,c,d$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  $\ a,b,c,d \in \R$  und  $a,b\neq 0$ .

Aufgabe 2

Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.

Aufgabe 3

Parameter gesucht! Je einer der Parameter $\ a, b, c$ und $\ d$ wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!

Die Nullstellen, Extrema und die Periode verändern sich nicht, falls a varriert wird, die Wertemenge jedoch schon.
Variiert man c , so verändern sich die Nullstellen und Extrema, aber nicht die Periode und die Wertemenge.
Ändern sich die Nullstellen und die Wertemenge, wobei die Extrema und die Periode bleiben, dann wird d variiert.
Nullstellen, Extrema und Periode ändern sich, die Wertemenge bleibt aber gleich, falls b variiert wird.

Aufgabe 4

• In diesem Applet (Klicke dann dort auf Funktionen erkennen 3!) kannst du zeigen, ob du zu gegebenen Funktionstermen die zugehörigen Graphen findest.
• Memory

Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe Mind Map

Nun sollst du ein Mind Map über die in dieser Station gelernten Zusammenhänge erstellen. Am besten verwendest du dazu dein Heft im Querformat und zeichnest am linken Rand in die Mitte einen Kreis, in den du Einfluss der Parameter schreibst. Von dem Kreis ausgehend kannst du vier Äste nach rechts zeichnen, auf denen du die Parameter notierst. An diese Äste kannst du dann Zweige hängen, die sich natürlich weiter verästeln können.

Aufgabe 6 - Zusatzaufgabe Eselsbrücke

Lisa und Ben haben ein gemeinsames Lieblingsfach – Mathematik. Zusammen haben sie sich folgende Eselsbrücke überlegt:

Dabei stehen die Großbuchstaben für die Parameter $\ a, b, c$ und $\ d$ der allgemeinen Sinusfunktion. Verstehst du, was sie mit ihren Aufzeichnungen meinen? Erkläre mindestens einen Teilbereich deinem Nachbarn! Wenn du die Eselsbrücke hilfreich findest, notiere sie in dein Heft!

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Lösung zu Aufgabe 1 Lösung zu Aufgabe 3 Lösung zu Aufgabe 5 Lösung zu Aufgabe 6 Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast! Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe 1 auch ein Hefteintrag "versteckt" ist!

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